2022年山東省淄博市部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)診斷試卷（4月份）（附答案詳解）

2022年山東省淄博市部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)診斷試卷（4月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)集合4={%€2|2%2+%―640},8={幻0<刀<2},則4?！?;8)=()

A.[-2,0]B.(0,|]C.{-2,-1,0)D.{-2,-1}

2.復(fù)數(shù)z滿足一3+i=z（2+i）,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.雙曲線?——=1的離心率為（）

25/6V26V30

A.BC.逆D.

5?555

4.（%-3y）5展開式中第3項的系數(shù)是（）

A.90B.-90C.-270D.270

5.若圓C：x2+y2-2x+4y+l=0的弦MN的中點為4（2,-3）,則直線的方程是

（）

A.2x—y-7=0B.x—y—5=0C.x+y+l=0D.x—2y—8=0

6.已知△ABC中，AB=4,AC=3,cos4=g.若。為邊BC上的動點，則說.標的取

值范圍是（）

A.[472,12]B.[8V2,16]C.[4,16]D.[2,4]

7.“角a與A的終邊關(guān)于直線y=x對稱”是“sin（a+S）=1”的（）

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知x,ye[e,e2],且x#y.若a<毛譬恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>1B.a>0C.a<—1D.a<0

二、多選題（本大題共4小題，共20?0分）

9,已知2。=3b=6,則a,b滿足（）

A.a<bB-*<1C.ab>4D,a+b>4

10.已知函數(shù)f（%）=Asin（a）x+（p）（A>0,a）>0,\（p\<兀）的部

分圖像如圖所示，則（）

A.4=2

D57r

B-W=w

是奇函數(shù)

C.+9o

D.f（x）在區(qū)間[冶幣上單調(diào)遞減

11.已知橢圓E：?+?=1的左、右焦點分別為居、F2,左、右頂點分別為人、々孑是

橢圓上異于%的點，則下列說法正確的是（）

A.APF1F2周長為4

B.△P&F2面積的最大值為8

C.|西+西|的最小值為2g

D.若面積為2,則點P橫坐標為±彳

12.某工廠有25周歲及以上工人300名，25周歲以下工人200名.統(tǒng)計了他們某日產(chǎn)品

的生產(chǎn)件數(shù)，然后按“25周歲及以上”和“25周歲以下”分成兩組，再分別將兩

組工人的日生產(chǎn)件數(shù)分成5組“[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]”加

以匯總，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能

手”，零假設(shè)%：生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān).（）

（25周歲以下組）

n(ac-bd)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.該工廠工人日生產(chǎn)件數(shù)的25%分位數(shù)在區(qū)間[60,70）內(nèi)

B.日生產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)“25周歲及以上組”小于“25周歲以下組”

C.從生產(chǎn)不足60件的工人中隨機抽2人，至少1人25周歲以下的概率為卷

D.根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“不成立

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三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數(shù)/(x)=M—2lnx+2在點(1/(1))處的切線方程是.

14.已知a€(0,n)，tana=-2,則cos(a-W)=.

15.設(shè)等差數(shù)列｛aj的前兀項和為3,若Smr=-3,Sm=-2,Sm+1=0,則m=

16.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCmi中，P,Q,

R分別是棱AB,BC,BBi上的點，且滿足PB=QB=

RB=l，以△「(?/?為底面作一個直三棱柱，使其另一個

底面的三個頂點都在正方體ABC。-的表面上，

則這個直三棱柱的體積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.小葉紫檀是珍稀樹種，因其木質(zhì)好備受玩家喜愛,

其幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm,測得

數(shù)據(jù)如下：

/p>

0102030<10SOX

y0479111213

數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：

為近似描述y與尤的關(guān)系，除了一次函數(shù)丫=bx+a，還有y=b依+a和y=b/

a兩個函數(shù)可選.

(1)從三個函數(shù)中選出“最好”的曲線擬合y與x的關(guān)系，并求出其回歸方程作保留

到小數(shù)點后1位)；

(2)判斷說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”是否成立，并給出

理由.

參考公式：._EZi(Xi-x)(4i-y)_￡匕種,?一呼y.

a=y-bx-

參考數(shù)據(jù)(其中妁=yfx[>ii=*)：x=20,u=4,i=668>y=8?S^=1xf=4676,

=140,￡)14=7907396,￡憶12%=1567,羽小=283,羽=14%=

56575.

18.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足(tanA-stnC)(tanB-sinC)=

sin2c.

(1)求證:c2=ab；

(2)若a+b=3,求gT方的最小值.

19.已知數(shù)列｛a,J(n€N*)的前7i項和為右，滿足a”+Sn=加

(1)證明數(shù)列｛an-1｝是等比數(shù)列，并求出｛即｝的通項公式;

(2)令b=千產(chǎn)，求數(shù)列｛%｝的前n項和7n.

Unan+1

20.如圖，已知三棱柱ABC—4B1G的棱長均為2,乙4P4C=

60°,ArB=V6.

(1)證明：平面AiACCi1平面ABC；

(2)設(shè)M為側(cè)棱CCi上的點，若平面&BM與平面NBC夾角

的余弦值為嚕，求點M到直線4為距離.

21.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F,點M(2,m)在拋物線C上，且|MF|=2.

(1)求實數(shù)Tn的值及拋物線C的標準方程；

(2)不過點M的直線I與拋物線C相交于力，B兩點，若直線AM,MB的斜率之積為-2,

試判斷直線/能否與圓(％-2)2+(y-m)2=80相切？若能，求此時直線］的方程

若不能，請說明理由.

已知m6R,函數(shù)/(%)=(%-m)sinx+cosx的定義域是［一兀(］.

(1)若小工一(討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若m=-7T,且f(x)>ax+1恒成立，求實數(shù)a的值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：A={x&Z\2x2+x-6<0}={xeZ|-2<x<|}={-2,-1,0,1},B=

{x|0<%<2},

則4。&8)={0,-1,-2}.

故選：C.

由已知結(jié)合集合的交集及補集運算即可求解.

本題主要考查了集合的交集及補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：？-3+i=z(2+i),

-3+i(-3+i)(2-i)1.

=7^)(^r=-1+￡,

.??復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(-1,1)在第二象限.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的兒何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

2

【解析】解：?.,雙曲線看一/=1，則。=倔匕=1，

可得：c=y/a2+b2=遍，

.?=￡=圾

aS

故選：D.

2

由方程己知a、b,再結(jié)合a?+b=c?求c,代入離心率e=a

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：。一3y)5展開式中第3項展開式為73=C^x3-(-3y)2,

故第3項的系數(shù)為程?(-3)2=90；

故選：A.

直接利用組合數(shù)和二項展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：二項展開式的應(yīng)用，組合數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運算能力和

數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：化圓C：/+、2一2刀+4丫+1=0為。-1)2+3+2)2=4,

則圓心坐標為C(l,-2),心0=言=一1-

???AC1MN,?-?kMN=1,

則弦MN所在直線的方程為y+3=1Q—2),即x-y-5=0.

故選：B.

化圓的方程為標準方程，求得圓心坐標，由兩點求斜率公式求得PC所在直線當斜率,

得到MN的斜率，再由直線方程的點斜式求解.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查兩直線垂直的條件，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】

解：設(shè)前=2瓦，(0<A<1),

則近-AD=AB-(AB+JD)=AB-[^1-

A)AB+AAC]=16(l-A)+4x3x|xA=

16-124,

又0W4W1,

則松?而6[4,16]，

故選：C.

由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量的線性運算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：由“角a與￡的終邊關(guān)于直線y=x對稱”，可得sina=cos￡,cosa=sinS，

???sin(a+0)=sinacosp+cosasinp=sin2a+cos2a=1,故充分性成立.

由"sin(a+夕)=1">可得sinacos。+cosasinfi=1=sin2a+cos2a,

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即sina=cos￡,cosa=sin。,

即''角a與0的終邊關(guān)于直線'=》對稱"，故必要性成立，

故角a與0的終邊關(guān)于直線y=x對稱”是“sin(a+S)=的充分必要條件,

故選：A.

由題意，利用充分條件、必要條件、充要條件的定義，得出結(jié)論.

本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：不妨設(shè)％<y,則-%)<xlny-ylnx,可得一?一W

xyyx

所以，g<g

xy

設(shè)/?)="巖，則f(x)</(y)，

所以，函數(shù)/'(t)在區(qū)間［e,e2］上為增函數(shù),

1-lnt-a

f(0=>0對任意的te［e,e2］恒成立,

則a<(1-lnt)min=-1

故選：C.

不妨設(shè)x<y,可得出色詈<中，構(gòu)造函數(shù)f(t)=中，可知函數(shù)f(t)在區(qū)間［e,e2］上

上為增函數(shù)，可得出尸(t)=上瀉>0對任意的t￡［e,e2］恒成立，結(jié)合參變量分離法

可求得實數(shù)a的取值范圍.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，也考查了轉(zhuǎn)化思想，難點是將問題轉(zhuǎn)化為

"詈<竺皆，屬于中檔題.

9.【答案】CD

ab

【解析】解：A,v2=3=6,：.a=log26=14-log23>14-log22=2,b=log36=

1+log32<14-log33=2,?,?a>b,?,?A錯誤，

B,va=log26,b=Sg36,???：+￡=log62+log63=log66=1,??.B錯誤，

C,vl=i-f-i>2*,?ab>4,當且僅當a=b時取等號，va>b,/.ab>4,/.C

ab7ab

正確，

D,a+b=(a+b)(；+}=g+￡+222“+2=4,當且僅當a=b時取等號,a>

b,.1-a+b>4,.1■D正確，

故選：CD.

化指數(shù)式為對數(shù)式，再利用基本不等式求解即可.

本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，基本不等式的應(yīng)用，是中檔題.

10.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=AsinQx+@)(4>0,3>0,|<p|<TT)的部分圖像，

—rzol2nlire5n、

可得5、工=三一運，?.?3=2.

再根據(jù)五點法作圖，可得2x■+尹=0,

1Zo

再把點(0,-1)代入，可得4X(-i)=-1,.-.A=2,f(x)=2sin(2x-^).

故A正確且3錯誤；

由于/'(x+g)=2s譏(2x-9=-cos2x,是偶函數(shù)，故C錯誤；

O4

在區(qū)間［一式］上，2x-ye［-y，5，函數(shù)/(%)單調(diào)遞減,故。正確,

故選：AD.

由頂點坐標求出4由周期求出3,由五點作圖求出0,可得函數(shù)的解析式，再利用正弦

函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(3x+w)的部分圖像求函數(shù)的解析式，由頂點坐標求出4

由周期求出3,由五點作圖求出0,正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于中檔題

11.【答案】BC

【解析】解：由題意a=2,b=低。=1,&(一1,0),尸2(1,0)，短軸一個端點B2(0,遮)，

對于4,由題知|PFi|+IPF2I=2a=4,故^「招尸2周長為4+2=6,故A錯誤；

對于B,利用橢圓的性質(zhì)可知^「凡「2面積最大值為2x6=6,故8正確；

對于C，|朋1+兩21=2|而|，設(shè)P(2cosO,VIsin。)，從而|討|=V4cos20+3sin29=

V3+cos20>V5，

所以I西+對2I=2|而I，故C正確；

對十。,因為SAP4"Z=21"14211力1=21ypi=2,\yP\=1,

釁+；1，孫=土平，故0錯誤?

故選：BC.

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根據(jù)橢圓的定義判斷4利用橢圓的性質(zhì)可得APFiFz面積最大值判斷B,由|西+

PA2\=2|而|可判斷C，由三角形面積求得P點坐標后可判斷D.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：該工廠工人一共有200+300=500人，則500x25%=125,則選取第125

名和126名的平均數(shù)作為25%分位數(shù)，

其中25周歲及以上組在區(qū)間［50,60）的人數(shù)為300X0.005X10=15,

25周歲以下組在區(qū)間［50,60）的人數(shù)為200x0.005x10=10,

25周歲及以上組在區(qū)間［60,70）的人數(shù)為300X0.035x10=105,

25周歲以下組在區(qū)間［60,70）的人數(shù)為200X0.025x10=50,

因為15+10=25<125,15+10+105+50=180>126,

故該工廠工人日生產(chǎn)件數(shù)的25%分位數(shù)在區(qū)間［60,70）內(nèi)，A正確；

25周歲及以上組的平均數(shù)為55x0.005x10+65x0.035X10+75X0.035x10+

85x0.02x10+95x0.005x10=73.5,

25周歲以下組的平均數(shù)為55X0.005x10+65x0.025x10+75x0,0325x10+

85x0.0325x10+95x0.005x10=75.75,

因為73.5<75.75,所以日生產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)“25周歲及以上組“小于“25周歲以下

組”,B正確;

生產(chǎn)不足60件的工人一共有25人，其中25周歲及以上組有15人,25周歲以下組有10人，

所以從生產(chǎn)不足60件的工人中隨機抽2人，

至少1人25周歲以下的概率為=生故C錯誤；

「25

填寫列聯(lián)表，如下：

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計

25周歲及以上組75225300

25周歲以下組75125200

合計150350500

,2=必5)2=500X(75X125-75X225)2‘g929>7879

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~300x200x150X350?''

故可以推斷為不成立，。正確.

故選：ABD.

4選項，利用分位數(shù)的計算公式進行求解；B選項，分別計算出25周歲及以上組的平均

數(shù)和25周歲以下組的平均數(shù)，比較得到結(jié)

論；C選項，利用組合知識求解古典概型的概率；D選項，計算出卡方，與7.879比較得

到結(jié)論.

本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】y=3

【解析】解：由題，/'(x)=2x—g則((1)=2-|=0,

因為f(l)=12+2=3,

所以切線方程為y=3,

故答案為：y=3.

求出切點，利用導(dǎo)函數(shù)求得切線斜率，即可得到答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

14.【答案】叵

10

【解析】解：因為a€(0,兀)，tana=—2,

所以cosa=-京，sina=

則cos(a-2)=~(sina+cosa)=答.

故答案為：叵.

10

由已知結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解.

本題主要考查了同角基本關(guān)系，兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4

【解析】解：1?1Sm-1=-3,Sm=-2,Sm+1=0,

Om=Sm-Sm-1=1=?1+(m-l)d,

a

m+l=Sm+i-Sm=2=+md,

(m+1)%+d=0,

解得m=4.

故答案為：4.

利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出.

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本題考查了等差數(shù)列的求和公式與通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】|

【解析】解：如圖,

連接Dp4,DCD/i，并分別取它們靠近于％的三等分點匕，Qi，Ri，

連接0#,PP、,QQi，RR「PiQi，P/i，QR,則PP'/DiB,QQ\〃D、B,RR]/DR

且PPi=|°iB,QQi號AB,RR]=觸避,

連接DB,易得DBJ.PQ,

因為CD11平面4BCD,所以DDi1PQ,

又DBD0Di=D,所以PQ1平面DBDi，所以PQ1JB,

同理可得D/1PR,又PRCPQ=P,所以_L平面PQR,

所以PPiJL平面PQR,QQi_L平面PQR,R%L平面PQR,

所以三棱柱PQR-P1Q18為直棱柱，

因為正方體的棱長為1,所以。*=百，貝|JPP]=竽，

因為PB=QB=RB=g,所以PR=PQ=RQ=?,

所以VpQR_P]Q出=/X（Y）2X等=/

故答案為：

由直棱柱性質(zhì)可知側(cè)棱垂直于底面，易知P,Q,R為靠近于8的三等分點，則PQ〃/1C,

而4C_LBD,易知C01J.71C,則4C_L平面OB。1，即4cl易得Z\BJL平面PQR,

故過底面△「（?/?的頂點可作關(guān)于的平行線為這個直三棱柱的側(cè)棱，畫出圖形后，根

據(jù)棱柱的體積公式求解即可.

本題主要考查空間幾何體體積的求解，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題.

17.【答案】解：(1)由散點圖可知，這些數(shù)據(jù)集中在圖中曲線的附近，

而曲線的形狀與函數(shù)y=聲的圖象相似，

故可用類似的表達式y(tǒng)=b而+a來描述y與》的關(guān)系，

故三個函數(shù)中；=匕月+a的圖象是擬合y與％的關(guān)系“最好”的曲線，

令U=y/x,

則y=bu+a'

x=20.u=4，i=668>y=8,靖=4676,空一4=140,

.b=羽=1%”-73_283-7x4X83s2],

"-Ei=iU?-7u2-140-7X16?,

vy=bu+a經(jīng)過點(4,8),

■■a=8—2.1x4=-0.4,

故y關(guān)于x的回歸直線方程為y_2,lu-0.4,即y=2,1Vx-0.4,

(2)說法“高度從1000m長到1001cm所需時間超過一年”成立，

設(shè)其幼苗從觀察之日起，第m天的高度為1000cm,

有1000=2.1yfm—0.4?解得m~226939,

第n天的高度為1001cm,

有1001=2.1低一0.4,解得n=227393,

n-m=227393-226939=454天，

故說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”成立.

【解析】(1)由散點圖圖象走勢可知，；=6石+0的圖象是擬合了與％的關(guān)系“最好”的

曲線，再結(jié)合最小二乘法，即可求解.

(2)結(jié)合(1),令y=1000,1001，分別求出對應(yīng)天數(shù)，二者相減，即可求解.

本題主要考查線性回歸方程的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：—sinC)?(tanB-sinC')=tanAtanB-sinCtanA—

sinCtanB+sin2c=sin2C,

所以可得：sinC■(tanA+tanB)=tanA-tanB,

BPsinC?(sinAcosB+cosAsinB)=sinAsinB,

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可得:sinCsin(A+B)=sinAsinB,

因為A+8=TI-C,

所以sin2c=sinAsinB.

:.c2=ab.

(2)因為5?CB=bacosC,

所以由余弦定理可得為G？-CB=bacosC=ab-"=-(a2+b2-c2),

因為Q+b=3,c2=ab.

所以不?方=](a+b)2_2ab2_?2]=19—3ab)>|-|.(手)2=2,

當且僅當a=b=|時取等號，

所以方?麗的最小值為！

O

【解析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得siJC=sinAsinB,

(2)由已知可得且.CB=bacosC，結(jié)合余弦定理可得刀-CB=^a+bY-lab2-

c2]>I，從而可求不?方的最小值.

O

本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

19.【答案】(1)證明：由an+Sn=n,①

則冊_[+S"_1=n—1,@(n>2),

①一②得：2cin=an_i-l,(n>2),

即即-1=i(aM-i-1),

又%+S[=1,

即出=

則數(shù)列也n-1｝是以-：為首項，稱為公比的等比數(shù)列，

則即一1=(一》*(y-】，

即g=1-(1)";

(2)解：(1)得：%=蒜;=巧:一節(jié)二，

11111112rl+1—2

則〃―_IT#+-1-(界]+，,.+11-5-i-(l)n+J_2一1_(!)?+1-2n+l-r

【解析】(1)由數(shù)列遞推式可得即-1="與_1-1),又的=則數(shù)列｛an-1｝是以一:

為首項，：為公比的等比數(shù)列，然后求通項公式即可；

(2)由(1)得：%=流藍=出一苗:，然后累加求和即可.

本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項公式，重點考查了裂項求和法，屬中檔題.

20.【答案】證明：(1)取4c的中點0,連接為。，BO,“IC=60°,=2,AO=1,

所以4。=百，4i。14C,

由題設(shè)可知，△ABC為邊長為2的等邊三角形,

所以8。=V3，

由=V6M1S2=&。2+BO2,

所以4O1BO,ACC\BO=0,

所以4O_L平面4BC；40u平面44CG，

所以平面AiACGJL平面4BC；

解：(2)以。4所在直線為x軸，以。B所在直線為y軸，以。4所在直線為z軸，建立空間直

所以4(1,0,0),B(0,V3,0),。(一1,0,0),6(-2,0,75),4(0,0,苗)，

西=(0,-V3,V3),BC=(-1,-V3,0),CC;=(-1,0,73)，

設(shè)由=%鬲(OSAS1).可得M(—4-1,0,e/1),前=(-1-Z,-V3,V3A)>

設(shè)平面4BM的法向量為m=(x,y,z),貝4沆?吧=。，

(m-BM=0

B|Jl(l+A)x+V3y-V32z=0,W=A+l,z=A+l,x=V3(A-1),

所以沅=(V3(A-1),A+1,4+1).因為西=(0,0,遮)為平面ABC的一個法向量,

設(shè)平面4BM與平面4BC夾角為0,

cos。=回四=一—=叵

\m\\OA^|V373(l-A)2+2(1+A)210

解得4=4,所以M(T，0,務(wù)

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加】=&。,卓),瓦工=市=(1,-V3,0),爺磬=￡

所以點M到直線&當距離d=/西|2_(哥等)2=V3.

【解析】(1)取4C的中點。，連接a。，BO,利用勾股定理證明為。1B。，A.O1AC,

從而證得為。，平面4BC,然后利用面面垂直的判定定理證明即可.

(2)以04所在直線為x軸，以。B所在直線為y軸，以O(shè)&所在直線為z軸，建立空間直角

坐標系，寫出各點坐標，設(shè)由=2兩(0WAS1),得到點”的坐標，求出平面418M

與平面4BC的法向量，由余弦循可確定值，然后利用點到直線的距離公式計算即可.

本題考查面面垂直及空間向量的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為點M(2,m)在拋物線C上，

所以4=2pm,即pm=2,

由拋物線的定義知，|MF|=m+§=2,

解得m=1,p=2,

故實數(shù)m的值為1,拋物線C的標準方程為/=4y.

(2)設(shè)直線1的方程為y=kx+t,4(卬；*)，B(X2,^2)>

y—kx1

%2_4y，得％2-4kx-4￡=0，所以％I+%2=4/C,xx=-4t,

{r2

因為直線M4MB的斜率之積為-2,

所以史二.坐二=一2，化簡得，+2(%1+%2)=-36,

X1-242-2

所以—4t+4k=-36,即￡=2k+9,

若直線2與圓(％-2)2+(y-m)2=80相切，

則圓心(2,1)到直線I的距離d==/需7=V80,

VKT1vK

整理得，爐_4卜+1=0,解得

所以t=2k+9=10,

故直線，的方程為y=：x+10.

【解析】(1)將點M(2,m)代入拋物線C的方程中，并結(jié)合拋物線的定義，解方程組，即

可；

(2)設(shè)直線1的方程為y=kx+t,做與,；好)，8(年；底)，將其與拋物線的方程聯(lián)立，

結(jié)合韋達定理與斜率公式，推出t=2k+9,再利用點到直線的距離公式，根據(jù)直線與

圓相切，即可得解.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，熟練掌握拋物線的定義，斜率公式，直線與拋物線

聯(lián)立解決問題的思想是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)因為函數(shù)/(%)=(x-m)sinx+cosx,

所以/'(x)=sinx—sinx+(%—m)cosx=(x-m)cosx,

若m=-p則/(x)=(%+^)cosx,

當％e［一兀(］時，f(x)>0恒成立，當且僅當％=］時等號成立，

故此時/(x)在［-兀(］上為增函數(shù)，無減區(qū)間：

當一7r<m<一］時，若一兀<x<m,則/'(x)>0；

若一泄，則/。)<0；

當時，fCx)>0；

故在(一耳m)上為增函數(shù)，在［科-》上為減函數(shù)，在(一與幣上為增函數(shù).

當m<-兀時，若一兀<x<-p貝妙'(x)<0；

當一三<%<：時，fC%)>0；

故f(x)在(一兀,一柒上為減函數(shù)，在(一卷》上為增函數(shù).

(2)若?n=-7T,則f(x)>ax+1,

即(％+n)sinx+cosx>ax4-1,

因為任意％W［一兀，§