新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 函數(shù)對稱性的應用（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【解析】【分析】可由確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，每個選項中，可賦值其中一個，進而根據(jù)單調性比較另外兩個大小即可確定每個選項正誤.【詳解】由題，化簡整理得，于是所以，進而，據(jù)此，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，即．對于A，由，又，所以，即，故A錯誤；對于B，，因為，所以，而，所以，故B錯誤；對于C，，而，所以，所以，故C正確；對于D，由，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：C．【點睛】（1）賦值法是解決一些抽象函數(shù)問題常見的方法之一；（2）根據(jù)單調性比較大小是解決抽象函數(shù)及復雜函數(shù)比大小或解不等式的重要方法.2．C【解析】【分析】令與關于原點對稱，根據(jù)即可求對稱函數(shù)解析式.【詳解】令，與關于原點對稱，則，所以.故選：C3．C【解析】【分析】根據(jù)和關于對稱求出解析式.【詳解】關于對稱的是，即.故選：C4．D【解析】【分析】根據(jù)題意，結合對數(shù)的運算法則，得到，代入即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，即，且當時，，又由.故選：D.5．C【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，由此可構造方程求得結果.【詳解】圖象關于點對稱，，又，，，解得：，.故選：C.6．B【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得函數(shù)具有周期性，根據(jù)周期可將.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．故選:B．7．D【解析】【分析】先判斷的奇偶性，再根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性計算即可.【詳解】因為，定義域為，且，所以為奇函數(shù)關于對稱，則關于對稱.又，即所以的圖象關于對稱.不妨設關于對稱的坐標為，則，，，，則，，，，，，即.故選:D.8．B【解析】【分析】由與關于x軸對稱得到的解析式，又由的單調性得到不等式，從而解出范圍.【詳解】已知函數(shù)的圖象與的圖象關于x軸對稱，所以，又是上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B.9．D【解析】【分析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)的奇偶性以及對稱性和周期，進而作出其大致圖象，將的根的問題轉化為的圖象的交點問題，結合圖象的對稱性即求得答案.【詳解】由定義在R上的函數(shù)滿足可知為奇函數(shù)，由可知函數(shù)關于直線對稱，又，則，即，所以，即4為函數(shù)的周期，又，且，故，即函數(shù)的額圖像關于點對稱，由此可作出函數(shù)的部分圖象如圖示：方程即，因此方程所有的根及轉化為函數(shù)的圖象的交點問題，作出函數(shù)的圖象，如圖示，可以看到兩圖象的交點關于點對稱，其中在點的兩側對稱的交點各有三個，故方程所有的根之和為，故選：D10．D【解析】【分析】首先判斷出的對稱性，求得的解集，從而求得的解集.【詳解】因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關于點對稱，且，又，所以．依題意可得，當或時，．所以等價于或，解得或．故選：D11．D【解析】【分析】由二次函數(shù)的對稱性求出，即可求出.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以對稱軸為，即.所以.故選：D12．B【解析】【分析】作出函數(shù)的大致圖象，可知，由與的圖象有四個交點可得，計算求得的值即可得的范圍，根據(jù)可得與的關系，再根據(jù)基本不等式計算的最小值即可求解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當時，對稱軸為，所以，若關于的方程有四個實根，，，，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.13．A【解析】【分析】由，可得函數(shù)圖象關于點中心對稱，又函數(shù)在上單調遞增，可得函數(shù)在上單調遞增，從而有在上恒成立，分離參數(shù)轉化為最值問題即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)圖象關于點中心對稱，又函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，因為時，，所以在上單調遞增，所以在上恒成立，即，易知在上單調遞增，所以，所以，所以m的取值范圍為，故選：A.14．D【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計算判斷①；探討在上單調性判斷②；探討在和上單調性判斷③；求出的零點判斷④作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，對于①，，則，，的圖象關于直線對稱，①正確；對于②，當時，，在單調遞增，②不正確；對于③，當時，，在單調遞減，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，又在單調遞增，因此在處取極大值，③正確；對于④，由得：，即或，解得或，于是得有3個零點，④正確，所以所有正確結論的編號為①③④.故選：D【點睛】結論點睛：函數(shù)的定義域為D，，存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關于直線對稱.15．C【解析】【分析】首先利用方程組法求函數(shù)的解析式，由解析式判斷的對稱性，利用導數(shù)分析的單調性及極值點，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點知極小值，即可求正實數(shù)值.【詳解】由題設，，可得：，由，易知：關于對稱.當時，，則，所以單調遞增，故時單調遞減，且當趨向于正負無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：奇偶性求函數(shù)解析式，導數(shù)分析函數(shù)的單調性、極值，根據(jù)零點的個數(shù)及對稱性、單調性求參數(shù)值.16．C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的關系式，判斷函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性，利用函數(shù)的性質求解函數(shù)值.【詳解】解：函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，對有，函數(shù)的圖象關于中心對稱，，即，又，即，，，即，，的周期，選項A正確；為偶函數(shù)，選項D正確；當時，，，當時，，，即，當時，，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，在一個周期上，，在上的最大值為4，選項B正確；，選項C錯誤.故選：C.17．A【解析】【分析】首先轉化“友情點對”為把時的函數(shù)圖像沿著原點對稱對稱過去，和時函數(shù)圖像的交點，即的圖像和的交點，所以只要有兩解即可，求導畫圖即可得解.【詳解】根據(jù)題意，若要求“友情點對”，可把時的函數(shù)圖像關于原點對稱，研究對稱過去的圖像和時的圖像有兩交點即可，關于原點對稱的解析式為，考查的圖像和的交點，可得，，令，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，其圖象為，故若要有兩解，只要即可，故選：A【點睛】本題考查了新定義問題，考查了轉化思想，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像，同時考查了函數(shù)對稱問題，屬于較難題.本題關鍵點有：（1）正確理解“友情點對”；（2）正確的轉化，轉化為函數(shù)方程問題；（3）掌握利用導數(shù)研究單調性.18．A【解析】【分析】令，由已知可得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上關于直線對稱，利用對稱性即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，又的圖象也關于直線對稱，作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個交點，且關于直線對稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為，故選：A.19．C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)則求出函數(shù)的對稱性可判斷A錯誤；由所給等式利用函數(shù)的奇偶性可推出，則函數(shù)的周期為4，B錯誤；當時，，由求出當時函數(shù)的解析式可判斷C正確；同理求出在上的函數(shù)解析式即可判斷單調性.【詳解】函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以的圖象關于對稱，故A錯誤；，進而得.又是奇函數(shù)，，進而得，所以周期為4，故B錯誤；當時，，所以當時，，，所以，故C正確；當時，，所以當時，，，所以在上是增函數(shù)，故D錯誤.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，涉及函數(shù)的周期性與對稱性、根據(jù)函數(shù)的性質求分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題.20．B【解析】【分析】分析出函數(shù)的圖象關于直線對稱，可得出，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】，所以，，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，若，則函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，即函數(shù)的零點個數(shù)為偶數(shù)，不合乎題意.由于函數(shù)有唯一零點，則，解得.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題利用函數(shù)有唯一零點求參數(shù)值，解題的關鍵在于分析出函數(shù)的單調性，通過分析出函數(shù)的零點成對出現(xiàn)而得出，從而求解，在解題時要注意對函數(shù)的基本性質進行分析，從而找到問題的突破點.21．C【解析】【分析】計算得出，即可得出結論.【詳解】，，，所以，，因此，函數(shù)的圖象關于點對稱.故選：C.22．C【解析】【分析】由解析式易得且定義域為且即可判斷C；對求導，并討論、研究在上的符號判斷A、B；根據(jù)是否為定值判斷D.【詳解】由題設，，定義域為且，所以關于對稱，C正確；又，當時，不妨假設，則，顯然，此時在上有遞減區(qū)間，A錯誤；當時，在上，即在上遞增，B錯誤；由，不可能為定值，故D錯誤.故選：C【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)結合分類討論研究函數(shù)的區(qū)間單調性，根據(jù)、是否成立判斷對稱性(為常數(shù)).23．A【解析】【分析】先求出與y=ex的圖象關于x軸對稱的圖象所對函數(shù)解析式，再右移一個單位即可得解.【詳解】與y=ex的圖象關于x軸對稱的圖象所對函數(shù)解析式為y=-ex，將所得圖象右移一個單位后的圖象所對函數(shù)解析式為y=-ex-1，而按上述變換所得圖象對應的函數(shù)是f(x)，所以f(x)=-ex-1.故選：A24．D【解析】【分析】分析可知函數(shù)的圖象關于直線對稱，可得出函數(shù)的單調性，分析的符號變化，由可得或，解之即可.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，因為函數(shù)在上單調遞增，故函數(shù)在上單調遞減，因為，則，所以，由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.25．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用a表示b，c，再結合二次函數(shù)的性質求解作答.【詳解】依題意，，因，則是奇函數(shù)，于是得，即，因此，，而，當時，的最小值為-a，當時，的最大值為-a，A，B都不正確；，，，即，，因此，C不正確，D正確.故選：D26．D【解析】【分析】根據(jù)得到函數(shù)關于直線對稱，對任意均有成立得函數(shù)在上單調遞減.再利用函數(shù)的單調性解不等式求得答案.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于直線對稱，因為對任意均有成立，所以函數(shù)在上單調遞減.由對稱性可知在上單調遞增.因為，即，所以，即，解得.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)對稱性和單調性的應用，解題的關鍵是得出關于直線對稱，在上單調遞減.27．D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇偶性判斷函數(shù)的對稱性.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關于原點對稱.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，奇函數(shù)圖象的對稱性，屬于基礎題.28．C【解析】【分析】由條件得，兩個函數(shù)均關于點(0,3)對稱，從而求得交點的橫坐標和及縱坐標和.【詳解】由可知的圖象關于點對稱，又因為的圖象也關于點對稱，所以兩個函數(shù)的圖象的交點關于點對稱，即，，所以，故選：．29．C【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得在上單調遞增，，，從而可根據(jù)函數(shù)的單調性比較大小【詳解】由函數(shù)的圖象關于直線對稱可得，結合奇函數(shù)的性質可知，.由奇函數(shù)的性質結合在上單調遞增可得在上單調遞增，所以，所以.故選：C30．B【解析】【分析】先通過已知分析得到函數(shù)的單調性，等價于或再結合函數(shù)的圖象解不等式得解.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱．由在上單調遞減，得在上單調遞增，且，所以當或時，，當時，．函數(shù)的圖象如圖所示，等價于或即或解得或，故選：B．【點睛】結論點睛：由函數(shù)的奇偶性延伸到其圖象的對稱性問題的常見結論：（1）若函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)），則函數(shù)的圖象關于點中心對稱（或關于直線對稱）；（2）若函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)），則函數(shù)的圖象關于點中心對稱（或關于直線對稱）．31．A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)和冪函數(shù)圖象可得結論.【詳解】對于A，圖象關于、坐標原點分別成軸對稱和中心對稱，A正確；對于B，為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，但無對稱中心，B錯誤；對于C，關于點成中心對稱，但無對稱軸，C錯誤；對于D，為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點成中心對稱，但無對稱軸，D錯誤.故選：A.32．B【解析】將函數(shù)解析式變形為，求得，進而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，所以，，，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因此，.故選：B.【點睛】結論點睛：本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，關于奇函數(shù)、偶函數(shù)的導函數(shù)的奇偶性，有如下結論：（1）可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)；（2）可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù).在應用該結論時，首先應對此結論進行證明.33．A【解析】【分析】根據(jù)題意可得在上單調遞增，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，可得函數(shù)在上單調遞減，從而根據(jù)函數(shù)不等式列出不等式，求解取值范圍.【詳解】解：當時，恒成立∴恒成立即函數(shù)在上單調遞增，又∵函數(shù)的圖象關于直線對稱∴函數(shù)在上單調遞減，若要滿足，則需；解得.故選：A.【點睛】此題考查由函數(shù)的單調性和對稱性解不等式，考查轉化思想，屬于基礎題34．C【解析】【分析】由對稱性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函數(shù)的性質得出其值域.【詳解】設為的圖像上一點，則點關于直線對稱的點為由題意點在函數(shù)的圖象上，則所以，則當時，，則所以故選：C35．ABD【解析】【分析】A由導數(shù)的幾何意義即可求參數(shù)a；B利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而確定是否存在極大值；C根據(jù)B判斷區(qū)間內的端點值、極值，進而確定區(qū)間值域；D令，則，即可確定對稱中心.【詳解】A：，由題意，得，正確；B：，由得：或，易知在，上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，正確；C：由B知：，，，故在上的值域為，錯誤；D：令且為奇函數(shù)，則，而圖象關于中心對稱，所以關于中心對稱，正確；故選：ABD.36．BD【解析】【分析】求出函數(shù)定義域為，A選項錯誤；利用定義證明函數(shù)是偶函數(shù)，B選項正確；函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C選項錯誤；可以證明f(x)的圖象關于直線對稱，故D選項正確.【詳解】解：函數(shù)，由可得，故函數(shù)定義域為，A選項錯誤；的定義域為，設所以即是偶函數(shù)，B選項正確；，當時，是減函數(shù)，外層也是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C選項錯誤；由，可得f(x)的圖象關于直線對稱，故D選項正確.故選：BD37．AB【解析】【分析】由，賦值，可得，故A正確；進而可得是對稱中心，故B正確；作出函數(shù)圖象，可得CD不正確.【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，，故是一個周期為4的奇函數(shù)，因是的對稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故A、B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調性，故C不正確；函數(shù)在上有7個零點，故D不正確.故選：AB【點睛】本題考查了函數(shù)的性質，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題目.38．BC【解析】由已知得函數(shù)是偶函數(shù)，在上是單調增函數(shù)，將問題轉化為對任意的恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項．【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于直線（即軸）對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù).又時，成立，所以函數(shù)在上是單調增函數(shù).且對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，當時，恒成立，當時，，又因為，當且僅當時，等號成立，所以，因此，故選：BC.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.39．①③【解析】【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)及絕對值函數(shù)的性質，結合奇偶性，對稱性，單調性對每一項進行分析即可.【詳解】若為偶函數(shù)，則，則對恒成立，則，故①正確；，，若，即，則或，若取，則關于對稱，②錯誤；若，函數(shù)的判別式，即，，由二次函數(shù)性質，知在區(qū)間上是增函數(shù)，③正確；取，滿足，則或，解得或，即有4個零點，④錯誤；故答案為：①③【點睛】關鍵點點睛：對函數(shù)的綜合性質考察比較綜合，除解出參數(shù)關系或值外，判斷正誤也可以通過取一些特殊值快速的找到答案.40．②③【解析】【分析】求出函數(shù)導數(shù)，由題意可知無解，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得的范圍，即可判斷①是否正確；設出切點，根據(jù)斜率可得，再將代入，解方程求得切點的橫坐標，即可判斷②是否正確；由于，所以的圖象關點成中心對稱，所以③是真命題；由對稱性可知，函數(shù)與的圖象都關于點成中心對稱，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，再由圖象觀察它們共有4個交點，根據(jù)對稱性，即可求出它們的橫坐標值和，即可判斷④是否正確．【詳解】因為，所以.若函數(shù)不存在單調遞減區(qū)間，則有，解得，所以①是假命題.設過點的直線與曲線相切于點，則有.又點在曲線上，所以，代入上式，得，解得或或，所以過點且與曲線相切的直線有三條，所以②是真命題.，則，所以的圖象關點成中心對稱，所以③是真命題.又函數(shù)的導數(shù)為，令解得或，所以遞增區(qū)間為和；令可得，所以遞減區(qū)間為．即時取得極大值，時取得極小值，又函數(shù)的圖象也關于點成中心對稱，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖：結合圖象可知，函數(shù)的圖象與的圖象有4個交點，則方程有4個實數(shù)根，故所有實數(shù)根的和為，所以④是假命題.故答案為：②③.41．-1【解析】【分析】首先根據(jù)的中心對稱性質和已知條件求出，然后再根據(jù)求出，進而求解.【詳解】因為關于對稱，所以，故，即，解得，，所以，又因為，所以，解得，，所以.故答案為：.42．.【解析】【分析】先分析兩個函數(shù)的單調性和對稱性，判斷出兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，再根據(jù)對稱性計算可得結果.【詳解】在和上都單調遞減，且關于點成中心對稱，在上單調遞增，，所以的圖像也關于點成中心對稱，所以與圖像有兩個交點且關于點對稱，設這兩個交點為、，則，，所以，，所以.故答案為：.43．【解析】根據(jù)偶函數(shù)及絕對值函數(shù)性質直接求解即可.【詳解】由已知是定義在上的偶函數(shù)，故，即，或，且函數(shù)圖象關于軸對稱，又，故，因為關于直線對稱，故，，故答案為：.44．3【解析】【分析】先由函數(shù)的圖像關于直線對稱，得到函數(shù)是偶函數(shù)，則有；又令代入，求得函數(shù)的周期為，利用函數(shù)周期化簡即可求值.【詳解】因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以函數(shù)的圖像關于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，則有；因為對任意，都有，令，得，所以對任意，都有，即函數(shù)的周期為，則，故答案為：.45．（1）；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意可知，若函數(shù)關于點中心對稱，則，然后利用得出與，代入上式求解；（2）因為函數(shù)及函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增；（3）根據(jù)題意可知，若對任意，總存在，使得，則只需使函數(shù)在上的值域為在上的值域的子集，然后分類討論求解函數(shù)的值域與函數(shù)的值域，根據(jù)集合間的包含關求解參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）設函數(shù)圖象的對稱中心為，則．即，整理得，于是，解得．所以的對稱中心為；（2）函數(shù)在上為增函數(shù)；（3）由已知，值域為值域的子集．由（2）知在上單增，所以的值域為．于是原問題轉化為在上的值域．①當，即時，在單增，注意到的圖象恒過對稱中心，可知在上亦單增，所以在上單增，又，，所以．因為，所以，解得．②當，即時，在單減，單增，又過對稱中心，所以在單增，單減；此時．欲使，只需且解不等式得，又，此時．③當，即時，在單減，在上亦單減，由對稱性，知在上單減，于是．因為，所以,解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查函數(shù)的對稱中心及對