三角形的“心”總結(jié)_第1頁
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三角形的“心”總結(jié)1．重心：設(shè)是的重心，的延長線交于，則（1）BD=DC（2）；（3），（4）．（5）已知是不共線的三點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，若．則是的重心．變式：已知分別為的邊的中點(diǎn)．則．變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則．2.外心：設(shè)⊙（）是的外接圓，于交⊙于，則（1）；（2）或；（3）=；（4）（正弦定理）（5）已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為△ABC的外心。3.內(nèi)心：設(shè)的內(nèi)心圓⊙（切邊于，的延長線交外接圓于，則（1）;(2)(3)；(4);（5）O是內(nèi)心的充要條件是變式1：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件是變式2：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件也可以是。4.垂心：設(shè)分別是的外心，重心，垂心，于，的延長線交外接圓于，則（1）；（2）與關(guān)于成軸對稱；（3）⊙⊙；（4）三點(diǎn)共線，且；（5）已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)G為垂心。變式：若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是△ABC的垂心5．旁心：設(shè)在內(nèi)的旁切圓⊙（與的延長線切于，則（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6．三角形中內(nèi)切圓、旁切圓和外圓半徑的幾個關(guān)系在△中，內(nèi)切圓⊙分別與三邊相切于點(diǎn)，邊上的帝切圓⊙與邊切于點(diǎn)，且分別與邊和這的延長線相切于點(diǎn)、點(diǎn)．設(shè)三邊、、分別為，分別為，，內(nèi)切圓半徑為，旁切圓半徑分別為，外接圓半徑為，三角形面積為，則有如下關(guān)系式：（1），，；（2）；（3）直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半；（4）；（5）；（6）7.“心”之間的關(guān)系（1）設(shè)△ABC的外心為O，則點(diǎn)G為△ABC重心的充要條件為：（2）設(shè)△ABC的外心為O，則點(diǎn)H為△ABC的垂心的充要條件是。（3）△ABC的外心、重心、垂心分別為O、

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