2021年中考數(shù)學(xué) 分類訓(xùn)練：正方形及四邊形綜合問題

2021中考數(shù)學(xué)分類訓(xùn)練：正方形及四邊形綜合

問題

一、選擇題

i.下列說法，正確的個(gè)數(shù)有（）

①正方形既是菱形又是矩形;②有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形;③菱形的對(duì)角線

相等;④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

2.小紅用次數(shù)最少的對(duì)折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對(duì)折了

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

3.如圖，在四邊形A8CO中，AB=CD,AC,8。是對(duì)角線，E,F,G,”分別

是A。，BD,BC,AC的中點(diǎn)，連接ERFG,GH,HE,則四邊形EFG〃的形

狀是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

4.如圖，四邊形ABC。是邊長為5的正方形，E是。。上一點(diǎn)，DE=1,WAADE

繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與△AB尸重合，則七月=（）

Az國

C.5aD.2V13

5.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的

點(diǎn)E處，折痕為GH,若BE：EC=2：1,則線段CH的長是（）

A.3B.4C.5D.6

6.如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN,

再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.若AB的長為2,

則FM的長為（）

A.2B.^3C.A/2D.1

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖X3—1—10所示的正方形（用陰影表

不），點(diǎn)Bi在y軸上，點(diǎn)。、Ei、及、。2、E3、E4、C3在x軸上.若正方形AiBiGDi

的邊長為1,N3G。=60。，B1C1//B2C2//B3C3,則點(diǎn)小到x軸的距離是（）

小+3小+1

18U-18

r2/2+3\/3+1

。6U-6

8.（2020.東營）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B

重合），對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC、BD于點(diǎn)E、F,交AD、BC于點(diǎn)M、N,下列結(jié)論：①4APE絲AAME；

②PM+PN=AC；?PE2+PF2=PO2；④△POFS/SBNF；⑤點(diǎn)0在M、N兩點(diǎn)

的連線上.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

DC

二、填空題

9.將邊長為1的正方形A.BCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置

（如圖），使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上，EF與AD相交于點(diǎn)H,則HD=.（結(jié)

果保留根號(hào)）

10.如圖，四邊形ACDR是正方形，NCEA和/都是直角且E,A,B三點(diǎn)、

共線，AB=4,則陰影部分的面積是.

11.以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則N3EC的度數(shù)

是.

12.QABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AC±BD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:

,使得口ABCD為正方形.

13.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸,y軸上，BC是菱形BDCE

的對(duì)角線，若ND=60。，BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是,

14.如圖，正方形ABCD的邊長為2吸，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是OC

的中點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)A作AMLBE于點(diǎn)M,交BD于點(diǎn)F,則FM的長為

15.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲，被譽(yù)為“東方魔板”.由邊長為4版的

正方形ABCD可以制作一副如圖①所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形

EFGH內(nèi)拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型（其中點(diǎn)Q,/?分別與圖②中的點(diǎn)E,G

重合，點(diǎn)P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是.

16.如圖，有一個(gè)邊長不定的正方形ABCD,它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A,C分別在

邊長為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B,D在正六邊形內(nèi)部（包

括邊界），則正方形邊長。的取值范圍是.

三、解答題

17.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接OE,過點(diǎn)A作

交。E于點(diǎn)R交C。于點(diǎn)G

(1)求證/ADG^/\DCE;

(2)連接求證:

18.已知正方形ABCD中，BC=3,點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn)，DF

=BE,連接AE、AF,過點(diǎn)A作AHLED于H點(diǎn).

⑴求證：△ADF^AABE；

⑵若BE=1,求tonZAED的值.

19.如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，且DE=CF,AF與BE

相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=1,求AG的長.

20.如圖，正方形A3CO的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC±.(AE<BE),

且NEO/=90。，OE,D4的延長線交于點(diǎn)M,OF,A8的延長線交于點(diǎn)N,連接

MN.

(1)求證:0加=。?/;

(2)若正方形A3CD的邊長為4,E為OM的中點(diǎn)，求MN的長.

M

21.(2020?河南)將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB，，記旋轉(zhuǎn)角為a.

連接BB，，過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB，，垂足為點(diǎn)E,連接DB，，CE.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，ADEB，的形狀為,連接BD,可求出篝的值

為;

(2)當(dāng)0。＜。V360。且。羊90。時(shí)，①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)

僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出言的值.

22.已知正方形A8CO中，點(diǎn)E在上，連接AE,過點(diǎn)8作BF_LAE于點(diǎn)G,

交CD于點(diǎn)F.

(1)如圖①，連接AF,若AB=4,BE=\,求證：△BC&AABE；

(2)如圖②，連接8D,交AE于點(diǎn)N,連接AC,分別交BD、BF于點(diǎn)0、M,連

接G。，求證：GO平分NAGK

(3)如圖③，在第(2)問的條件下，連接CG,若CG_LG。，AG=nCG,求〃的值.

圖①圖②圖③

23.已知，在RMA3C中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是AB的中點(diǎn)，動(dòng)

點(diǎn)E從點(diǎn)。出發(fā)，在邊上向左或右運(yùn)動(dòng)，以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,

直線3G,FE相交于點(diǎn)N(點(diǎn)E向左運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖①，點(diǎn)E向右運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖②).

(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，直線BG與CD的位置關(guān)系為；

(2)設(shè)OE=x,NB=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

(3)如圖②，當(dāng)OE的長度為小時(shí)，求NBM的度數(shù).

圖①圖②

2021中考數(shù)學(xué)分類訓(xùn)練：正方形及四邊形綜合

問題-答案

一、選擇題

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C［解析］?.?點(diǎn)E,F,G,”分別是四邊形ABCO中A。，BD,BC,

....11

G4的中點(diǎn)，：,EF=GH=^AB,EH=FG=^CD,,:AB=CD,:.EF=FG=GH=EH,

四邊形EFGH是菱形，故選C

4.【答案】D［解析］由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

△ADE公AABF,

：.BF=DE=\,：.FC=6,VCE=4,AEF=A/FC2+CE2=V52=2\(13.

5.【答案】B【解析】設(shè)C”=x,'：BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

疊可知，EH=DH=9—x,在中，由勾股定理得：(9-%)2=32+^,解

得：x=4.

6.【答案】B【解析】'：AB=2,：.BF=2,又?.?BM=g8C=1,由勾股定理得

FM^FEp-BM1=小.

7.【答案】6，0)D解析：過小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)￡>3作RQJ-X軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)

小作A?,F±FQ于點(diǎn)F.

?.?正方形ABC1D1的邊長為1,ZBiCiO=60°,B1C1//B2C2//B3C3,

.?.NB3c36=60°,ZDiCiEi=30°,ZE2B2C2=30°,

D\E\=^DiCi=^,'.D\E\=BIE2=^,

.,.cos30o=AM=瓦五’解得：B2c2=當(dāng)\

B3E4

,cos30°=

解得：53c3=；.

則D3C3=1.

根據(jù)題意得出：

ND3c3。=30°,/。3。3。=60°,ZA3D3F=3O°,

.c八111

??。30=療群

F￡>3=D3A3?COS30°=JX^=坐.

j2o

則點(diǎn)A3到X軸的距離

FQ=D,Q+FD3=l+^L=^：1.

8［答案］B

【解析】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是常見問題的綜合，

靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.綜合應(yīng)用垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，逐個(gè)判斷5個(gè)結(jié)論的正確性，得出結(jié)論.

①,正方形ABC。，ZAPE=ZAME=45°,\'PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=90°,

"：AE=AE,：.^APE^^AME(ASA)；

②過點(diǎn)N作NQ_LAC于點(diǎn)Q,則四邊形PNQE是矩形，，PN=EQ,..?正方形ABC。，

：.ZR\E=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZR\E=ZAPE,PE=NQ,

.?.△APE等腰直角三角形，，AE=PE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,V^XAPE^AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立;

③?.?正方形ABC。，...NEOF是直角，?.?過點(diǎn)P分別作AC、B。的

垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、E,...NPE。和NPFO是直角，...四邊形PR9E

是矩形，：.PF=OE,在RfZ\PE。中，有PP+OU=P()2,：.PE2+PF2^PO2,即

P/+PF2=PO2成立;

④ABN/是等腰直角三角形，點(diǎn)P不在45的中點(diǎn)時(shí)，△POF不是等腰直角三

角形，所以△POE與△3NE不一定相似，即△POFs^BNE不一定成立；

⑤?.'△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/\AMP,.?.△PMN是等腰直角三角形,

■:NMPN=90°,：.PM=PN,\"AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,.?.點(diǎn)P是

22

A8的中點(diǎn)，又;。為正方形的對(duì)稱中點(diǎn)，，點(diǎn)0在M、N兩點(diǎn)的連線上.綜上,

①②③⑤成立，即正確的結(jié)論有4個(gè)，答案選B.

二、填空題

9.【答案】［解析?四邊形ABCO為正方形，

：.CD=\,ZCDA=9Q°,

?.?邊長為1的正方形ABQ9繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置，

使得點(diǎn)。落在對(duì)角線CE上，

:.CF域,NCEE=45。，；.△為等腰直角三角形，/三

故答案為0-L

10.【答案】8［解析］?.?四邊形ACDF是正方形，

：.AC=AF,NC4F=90°,ZCAE+ZBAF=90°,

又NCAE+/ECA=90。，

NECA=NBAF,則在△ACE和^FAB中，

ZAEC=NABF=90°,

..NECA=NBAF,

?IAC=AF,

，△ACEdEAB(AAS),：.AB=CE=4,

.?.陰影部分的面積=%8CE=；X4X4=8.

11.【答案】30?；?50。［解析］如圖①，???△AOE是等邊三角形，

ADE=DA,NDEA=N1=6O。.

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.DC=DA,Z2=90°.

：.ZCDE=15Q°,DE=DC,

AZ34(180°-150°)=15°.

同理可求得N4=15。.

ZBEC=30°.

如圖②，???△AOE是等邊三角形,

：.DE=DA,Zl=Z2=60°,

?.?四邊形ABC。是正方形,

：.DC=DA,NCD4=90°.

：.DE=DC,Z3=3O°,

.,.Z4=1(180°-30O)=75°.

同理可求得N5=75。.

ZBEC=360°—Z2—Z4—Z5=150°.

故答案為30?；?50°.

12.【答案】4AO=90。（答案不唯一）【解析】V°ABCD的對(duì)角線AC與BD

相交于點(diǎn)O,且AC_LBD,...DABCD是菱形，當(dāng)NBAD=90。時(shí)，菱形ABCD

為正方形.故可添加條件：ZBAD=90°.

13.【答案】（小+2,I）【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DGJ_BC于G,DF_Lx軸

于F,?..在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,...△BCD是等邊三角形,

.,.DF=CG=1BC=1,CF=DG=A/3,：.OF=y[3+2,，D（小+2,1）.

14.【答案】學(xué)【解析】?.?四邊形ABCD為正方形，.?.AO=BO,ZAOF=ZBOE

=90°,VAM±BE,ZAFO=ZBFM,/.ZFAO=ZEBO,在△AFO和△BEO

fZAOF=ZBOE

中，＜AO=BO,...△AFO之△BEO(ASA),.?.FO=EO,?正方形ABCD

IZFAO=ZEBO

的邊長為26，E是OC的中點(diǎn)，/.FO=EO=1=BF,B0=2,二在放aBOE

中，BE=y]\2+22=A/5,由ZFBM=ZEBO,ZFMB=ZEOB,可得

FMBFFM1,.*.FM=^.

ABFM^ABEO,.方而,即丁

15.【答案】4君［解析］如圖，連接EG,作GMLEN交EN的延長線于M.

在RtZ^EMG中，\"GM=4,EM=2+2+4+4=12,

/.EG=7EM2+GM2=7122+42=4\^10,

EGf-

，EH=~^=4\p.

16.【答案】宓區(qū)3—S【解析】:ABCD是正方形，，AB=a=坐AC,

的取值范圍與AC的長度直接相關(guān).如解圖①，當(dāng)A,C兩點(diǎn)恰好是正六邊形一

組對(duì)邊中點(diǎn)時(shí)，a的值最小，???正六邊形的邊長為1,.?.AC=，5,，AB=a=苧

AC=*；如解圖②，連接MN,延長AE,BF交于點(diǎn)G,二?正六邊形和正方形

ABCD,.?.△MNG、△ABG^△EFG為正三角形，設(shè)AE=BF=x,則AM=BN

=1—x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60°,

BCa

22

/.sinZBNM=sin6Q°=^3(1—x)=a,.?.小(2—a)=a,解得，a

=范￡=3一小?，正方形邊長。的取值范圍是坐ME3f.

圖①圖②

三、解答題

17.【答案】

證明:(1)；四邊形ABCD是正方形，

/.ZAr)G=ZC=90°,AD=DC,

又?.,AGLOE,AZDAG+ZADF=9Q°=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,

△AOG絲△0CE(ASA).

(2)如圖，延長OE交AB的延長線于H,

；E是的中點(diǎn)，,BE=CE.

又NONHBE=9Q°,ZDEC=ZHEB,△DCE絲△HBE(ASA),

BH=DC=AB,即8是A”的中點(diǎn).

又,:ZAFH=9Q°,

ARtAAFH^',BF=/H=AB.

18.【答案】

(1)證明：在AADF和AABE中，

fAB=AD

<ZABE=ZADF=90°,

IEB=FD

△ADF四△ABE(SAS).(3分)

(2)解：VAB=3,BE=1,

.*.AE=V10,EC=4,

/.ED=^/CD2+EC2=5,(4分)

設(shè)AH=x,EH=y,

在H〃\AHE和R〃\AHD中，

x2+y2=10

,x2+(5—y)2=9，

解得，x=1.8,y=2.6,(6分)

?+._AH_x_L8_^_0八、

..tan/AAnETD—EH一y-26一]3,^分)

19.【答案】

(I)二?四邊形ABCD是正方形，

AZBAE=ZADF=90°,AB=AD=CD,

VDE=CF,；.AE=DF,

AB=AD

在4BAE和AADF中，＜NBAE=ZADF,

AE=DF

/.△BAE^AADF(SAS),

，BE=AF；

(2)解：由(1)得：ABAE^AADF,

，NEBA=NFAD,

.?.ZGAE+ZAEG=90°,

AZAGE=90°,

VAB=4,DE=1,

，AE=3,

BE=VAB2+AE2=J42+32=5，

在Rt^ABE中，-ABXAE=-BEXAG,

22

20.【答案】

解:⑴證明:正方形ABC。中，AC=BD,OA=^AC,OB=OD=；BD,：.OA=OB=OD,

\'AC±BD,：.ZAOB=ZAOD=90°,

：.ZOAD=ZOBA=45°,：./OAM=/OBN,

又?：NEOF=9。。,：.ZAOM=ZBON,

：.△AOM咨ABON,：.OM=ON.

(2)如圖，過點(diǎn)O作OP_LAB于P,

.?.NOB4=90°,ZOPA=AMAE,

?:E為OM中點(diǎn)，/.OE=ME,

又?:NAEM=NPEO,：.△AEM咨APEO,

：.AE=EP,

'：OA=OB,OPLAB,：.AP=BP=1AB=2,

：.EP=\.

RMOP8中，NOBP=45°,：.OP=PB=2,

RtAOEP中，OE=/op2+PE2=5

：.OM=2OE=2yf5,

RtAOMN中，OM=ON,：.MN=gOM=2回.

21.【答案】

解：(1)等腰直角三角形，

(2)①兩個(gè)結(jié)論仍成立.

證明:連接BD.：AB=AB，，NBAB』。，：.ZAB'B=9Q0--,

2

；NB'AD=a-90°,AD=AB\AZAB^BS--,AZEB,D=ZAB,D-ZAB,B=45°.

2

,.,DELBB，，.,.NEDB，=NEB，D=45。，.?.△DEB，是等腰直角三角形，.?.9=0.

DE

?.?四邊形ABCD為正方形，.,.些=應(yīng)，NBDC=45°..?.也=處，

CDDECD

VZEDB^ZBDC,，NEDB，+NEDB=NBDC+NEDB,即NBDB，=NCDE.，△

B'DBs^EDC,

:.里=也=0

CECD

②3或1.思路提示：分兩種情況.

情形一，如圖，當(dāng)點(diǎn)B，在BE上時(shí)，由篝=0,設(shè)BB，=2m，CE="〃.

?.?CE〃B，D,CE=B(D,：,B'D=y/2m，在等腰直角三角形DEB，中，斜邊B，D=0根，

.一,「十口,口天“BE2m+m

??BE=DE=m,于正得至U―；-=----=3.

BEm

情形二，如圖，當(dāng)點(diǎn)B，在BE延長線上時(shí)，由竺_=a,設(shè)BB，=2m,CE=&n.

?.?CE〃B，D,CE=BD,...B，D="〃，在等腰直角三角形DEB，中，斜邊,

.*.B,E=DE=mo于是得到型='=L

BEm

AD

B-

綜上所述，黑BE:的值是3或1.

BE

【解析】（1）AABB，是等邊三角形，△AB，D是等腰三角形，且NAB，D=75。,

ZDBT=45°,結(jié)合DELB'E,可得aDEB，是等腰直角三角形.連接BD,AZ

BDC=45°,易得

NBDB，=NCDE,結(jié)合——=——=V2,.\AB^B^AEDC,/.——=——=VL

DCDEBCCE

（2）結(jié)論成立，證明方法與（1）一樣；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B，在BE上時(shí)和

當(dāng)點(diǎn)B，在BE延長線上時(shí).

22.【答案】

⑴證明：???四邊形ABCD是正方形，

：.BC=CD=AD=AB=4,ZABE=ZC=ZD=90°,

AZABG+ZCBF=9Q°,

'：BFLAE,

：.ZABG+ZBAE=9G°,

，NBAE=ZCBF,

在△3(#和△ABE中，

rZC=ZABE

1BC=AB,

[ZCBF=ZBAE

.,.△BCF^AAB￡：(ASA)；

(2)證明：'JACLBD,BFLAE,

：.ZAOB=ZAGB=ZAGF=9Q°,

...A、B、G、。四點(diǎn)共圓，

AZAGO=ZABO=45°,

：.ZFGO=90°-45°=45°=ZAGO,

...GO平分NAGF；

(3)解：如解圖，連接ER

'：CG±GO,

/.ZOGC=90°,

?：/EGF=/BCD=90°,

.\ZEGF+ZBCD=ISQ°,

AC,E、G、尸四點(diǎn)共圓，

：.ZEFC=ZEGC=\SO0-90°-45°=45°,

...△CE尸是等腰直角三角形，

：.CE=CF,

同(1)得△