專題14 全等三角形中的動態(tài)問題（原卷版）

專題14全等三角形中的動態(tài)問題（原卷版）第一部分典例剖析+變式訓練類型一單動點與全等三角形典例1（2023春?惠濟區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發(fā)沿直線BC以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．（1）試說明：∠A＝∠BCD；（2）當點E運動多長時間時，CF＝AB？請說明理由．變式訓練1．（2023春?梅江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點D從B出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段BC上從點B向點C運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段CA上向點A運動，連接AD、DE，設(shè)D、E兩點運動時間為t秒（0＜t＜4）（1）運動秒時，AE=13（2）運動多少秒時，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝（用含α的式子表示）．

類型二雙動點與全等三角形典例2（2022秋?南召縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E為AB的中點，若點P在線段BC上以5cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CD上由點C向點D運動．（1）若點Q運動的速度是5cm/s，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請說明理由；（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當△BPE與△CQP全等時，求出點Q的運動速度．變式訓練1．（2023春?豐城市期末）如圖，做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP、BQ足夠長，PA⊥AB，QB⊥AB，點M從點B出發(fā)，向點A運動，同時點N從點B出發(fā)，向點Q運動，點M、N運動的速度之比為3：4，當M、N兩點運動到某一瞬間同時停止，此時在射線AP上取點C，使△ACM與△BMN全等，求此時線段AC的長是多少？2．（2023春?吉安縣期末）如圖，△ABC中，D為AB的中點，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若點P在線段BC上以3厘米/秒的速度從點B向終點C運動，同時點Q在線段CA上從點C向終點A運動，若點Q的速度與點P的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請說明△BPD≌△CQP；（2）若點P以3厘米/秒的速度從點B向點C運動，同時點Q以5厘米/秒的速度從點C向點A運動，它們都依次沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過多長時間，點Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點P？

類型三線動與全等三角形例3（2020秋?新蔡縣期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系，并加以證明；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？（請直接寫出這個等量關(guān)系，不需要證明）．針對訓練1．（2020秋?沂源縣期中）如圖，把長短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍BM擺出△ABC，木棍AB固定，木棍AC繞A轉(zhuǎn)動，得到△ABD，這個實驗說明．2．（2020秋?宿豫區(qū)校級月考）如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；（1）延長MP交CN于點E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN；（2）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

類型四形動與全等三角形典例4（2021秋?興化市期末）如圖1，△ABC與△ADE是共頂點A的兩個等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）求證：CE＝BD；（2）如圖2，固定△ABC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，當點D旋轉(zhuǎn)到線段BC上時，求CE的長；（3）如圖3，設(shè)F為BD、CE的交點，G、H分別為BD、CE的中點，∠BFC＝α，∠AGH＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

針對訓練1．（2023?大新縣校級模擬）已知：點P為∠AOB的角平分線的任意一點，∠EPF與∠AOB互補，∠EPF的兩邊與∠AOB的兩邊交于E、F兩點．（1）如圖1，當∠EPF繞著點P旋轉(zhuǎn)時，PE和PF的數(shù)量關(guān)系是，請驗證你的結(jié)論；（2）如圖2，若∠AOB＝90°時，∠EPF與∠AOB仍然互補，這時PE與PF還相等嗎？并加以證明．2．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．

專題提優(yōu)訓練1．（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設(shè)運動時間為ts．（1）如圖（1），當t＝時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．2．（2023春?東源縣期末）如圖，AE與BD相交于點C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點P從點出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫出線段AP的長（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當線段PQ經(jīng)過點C時，求t的值．

3．（2023春?三水區(qū)校級期中）如圖：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．（1）如圖1，求△AOB的面積；（2）如圖2，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸Q，點Q，當P點在x軸上移動時，線段BE和線段BQ中，請判斷哪條線段長為定值，并求出該定值．4．（2018秋?東勝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在點P（4，4）處，兩直角邊與坐標軸交于點A和點B．（1）求OA+OB的值；（2）將直角三角形繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊與坐標軸交于點A和點B，求OA﹣OB的值．

5．（2021秋?安徽期末）如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O．（1）當△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是．（2）當△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）在圖③中，連接BO、AD，猜想BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系？畫出圖形，寫出結(jié)論，無需證明．6．（2022春?濟南期中）把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以D為頂點作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當∠ACD+∠MDN＝90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何