2019高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案

2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題（A卷）

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。

1.己知正實(shí)數(shù)a滿足/=（9?！福瑒tlog“（3a）的值為.

2.若實(shí)數(shù)集合｛1,2,3,x｝的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x的值

為.

3.平面直角坐標(biāo)系中，e是單位向量，向量a滿足。?e=2,且W5a+/e對(duì)任意實(shí)數(shù)/

成立，則，的取值范圍為.

4.設(shè)4,8為橢圓「的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，瓦廠為「的兩個(gè)焦點(diǎn)，|力例=4,|/廣|=2+石，P為F

上一點(diǎn)，滿足|依卜|尸尸|=2,則"￡戶的面積為.

5.在I,2,3,…，10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)a,在-1,-2,-3,…，-10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)從

則/+方被3整除的概率為.

6.對(duì)任意閉區(qū)間/,用",表示函數(shù)y=sinx在/上的最大值.若正數(shù)a滿足

加州0=2Mm2“，則。的值為-

7.如圖，正方體力BC0—EFGH的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)4C及棱EE匕一點(diǎn)K,且將正方

FK

體分成體積比為3:1的兩部分，則——的值為.

KF

8.將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生

的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

9.（本題滿分16分）在A48C中，8C=a,C4=b,Z8=c.若〃是a與c的等比中項(xiàng)，且

sinA是sin（B-Z）與sinC的等差中項(xiàng)，求cos8的值。

10.（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，圓。與拋物線「：/=4x恰有一個(gè)公共

點(diǎn)，且圓C與x軸相切與「的焦點(diǎn)產(chǎn)，求圓。的半徑。

11.（本題滿分20分）稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列｛z.｝為“有趣的"，若%|=1,且對(duì)任意止整數(shù)〃，均

有423+22/0+2：=（）,求最大的常數(shù)。，使得對(duì)一切有趣的數(shù)列｛z,,｝及任意正整數(shù)

m,均有[z]+Z2++zJ2C.

2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題A卷

一、（本題滿分40分）如圖，在銳角^ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)。點(diǎn)P地^ABC內(nèi)，使得AP平分N

BACo直線MP與AABP,Z\ACP的外接圓分別相交于不同點(diǎn)P的兩點(diǎn)D,E。證明：若DE=MP,則BC=2BP。

（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答題紙上）

一、（本題滿分40分）設(shè)整數(shù)4再2,…,a2019為分1=3]=Sv=*'*=32019=99

?f=（3t+a?+...+32019）—（3]a?+a2a1+3aa$+...+3201732019）?

求/的最小值fo,并確定使/=/o成立的數(shù)組（a,,a2,a2o,9）的個(gè)數(shù)。

三、（本題滿分50分）設(shè)m為整數(shù)，島|叁2。整數(shù)數(shù)列ara?,...,滿足：a”a?不全為零，且對(duì)任意正

整數(shù)n均有3n-2=a0,「ma,

證明：若存在整數(shù)r,s（r>s叁2）使得ar=as=ai,則r-s叁|m|。

四、（本題滿分50分）設(shè)V是空間中2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面，某些點(diǎn)之間連有

線段，設(shè)E為這些線段構(gòu)成的集合。試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n個(gè)元素，則E—

定含有908個(gè)二元子集，其中每從此二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任意兩個(gè)二元子集的交為

空集。

2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題A卷答案

2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題(A卷)答案

一、填空題

9

1.—

16

aa—(9。)"=。=8。log“9〃

177

由???log,9a=-=>log。9=一三nlog13=

OOlo

9

Iogu3a=loga3+1=—

In

2.-1

2

3

由題意知，x為負(fù)值，二3-x=l+2+3+xnx=——

2

3.[75,275]

設(shè)忖=x,原題轉(zhuǎn)化為/<25,+?+4/)

=25(/+4/)>x4-25x2<=>-100>x4-25x2

=>5<x2<20=>V5<|a|<275

4,1

由題意知該橢圓可設(shè)為土?+必=1。/￥'+產(chǎn)后=4,￡/=25/上由余弦定理，

4

PF2+PE2-2P￡：?PFcosZEPF=EF212-4cosZEPF=12

所以cosNEPF=0,sinZEPF=1nSAph.F=：PE-PFcosZEPF=1

37

5、ioo

若aw{l,2,4,5,7,8,10},a2=lmod3

若『+6^0mod3nb=-1mod3nbe{-l,-4,-7,-10}

若aw{3,6,9}a~=0mod3

若a'+b三0mod3=>a=0mod3nbe{-3,-6,-9)

7x4+3x337

+b為3的倍數(shù)的概率為

loo--Too

,5萬-13萬

6.-或----

612

由圖像分析得“=包或者2“=也

66

7.空=〃截面與RG交于J

EF

=+

^ABCKFJ=^ABCF+AKFJ+AFJC'7'7^

666

1Tm=。,解得人與心宇（舍去）

EK2-(V3-l)3-V3

"一V3-1一百一］一

8、解析：

所有首位非。的8位數(shù)：6!-5!

2,0相鄰的不同8位數(shù)：-

2

51_率

1、9相鄰的不同8位數(shù)：

2

4>

2、0與I、9均相鄰的不同8位數(shù)：—

2⑵

故所求的8位數(shù)個(gè)數(shù)為：（‘6!-5!、）-士5'一5'二-4'+士4'=498

二、解答題

9、由題意ac=/

2sin/=sin（8-4）+sinC=sin（8-4）+sin（8+4）=2sin5cosA,

整理即sin8=tan/

sin~A

對(duì)ac=//利用正弦定理并結(jié)合三項(xiàng)的等差數(shù)列得sin/sinC=sin28=—S,即

cosA

2

sinJ=sinCeosA

于是

tan4=sinCcos/=sin8=sin(/+C)=sinAcosC+cos4sinC,

乃

即sinAcosC=0,C=—

2

cosB

sinB=tanJ=cot5=------,cos5=sin2B=1-cos2B,令cos8=x,則

sinB

x2+x-l=0,解得cosB=x=———■—

2

10、解析：

設(shè)圓的半徑為/?,圓心為(1,/?)或(―1,H),則圓的方程可寫作(x—1)2+3-&)2=火2

不妨設(shè)圓與拋物線相切于點(diǎn)(X。,%),則過該切點(diǎn)(%,比)的切線方程為

以圓為對(duì)象，得G—1)(/_1)+&-/?)(%―/?)=火2

以拋物線為對(duì)象，得v%=2(x+x。)

于是可得2=—2^二L①

R

%y0-

2丫_比夫+X。—1⑸

-x

o------R--②

y0y0-

2

又切點(diǎn)(x。,%)在拋物線/=4x上，y(1=4xn③

由①得夫=電汕.，由②得/?=%,+、。)'。=-"。+"。'

2%一+2x06x0

于是解得x0=；,%=竽，H=竽，故所求圓半徑為竽。

【另解】

如圖，/為準(zhǔn)線，尸為焦點(diǎn)，。為圓心，S為公共點(diǎn)，"_L/于"，SGLGPG,

ST洋分/GSF,則由拋物線性質(zhì)可得GS=FS,OS1ST,從而NTSF=NTFS

不妨設(shè)S/=x,則由勾股定理及G〃=Y3sb知

2

344

(2-城+x=/,即2——4X+4=0,解得x=4或一，又x<2,故x=—

2433

百_4V3

OS=—,x=----

39

i174

ASGT全等于ASfT,從而HT=-GT=—TF=—,從而x=—

2233

11.一方面，取Z]=122.=G,Z2“+I=1,2,...),其中69=-------

則h111匕+22+—+2”,|=*,故。由

另一方面，由條件可得z”+1=N0掃，

不失一般性，可不妨設(shè)4=1(否則可用z；=」代替Zj)

Z]

及Z2=5(否則可用Z；=Z,代替Z(.).

設(shè)Zw=王M,其中4=0,6=L勺一/-1=±1。=2,3,...)

記集合Aj={n|an=/(mod3),1<n<m},i=0,1,2,...

并設(shè)4={"”“2,…，"J，其中"I<“2/

則u{>3,ui-M(_1>2(/=2,3,...,/)

故%N2i+l(i=l,2,...J)

因此

Tny/3-I十nV3-Z—14-y[3iy/3-I-1-y/~3i

=XRe^^+ZRe-^——^-+XRe-7；——「

/isAQ4*4NNneA2/乙

=2*+工。+滂

,壇4）乙恒人neA2

即。4顯

'max3

2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題（A卷）答案

-、

%）+（〃2一。4）+…+（“2017—“2019）+〃1+“2+。2018+。2019

2（%一%）+（。2一“4）+…+（。2015一°2017）+（。2016-02017）+（。2017-。2019）+1+。2+。2017+99?

2a2017—1+〃2017一。2+（。2017—99）+1+4?+。2017+99"

2

>2〃“）」-196a如7+2*99>14800

取最小值時(shí)02017=49,%=1，。2018=49,

每個(gè)%+2一%=0或L?=1,2,..,2016

設(shè)卬嗎，…，"lx中，〃有￡個(gè)（〃=1,2,..,49）

則任意〃=1,2,..,49,xn>2

+

令X>=x“一1,貝如1+y2—+yn=2018-49=1969

由隔板法凹，％…以的解數(shù)為。禽.

因此所求（%,%，…，。加9）有G黑個(gè)，最小值為=7400

若(q,g)〉1,記(q,g)=d

則對(duì)任意正整數(shù)〃，d\an,考慮數(shù)列居=區(qū)，可得同樣結(jié)論。故不妨設(shè)(卬,。,)=1,

d

由?！?2=。"+1一M明，mod|/?/|可知。”+2m%+[(mod]，H),即對(duì)任意大于2的正整數(shù)〃，

an=n,(mod|n?|)

若q不滿足q三a2(mod|w|),則不存在尸＞5＞2使得q=a,=q

故不妨設(shè)q三”2(mod|加,由互質(zhì)性(4祠)=1

設(shè)%=1,2,...則6“為整數(shù)數(shù)列，4=0,bn+2=bn+l-ax-bn*m,

mod網(wǎng)可知bn+2=bll+i-a1(mod|/n|),若存在整數(shù)尸＞s22使得%.=見=q,則

br=bx=0,

而4三4一(一5)*°](010(1網(wǎng)),故〃?|("5?，由(4祠)=1知m|r-s,故r-sN同,

證畢。

四、

引理：簡(jiǎn)單連通圖〃有〃個(gè)頂點(diǎn)，〃7條邊，則一定可以將其邊集劃分為個(gè)二元子集，

二元子集之間不交且每個(gè)二元子集內(nèi)的邊有公共端點(diǎn)。

證明：歸納對(duì)〃中〃=1,2,3,顯然成立

設(shè)結(jié)論對(duì)用4人成立，k>3,則m=A+l時(shí)，考慮所有葉子頂點(diǎn)4,4,…,4,若有兩片