江蘇省決勝新高考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

屆高三年級(jí)大聯(lián)考數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)符合題目要求．1．已知，則（）A． B． C． D．2．已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A．15 B．16 C．31 D．323．若空間中四點(diǎn)，，，滿足，則（）A． B．3 C． D．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值集合為（）A． B． C． D．5．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“為等差數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．星等是天文學(xué)上對(duì)星星明暗程度的一種表示方法，可分為兩種：目視星等與絕對(duì)星等．它們之間可用公式轉(zhuǎn)換，其中為絕對(duì)星等，為目視星等，為到地球的距離（單位：光年）．現(xiàn)在地球某處測(cè)得1號(hào)星的絕對(duì)星等為，目視星等為；2號(hào)星絕對(duì)星等為，目視星等為．則1號(hào)星與2號(hào)星到地球的距離之比為（）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)，滿足，則，可能是（）A．， B．，C．， D．，8．已知圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，從直線上任一動(dòng)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A． B． C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有項(xiàng)選錯(cuò)得0分．9．某校舉辦慶元旦歌唱比賽，一共9位評(píng)委對(duì)同一名選手打分．選手完成比賽后，每位評(píng)委當(dāng)場打分，作為該選手的初始評(píng)分．去掉一個(gè)最低分與一個(gè)最高分，選擇剩余7位評(píng)委的評(píng)分作為該選手的最終得分．則下列說法正確的是（）A．同一個(gè)選手的初始評(píng)分的中位數(shù)等于最終評(píng)分的中位數(shù)B．同一個(gè)選手的初始評(píng)分的下四分位數(shù)等于最終評(píng)分的下四分位數(shù)C．同一個(gè)選手的初始評(píng)分的平均數(shù)不低于最終評(píng)分的平均數(shù)D．同一個(gè)選手的初始評(píng)分的方差不低于最終評(píng)分的方差10．已知，，下列結(jié)論正確的是（）A．若使成立的，則B．若的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則C．若在上恰有6個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為D．存在，使得在上單調(diào)遞減11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積等于1，記點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線與軸恰有3個(gè)公共點(diǎn)C．的周長最小值為4 D．的面積最大值為112．在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，，，，，則下列說法正確的是（）A．B．棱上存在點(diǎn)，平面C．設(shè)平面與平面的交線為，則與的距離為2D．四棱錐的外接球表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．已知隨機(jī)變量，且，則________．14．已知數(shù)列滿足,，則________．15．設(shè)橢圓雙曲線共焦點(diǎn)，，離心率分別為，，其中．設(shè)曲線，在第一、三象限的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，，若四邊形為矩形，則________．16．已知三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，存在，滿足．記的極大值為，則的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前和為，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：在上單調(diào)遞增．19．（12分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，，點(diǎn)在內(nèi)部，且，，求的面積．20．（12分）如圖，在正六邊形中，將沿直線翻折至，使得二面角的大小為，為的中點(diǎn)，在線段上，平面．圖1圖2（1）記五棱錐的體積為，四面體的體積為，求；（2）求與平面所成角的正弦值．21．（12分）某單位有A、B、C、D四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．已知第1周選擇使用A密碼．（1）求第3周使用A密碼的概率；（2）求第周使用A密碼的概率；（3）記前周中使用B密碼的次數(shù)為，求．22．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在曲線上，且在，之間，曲線在處的切線分別與，相交于，．（1）求面積的最大值；（2）證明：的外接圓經(jīng)過異于點(diǎn)的定點(diǎn)．2024屆高三年級(jí)大聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分細(xì)則一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)符合題目要求．1．【答案】B【解析】，，選B．2．【答案】C【解析】，因?yàn)?，所以?，2，3，4，所以的真子集個(gè)數(shù)為，選C．3．【答案】A【解析】，則，選A．4．【答案】C【解析】令，對(duì)稱軸為，則，又因?yàn)樵谏嫌幸饬x，所以，故，選C．5．【答案】C【解析】若為等差數(shù)列，則．若，則，．兩式相減，得，即，所以，，兩式相減，得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，選C．6．【答案】B【解析】設(shè)1號(hào)星到地球的距離為，2號(hào)星到地球的距離為，所以，，兩式相減可得，則，所以，故選B．7．【答案】A【解析】由，得，類比，選A．8．【答案】B【解析】易得，設(shè)，則直線恒過定點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，在圓上，該圓的圓心為，半徑為，所以的最小值為，選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有項(xiàng)選錯(cuò)得0分．9．【答案】【解析】設(shè)同一選手的初始評(píng)分分別為，，，…，，其中，則該選手的最終評(píng)分為，，…，，所以這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，A正確．初始評(píng)分的下四分位數(shù)為，最終評(píng)分的下四分位數(shù)為，B正確．，該值的正負(fù)不確定，C錯(cuò)誤．去掉最高分與最低分，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性增強(qiáng)，D正確．選ABD．10．【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到，若所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，得，，所以，故B正確；對(duì)于C，由，得，若在上恰有6個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，故C正確；對(duì)于D，由，得，因?yàn)?，所以在上不可能單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．選BC．11．【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，用替換，方程仍然成立，故A正確．對(duì)于B，設(shè)，得，解得，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，故的周長最小值大于4，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，由題意，得，故D錯(cuò)誤．選AB．12．【答案】【解析】因?yàn)榈酌媸堑妊菪?，，，，所以，因?yàn)槠矫妫允窃谄矫嫔系纳溆?，所以，故A正確．取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則，得平面，，得平面，所以平面平面，所以平面，故B正確．由，得平面，進(jìn)而得，所以平面，由平面，且，得與的距離為4，故C錯(cuò)誤．由，平面，得平面，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以是四棱錐的外接球球心，因?yàn)椋酝饨忧虮砻娣e為，故D正確．選ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．【答案】0.3【解析】因?yàn)?，且，所以，故，故?4．【答案】4082【解析】由,，得,，又，所以，所以，，所以，所以．15．【答案】【解析】設(shè)，，則，，由，得，所以，得，又因?yàn)?，解得?6．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由題意得是的零點(diǎn)也是極小值點(diǎn)，所以不妨設(shè)，求導(dǎo)后，可得的極大值，因?yàn)椋裕?7．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以?分當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，，4分當(dāng)時(shí)，滿足，所以，即，5分所以，所以是等差數(shù)列．6分（2）因?yàn)?，所以，所以?分所以，所以．10分18．【解析】（1）因?yàn)椋?，?分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．5分（2）由（1）知，，因?yàn)?，，所以，所以?分設(shè)，則導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，10分所以，所以，所以在上單調(diào)遞增．12分19．【解析】（1）因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理，得，2分因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，，所以，?分所以．5分（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，．由，得，解得或（舍），所以．8分因?yàn)?，，所以點(diǎn)到直線的距離，10分所以的面積．12分20．【解析】（1）設(shè)正六邊形棱長為，延長交延長線于，連結(jié)．．2分因?yàn)槊?，面，面面，所以，所以，所以為中點(diǎn)．4分所以，所以．6分（2）不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，?分因?yàn)?，，，所以，，所以?0分，即與平面所成角的正弦值為．12分21．【解析】（1）因?yàn)榈?周選擇使用種密碼，所以第2周不選擇使用A種密碼，所以第3周從上周未選用的三種密碼中任選一種，所以選擇使用A密碼的概率為．3分（2）設(shè)第周使用A密碼的概率為，則第周使用A密碼的概率，5分整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，．答：第周使用