全稱量詞命題和存在量詞命題的否定高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.5.2

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題特稱命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”符號(hào)簡(jiǎn)記為：

xo

∈M,p(xo)讀作：

“存在一個(gè)x屬于M,

使p(x)成立”含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題復(fù)習(xí)回顧全稱命題

“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”符號(hào)簡(jiǎn)記為：

√x

∈M,p(x)

讀作：對(duì)任意x

屬于M,

有p(x)

成立命題全稱量詞命題▽x∈M,p(x)存在量詞命題

3xo∈M,p(x?表述方法①所有的x∈M,p(x)成立②對(duì)一切x∈M,p(x)成立③對(duì)每一個(gè)x∈M,p(x)成立④任選一個(gè)x∈M,p(x)成立⑤凡x∈M,都有p(x)成立①存在x∈M,使p(xo)成立②至少有一個(gè)xo∈M,使

p(xo)成立③對(duì)有些xo∈M,使p(xo)成立④對(duì)某個(gè)xo∈M,使p(xo)成立⑤有一個(gè)xo∈M,使p(xo)成立同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言

的不同，可能有不同的表述方法：思考：寫出下列命題的否定并判斷真假：(1)56是9的倍數(shù)；(2)空集是集合A={1,2,3}的真子集；一個(gè)命題合它的否定不能同真同假，只能一真一假。探究：寫出下列命題的否定：(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)

Vx∈R,x+|x|

≥0.(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)

√x∈R,x+x

|

≥0.命題(1)的否定為“并非對(duì)所有的矩形都是平行四邊形”,即"存在一個(gè)矩形不是平行四邊形".命題(2)的否定為"并非每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)",即"存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)".命題(3)的否定為“并非所有的實(shí)數(shù)x,

都有x+x|

≥0”,即，3x∈R,x+x<0它們與原命題在形式上有什么變化呢?新

課

講

授從形式看，

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論全稱量詞命題

p:

√x∈M,p(x)它的否定

-p:3x∈M,-p(x)例1

寫出下列全稱量詞命題的否定：(1)p:所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)

p:對(duì)任意x∈z,x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.解：(1)一p:存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).(2)一p:存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.(3)-p:

3x

∈Z,x2

的個(gè)位數(shù)字等于3.探

究

：寫出下列命題的否定：(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)有些平行四邊形是菱形；(3)3x∈R,x2-2x+3=0.命題①的否定為“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)",即"所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)"命題(2)的否定為“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”,即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”.命題(3)的否定為"不存在x∈R,x2-2x+3=0",即，

√x∈R,x2-2x+3≠0.它們與原命題在形式上有什么變化呢?含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：存在量詞命題

p:

3x

∈M,p(x)它的否定

-p:

√x∈M,—p(x)從形式看：存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.例2

寫出下列存在量詞命題的否定：(1)

p:3x

∈R,x+2≤0;(2)有的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù).解：(1)-p:

√x∈R,x+2>0.(2)一p:所有的三角形都不是等邊三角形.(3)一p:每一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù).正面詞語至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)否定一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)某個(gè)某些至少有n+1個(gè)正面詞語等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是常見正面詞語的否定舉例如下：[微思考]1

、用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎?提示

不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”,也可以是

“有些菱形不是平行四邊形”.2、對(duì)省略量詞的命題怎樣否定?提示

對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題，容易知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題.一般地，省略了量詞的命題是全稱量

詞命題，可加上“所有的”或“對(duì)任意”,它的否定是存

在量詞命題.反之，亦然.例3寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)任意兩個(gè)等邊三角形都相似；(2)3x

∈R,x2-x+1=0.解：

(1)存在兩個(gè)等邊三角形不相似(2)√x

∈R,x2-x+1≠0.問題討論寫出下列命題的非.(1)p:

方程x2-x-6=0的解是x=-2.(2)q:

四條邊相等的四邊形是正方形.(3)r:

奇數(shù)是質(zhì)數(shù).解答(1)-p:

方程x2-x-6=0的解不是x=-2.(2)-q:

四條邊相等的四邊形不是正方形.(3)-r:

奇數(shù)不是質(zhì)數(shù).以上解答是否錯(cuò)誤，請(qǐng)說明理由.注：非p叫做命題的否定，但“非p”絕不是“是”與“不是”的

簡(jiǎn)單演繹。因注意命題中是否存在“全稱量詞”或“特稱量詞”鞏

固

訓(xùn)

練寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1)p:Vx

∈R,

:所有的正方形都是矩形；(3)r:3x

∈R,x2+2x+2≤0;(4)s;

至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,

使x3+1=0.解：(1)-p:3xER,

(

假

)這是由于YxER

恒成立.(2)-q:

至少存在一個(gè)正方形不是矩形.(假)(3)-r;Vx

∈R,x2+2x+2>0.

(真)這是由于Vx

∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0

成立.(4)-5:VxER,x3+1≠0.

(假)這是由于x=-

1

時(shí)，x3+1=0.【訓(xùn)練3】

已知命題p3

x∈R,m-x2+2x—5>0

,若┐p

為假命題，求實(shí)數(shù)m

的取值范圍小結(jié)含有一個(gè)量詞的命題的否定一般地，我們有