山東省青島市嶗山區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024屆中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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山東省青島市嶗山區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024學(xué)年中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.若方程x2﹣3x﹣4=0的兩根分別為x1和x2,則+的值是()A.1 B.2 C.﹣ D.﹣2.下列二次根式中,與是同類二次根式的是()A. B. C. D.3.PM2.5是大氣壓中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物,將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.0.25×10﹣5 B.0.25×10﹣6 C.2.5×10﹣5 D.2.5×10﹣64.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于M、AC于N,再分別以M、N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)交BC于D①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△ACD:S△ACB=1:1.其中正確的有()A.只有①②③ B.只有①②④ C.只有①③④ D.①②③④5.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),將ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處,連接CF,則CF的長(zhǎng)為()A. B. C. D.6.某青年排球隊(duì)12名隊(duì)員年齡情況如下:年齡1819202122人數(shù)14322則這12名隊(duì)員年齡的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A.20,19 B.19,19 C.19,20.5 D.19,207.如圖,邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC中,M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段HN長(zhǎng)度的最小值是()A. B.a(chǎn) C. D.8.如圖,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC的方向平移,得到△A′B′C′,再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合,則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為()A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60°9.下列式子一定成立的是()A.2a+3a=6a B.x8÷x2=x4C. D.(﹣a﹣2)3=﹣10.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在正方形的邊上沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x(cm),在下列圖象中,能表示△ADP的面積y(cm2)關(guān)于x(cm)的函數(shù)關(guān)系的圖象是()A. B. C. D.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,⊙P與x軸交于O,A兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),⊙P的半徑為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.12.含45°角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,其中A(-2,0),B(0,1),則直線BC的解析式為______.13.分式方程的解是_____.14.如圖,已知△ABC中,∠ABC=50°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N.若M在PA的中垂線上,N在PC的中垂線上,則∠APC的度數(shù)為_____15.閱讀下面材料:在數(shù)學(xué)課上,老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問(wèn)題:已知:∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角.求作:∠APB=∠ACB.小明的做法如下:如圖①作線段AB的垂直平分線m;②作線段BC的垂直平分線n,與直線m交于點(diǎn)O;③以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作△ABC的外接圓;④在弧ACB上取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,BP.所以∠APB=∠ACB.老師說(shuō):“小明的作法正確.”請(qǐng)回答:(1)點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心(即OA=OB=OC)的依據(jù)是_____;(2)∠APB=∠ACB的依據(jù)是_____.16.如圖,BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BD,DC的中點(diǎn).若AB=4,BC=3,則AE+EF的長(zhǎng)為_____.17.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,點(diǎn)P、Q分別在邊BC、AC上,PQ∥AB,把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到△PDE(點(diǎn)C、Q分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)),點(diǎn)D落在線段PQ上,若AD平分∠BAC,則CP的長(zhǎng)為_________.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=1OD,OE=1OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.(1)求證:DE⊥AG;(1)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖1.①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′是直角時(shí),求α的度數(shù);②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由.19.(5分)已知,關(guān)于x的方程x2﹣mx+m2﹣1=0,(1)不解方程,判斷此方程根的情況;(2)若x=2是該方程的一個(gè)根,求m的值.20.(8分)已知:如圖,在半徑為2的扇形中,°,點(diǎn)C在半徑OB上,AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)D,交弧AB于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié).(1)若C是半徑OB中點(diǎn),求的正弦值;(2)若E是弧AB的中點(diǎn),求證:;(3)聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí),求CD的長(zhǎng).21.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于P,Q兩點(diǎn)給出如下定義:若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離之和,則稱P,Q兩點(diǎn)為同族點(diǎn).下圖中的P,Q兩點(diǎn)即為同族點(diǎn).(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,1),①在點(diǎn)R(0,4),S(2,2),T(2,﹣3)中,為點(diǎn)A的同族點(diǎn)的是;②若點(diǎn)B在x軸上,且A,B兩點(diǎn)為同族點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(2)直線l:y=x﹣3,與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,①M(fèi)為線段CD上一點(diǎn),若在直線x=n上存在點(diǎn)N,使得M,N兩點(diǎn)為同族點(diǎn),求n的取值范圍;②M為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若以(m,0)為圓心,為半徑的圓上存在點(diǎn)N,使得M,N兩點(diǎn)為同族點(diǎn),直接寫出m的取值范圍.22.(10分)如圖,已知拋物線與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A,與y軸正半軸相交于點(diǎn)B,,直線l過(guò)A、B兩點(diǎn),點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)

E.(1)求拋物線的解析式;(2)若拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,四邊形FAEB的面積為S,請(qǐng)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式,并判斷S是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值;并寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得和相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.23.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.(1)b=_________,c=_________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________;(直接填寫結(jié)果)(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).24.(14分)如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到CE,連接AE.求證:AE∥BC.

參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解題分析】試題分析:找出一元二次方程的系數(shù)a,b及c的值,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積,然后利用異分母分式的變形,將求出的兩根之和x1+x2=3與兩根之積x1?x2=﹣4代入,即可求出=.故選C.考點(diǎn):根與系數(shù)的關(guān)系2、C【解題分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn),根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.【題目詳解】A.|a|與不是同類二次根式;B.與不是同類二次根式;C.2與是同類二次根式;D.與不是同類二次根式.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同類二次根式的定義,一般地,把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后,如果它們的被開方數(shù)相同,就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.3、D【解題分析】

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義,科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.在確定n的值時(shí),看該數(shù)是大于或等于1還是小于1.當(dāng)該數(shù)大于或等于1時(shí),n為它的整數(shù)位數(shù)減1;當(dāng)該數(shù)小于1時(shí),-n為它第一個(gè)有效數(shù)字前0的個(gè)數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0).【題目詳解】解:0.0000025第一個(gè)有效數(shù)字前有6個(gè)0(含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0),從而.故選D.4、D【解題分析】

①根據(jù)作圖過(guò)程可判定AD是∠BAC的角平分線;②利用角平分線的定義可推知∠CAD=10°,則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù);③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB是等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上;④利用10°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形面積之比.【題目詳解】①根據(jù)作圖過(guò)程可知AD是∠BAC的角平分線,①正確;②如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,∴∠CAB=60°,又∵AD是∠BAC的平分線,∴∠1=∠2=12∠CAB=10°,∴∠1=90°-∠2=60°,即∠ADC=60°,②正確;③∵∠1=∠B=10°,∴AD=BD,∴點(diǎn)D在AB的中垂線上,③正確;④如圖,∵在直角△ACD中,∠2=10°,∴CD=12AD,∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD,S△DAC=12AC?CD=14AC?AD.∴S△ABC=12AC?BC=12AC?32AD=3【題目點(diǎn)撥】本題主要考查尺規(guī)作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的外角以及等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握有關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵.5、B【解題分析】

連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,根據(jù)勾股定理求得AE=5,利用直角三角形面積的兩種表示法求得BH=,即可得BF=,再證明∠BFC=90°,最后利用勾股定理求得CF=.【題目詳解】連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,∵BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),∴BE=3,又∵AB=4,∴AE==5,∵,∴,∴BH=,則BF=,∵FE=BE=EC,∴∠BFC=90°,∴CF==.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用,掌握折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.6、D【解題分析】

先計(jì)算出這個(gè)隊(duì)共有1+4+3+2+2=12人,然后根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義求解.【題目詳解】這個(gè)隊(duì)共有1+4+3+2+2=12人,這個(gè)隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)為19,中位數(shù)為=1.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).也考查了中位數(shù)的定義.7、A【解題分析】

取CB的中點(diǎn)G,連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG,再求出∠HBN=∠MBG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB,然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HN=MG,然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時(shí)最短,再根據(jù)∠BCH=30°求解即可.【題目詳解】如圖,取BC的中點(diǎn)G,連接MG,∵旋轉(zhuǎn)角為60°,∴∠MBH+∠HBN=60°,又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,∴∠HBN=∠GBM,∵CH是等邊△ABC的對(duì)稱軸,∴HB=AB,∴HB=BG,又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN,∴BM=BN,在△MBG和△NBH中,,∴△MBG≌△NBH(SAS),∴MG=NH,根據(jù)垂線段最短,MG⊥CH時(shí),MG最短,即HN最短,此時(shí)∵∠BCH=×60°=30°,CG=AB=×2a=a,∴MG=CG=×a=,∴HN=,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì),作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).8、B【解題分析】試題分析:∵∠B=60°,將△ABC沿射線BC的方向平移,得到△A′B′C′,再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合,∴∠A′B′C=60°,AB=A′B′=A′C=4,∴△A′B′C是等邊三角形,∴B′C=4,∠B′A′C=60°,∴BB′=6﹣4=2,∴平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為:2,60°故選B.考點(diǎn):1、平移的性質(zhì);2、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);3、等邊三角形的判定9、D【解題分析】

根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)運(yùn)算法則、冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可.【題目詳解】解:A:2a+3a=(2+3)a=5a,故A錯(cuò)誤;B:x8÷x2=x8-2=x6,故B錯(cuò)誤;C:=,故C錯(cuò)誤;D:(-a-2)3=-a-6=-,故D正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)運(yùn)算法則、冪的乘方法則.其中指數(shù)為分?jǐn)?shù)的情況在初中階段很少出現(xiàn).10、B【解題分析】

△ADP的面積可分為兩部分討論,由A運(yùn)動(dòng)到B時(shí),面積逐漸增大,由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),面積不變,從而得出函數(shù)關(guān)系的圖象.【題目詳解】解:當(dāng)P點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),即0≤x≤2時(shí),y=×2x=x,當(dāng)P點(diǎn)由B運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),即2<x<4時(shí),y=×2×2=2,符合題意的函數(shù)關(guān)系的圖象是B;故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題,用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的面積、一次函數(shù),在圖象中應(yīng)注意自變量的取值范圍.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、(3,2).【解題分析】

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,連接OP,先由垂徑定理求出OD的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理求出PD的長(zhǎng),故可得出答案.【題目詳解】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,連接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中∵OP=OD=3,∴PD=2∴P(3,2).故答案為(3,2).【題目點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則可證得△AOB≌△CDA,可求得CD和OD的長(zhǎng),可求得C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式.【題目詳解】如圖,過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.∵∠CAB=90°,∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°,∴∠DAC=∠ABO.在△AOB和△CDA中,∵,∴△AOB≌△CDA(AAS).∵A(﹣2,0),B(0,1),∴AD=BO=1,CD=AO=2,∴C(﹣3,2),設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,∴,解得:,∴直線BC解析式為yx+1.故答案為yx+1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法及全等三角形的判定和性質(zhì),構(gòu)造全等三角形求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.13、x=13【解題分析】

解分式方程的步驟:①去分母;②求出整式方程的解;③檢驗(yàn);④得出結(jié)論.【題目詳解】,去分母,可得x﹣5=8,解得x=13,經(jīng)檢驗(yàn):x=13是原方程的解.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解分式方程,解分式方程時(shí),去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)檢驗(yàn).14、115°【解題分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ACB=130°,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,于是得到結(jié)論.【題目詳解】∵∠ABC=50°,∴∠BAC+∠ACB=130°,∵若M在PA的中垂線上,N在PC的中垂線上,∴AM=PM,PN=CN,∴∠MAP=∠APM,∠CPN=∠PCN,∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP,∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°,∴∠APC=115°,故答案為:115°【題目點(diǎn)撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和,熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15、①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;②等量代換同弧所對(duì)的圓周角相等【解題分析】

(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理以及等量代換即可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)如圖2中,∵M(jìn)N垂直平分AB,EF垂直平分BC,∴OA=OB,OB=OC(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等),∴OA=OB=OC(等量代換)故答案是:(2)∵,∴∠APB=∠ACB(同弧所對(duì)的圓周角相等).故答案是:(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等和等量代換;(2)同弧所對(duì)的圓周角相等.【題目點(diǎn)撥】考查作圖-復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外心等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì).16、1【解題分析】

先根據(jù)三角形中位線定理得到的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì),即可得到的長(zhǎng),進(jìn)而得出計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】解:∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別是的中點(diǎn),∴FE是△BCD的中位線,.又∵E是BD的中點(diǎn),∴Rt△ABD中,,故答案為1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理的運(yùn)用,解題時(shí)注意:在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半;三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.17、1【解題分析】

連接AD,根據(jù)PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB,再由點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,得出∠DAQ=∠DAB,故∠ADQ=∠DAQ,AQ=DQ.在Rt△CPQ中根據(jù)勾股定理可知,AQ=11-4x,故可得出x的值,進(jìn)而得出結(jié)論.【題目詳解】連接AD,∵PQ∥AB,∴∠ADQ=∠DAB,∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,∴∠DAQ=∠DAB,∴∠ADQ=∠DAQ,∴AQ=DQ,在Rt△ABC中,∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∵PQ∥AB,∴△CPQ∽△CBA,∴CP:CQ=BC:AC=3:4,設(shè)PC=3x,CQ=4x,在Rt△CPQ中,PQ=5x,∵PD=PC=3x,∴DQ=1x,∵AQ=4-4x,∴4-4x=1x,解得x=,

∴CP=3x=1;故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)見(jiàn)解析;(1)30°或150°,的長(zhǎng)最大值為,此時(shí).【解題分析】

(1)延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,易證△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后運(yùn)用等量代換證明∠AHE=90°即可;(1)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°,α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=150°;②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,AF′=AO+OF′=+1,此時(shí)α=315°.【題目詳解】(1)如圖1,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),∴OA=OD,OA⊥OD,∵OG=OE,在△AOG和△DOE中,,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO,∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠GAO+∠DEO=90°,∴∠AHE=90°,即DE⊥AG;(1)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:(Ⅰ)α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),∵OA=OD=OG=OG′,∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,∴∠AG′O=30°,∵OA⊥OD,OA⊥AG′,∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°°,即α=30°;(Ⅱ)α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),同理可求∠BOG′=30°,∴α=180°?30°=150°.綜上所述,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°或150°.②如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A.

O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,∴OA=OD=OC=OB=,∵OG=1OD,∴OG′=OG=,∴OF′=1,∴AF′=AO+OF′=+1,∵∠COE′=45°,∴此時(shí)α=315°.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義,掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等,旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,注意特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2)m=2或m=1.【解題分析】

(1)由△=(-m)2-4×1×(m2-1)=4>0即可得;(2)將x=2代入方程得到關(guān)于m的方程,解之可得.【題目詳解】(1)∵△=(﹣m)2﹣4×1×(m2﹣1)=m2﹣m2+4=4>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)將x=2代入方程,得:4﹣2m+m2﹣1=0,整理,得:m2﹣8m+12=0,解得:m=2或m=1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是:(1)牢記“當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”;(2)將x=2代入原方程求出m值.20、(2);(2)詳見(jiàn)解析;(2)當(dāng)是以CD為腰的等腰三角形時(shí),CD的長(zhǎng)為2或.【解題分析】

(2)先求出OCOB=2,設(shè)OD=x,得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x,根據(jù)勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=2求出x,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出,進(jìn)而得出∠CBE=∠BCE,再判斷出△OBE∽△EBC,即可得出結(jié)論;(3)分兩種情況:①當(dāng)CD=CE時(shí),判斷出四邊形ADCE是菱形,得出∠OCE=90°.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,建立方程求解即可;②當(dāng)CD=DE時(shí),判斷出∠DAE=∠DEA,再判斷出∠OAE=OEA,進(jìn)而得出∠DEA=∠OEA,即:點(diǎn)D和點(diǎn)O重合,即可得出結(jié)論.【題目詳解】(2)∵C是半徑OB中點(diǎn),∴OCOB=2.∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD.設(shè)OD=x,∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x.在Rt△OCD中,根據(jù)勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=2,∴x,∴CD,∴sin∠OCD;(2)如圖2,連接AE,CE.∵DE是AC垂直平分線,∴AE=CE.∵E是弧AB的中點(diǎn),∴,∴AE=BE,∴BE=CE,∴∠CBE=∠BCE.連接OE,∴OE=OB,∴∠OBE=∠OEB,∴∠CBE=∠BCE=∠OEB.∵∠B=∠B,∴△OBE∽△EBC,∴,∴BE2=BO?BC;(3)△DCE是以CD為腰的等腰三角形,分兩種情況討論:①當(dāng)CD=CE時(shí).∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD,AE=CE,∴AD=CD=CE=AE,∴四邊形ADCE是菱形,∴CE∥AD,∴∠OCE=90°,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a,∴OD=OA﹣AD=2﹣a.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,∴4﹣a2=a2﹣(2﹣a)2,∴a=﹣22(舍)或a=;∴CD=;②當(dāng)CD=DE時(shí).∵DE是AC垂直平分線,∴AD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA.連接OE,∴OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠DEA=∠OEA,∴點(diǎn)D和點(diǎn)O重合,此時(shí),點(diǎn)C和點(diǎn)B重合,∴CD=2.綜上所述:當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí),CD的長(zhǎng)為2或.【題目點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題,主要考查了勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.21、(1)①R,S;②(,0)或(4,0);(2)①;②m≤或m≥1.【解題分析】

(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,1),∴2+1=4,點(diǎn)R(0,4),S(2,2),T(2,?2)中,0+4=4,2+2=4,2+2=5,∴點(diǎn)A的同族點(diǎn)的是R,S;故答案為R,S;②∵點(diǎn)B在x軸上,∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為0,設(shè)B(x,0),則|x|=4,∴x=±4,∴B(?4,0)或(4,0);故答案為(?4,0)或(4,0);(2)①由題意,直線與x軸交于C(2,0),與y軸交于D(0,).點(diǎn)M在線段CD上,設(shè)其坐標(biāo)為(x,y),則有:,,且.點(diǎn)M到x軸的距離為,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為,則.∴點(diǎn)M的同族點(diǎn)N滿足橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和為2.即點(diǎn)N在右圖中所示的正方形CDEF上.∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)N在直線上,∴.②如圖,設(shè)P(m,0)為圓心,為半徑的圓與直線y=x?2相切,∴PC=2,∴OP=1,觀察圖形可知,當(dāng)m≥1時(shí),若以(m,0)為圓心,為半徑的圓上存在點(diǎn)N,使得M,N兩點(diǎn)為同族點(diǎn),再根據(jù)對(duì)稱性可知,m≤也滿足條件,∴滿足條件的m的范圍:m≤或m≥122、(1);(2)與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.(3)存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.【解題分析】

利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),結(jié)合即可得出關(guān)于a的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論;由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式待定系數(shù)法,由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),進(jìn)而可得出DE的長(zhǎng)度,利用三角形的面積公式結(jié)合即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;由、,利用相似三角形的判定定理可得出:若要和相似,只需或,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為,進(jìn)而可得出DE、BD的長(zhǎng)度當(dāng)時(shí),利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出,進(jìn)而可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論;當(dāng)時(shí),由點(diǎn)B的縱坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論綜上即可得出結(jié)論.【題目詳解】當(dāng)時(shí),有,解得:,,點(diǎn)A的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.,,解得:,拋物線的解析式為.點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,直線AB的解析式為.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,點(diǎn)E的坐標(biāo)為,如圖.點(diǎn)F的坐標(biāo)為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,,,,.,當(dāng)時(shí),S取最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.,,若要和相似,只需或如圖.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為,,當(dāng)時(shí),,,,為等腰直角三角形.,即,解得:舍去,,點(diǎn)D的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,,解得:,舍去,點(diǎn)D的坐標(biāo)為.綜上所述:存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.故答案為:(1);(2)與x的函數(shù)關(guān)系式為,S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.(3)存在點(diǎn)D,使得和相似,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)

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