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文檔簡介
2023~2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高三12月聯(lián)考·數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時,請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米,黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教A版必修第一冊,必修第二冊,選擇性必修第一冊第一章、選擇性必修第二冊.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解集合B,再利用補(bǔ)集運算和交集運算求解即可.【詳解】因為,所以,又,所以.故選:C2.已知復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)模的運算及除法運算化簡計算復(fù)數(shù),然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為,所以,所以,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,位于第二象限.故選:B3.已知圓臺上、下底面的半徑分別為1,3,其表面積為,則該圓臺的體積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長,進(jìn)而求得圓臺的高,從而利用圓臺的體積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓臺的母線長為.高為.所以,解得,所以.所以該圓臺的體積.故選:D.4.已知是兩個單位向量,若在上的投影向量為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量公式,結(jié)合數(shù)量積公式,即可求解.【詳解】因為在上的投影向量為,所以,所以,所以.故選:A.5.已知直線是兩條不重合的直線,是兩個不重合的平面,則下列命題為真命題的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行、垂直的判定與性質(zhì)對選項一一驗證即可【詳解】對于A:若.則或,故A錯誤;對于B:由,則設(shè),當(dāng)時,也是符合條件的,故B錯誤;對于C:在長方體中,如圖所示:滿足,此時與相交,故C錯誤;對于D:若,則,故D正確.故選:D.6.在數(shù)列中,,且,則數(shù)列的前15項和為()A.84 B.102 C.120 D.138【答案】C【解析】【分析】先利用等差中項判斷數(shù)列為等差數(shù)列,然后利用通項公式基本量的運算求出通項,利用求和公式求出和,然后分組求和即可求解.【詳解】因為,所以是等差數(shù)列,又,所以等差數(shù)列的公差,所以,所以單調(diào)遞減,且,所以的前項和,所以數(shù)列的前15項和為.故選:C7.17世紀(jì),在研究天文學(xué)的過程中,為了簡化大數(shù)運算,蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù),對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算,數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知,設(shè),則所在的區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】因為.所以,所以.故選:D.8.在中,內(nèi)角的對邊分別為,且,則的最大值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得,再利用余弦定理可得,繼而利用輔助角公式化簡,可得答案.【詳解】因為,由正弦定理得,所以,即,所以.由正弦定理得.由余弦定理得.所以.其中,所以的最大值為,此時,即,故選:C.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題的關(guān)鍵是利用正、余弦定理并結(jié)合輔助角公式得,最后求得其最值.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知事件滿足,則下列說法正確的是()A.若,則B.若與互斥,則C.若,則與相互獨立D.若與相互獨立,則【答案】BC【解析】【分析】由互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的概率公式逐項判斷即可.【詳解】因為.所以.故A錯誤;若與互斥.則,故B正確;因為.所以與相互獨立.故C正確:因為與相互獨立.所以.所以,故D錯誤.故選:BC.10.已知,則下列說法正確的是()A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為20 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的最值與基本不等式對選項一一驗證即可.【詳解】因為,所以,則,所以.又因為所以.故A錯誤;.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng).即時等號成立.所以的最小值為16.故C錯誤;,當(dāng)且僅當(dāng).即時等號成立.故的最小值為,故D正確.故選:BD.11.如圖,在棱長為1的正方體中,是的中點,點是側(cè)面上的一點,則下列說法正確的是()A.若點是線段的中點,則B.的周長的最小值為C.若,則點到平面的距離為D.若平面,則線段長度的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】A選項由空間向量的線性運算可得;記點關(guān)于平面的對稱點為,所以的周長最小值為,則B選項可求;建立空間直角坐標(biāo)系,利用點到面的距離公式可求C;設(shè)是的中點,是的中點,確定點的軌跡為線段,則可求D.【詳解】若點是線段的中點.則,故A正確;記點關(guān)于平面的對稱點為,所以的周長,故B正確;以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.所以,.所以,,所以.設(shè)平面的一個法向量為.所以令.解得,所以平面的一個法向量.所以點到平面的距離,故C錯誤;取的中點為.取的中點為.取的中點為.如圖所示.因為是的中點,是的中點,所以.因為平面平面.所以平面,同理可得平面.又平面,所以平面平面.又平面.所以點的軌跡為線段.由,得,,,,所以.即為直角.所以線段長度的取值范圍是.故D正確.故選:ABD.12.已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),則下列說法正確的是()A.函數(shù)的極值點為1B.C.若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D.若對任意的恒成立,則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可求出極值點;對于B,設(shè),求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值即可求解;對于C,利用曲線與曲線互為反函數(shù),可先求點到的最小距離,然后再求的最小值;對于D,利用同構(gòu)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【詳解】.所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極值點為1,故A正確;設(shè),則,由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增.又,則存在.使得,即,,所以當(dāng)時.,當(dāng)時..所以在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞增.所以,又,則,所以,故B錯誤;因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),其圖象關(guān)于對稱,設(shè)點到的最小距離為,設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為,,由得,所以切點坐標(biāo)為,即,所以,所以的最小值為,故C正確;若對任意的恒成立,則對任意的恒成立,令,則.所以在上單調(diào)遞增,則,即,令,所以,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以,所以,即的最小值為,故D正確.故選:ACD【點睛】方法點睛:對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略:1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時,一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況,進(jìn)行求解,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.三、填空題:本題共4小題、每小題5分,共20分.13.一組數(shù)據(jù)24,78,47,39,60,18,28,15,53,23,42,36的第75百分位數(shù)是____________.【答案】50【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】先按照從小到大排序:15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78.共12個數(shù)據(jù),,第9,10個數(shù)據(jù)分別為47,53,則第75百分位數(shù)為.故答案為:5014.已知空間向量,若共面,則____________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)向量共面列方程,化簡求得的值.【詳解】若共面,則存在實數(shù),使得,即.所以,解得.所以.故答案為:15.已知函數(shù),則不等式的解集為____________.【答案】【解析】【分析】令,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)性.進(jìn)而判斷的奇偶性.將不等式變形可得,即.結(jié)合的性質(zhì)即可得出不等式,求解不等式,即可得出答案.【詳解】令,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,且恒成立,所以在上單調(diào)遞減.又,所以是奇函數(shù).由,可得,所以.又在上單調(diào)遞減,所以.整理可得,,解得,所以不等式的解集為.故答案為:.16.在三棱錐中,,且三棱錐的外接球的表面積為,記的面積分別為,則的最大值為____________.【答案】32【解析】【分析】根據(jù)球表面積公式得出外接球的半徑,設(shè),由已知結(jié)合外接球的長方體模型可得外接球,即可得出,在結(jié)合三角形面積公式與基本不等式得出,即可代入值得出答案.【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為,所以,解得.設(shè),因為,所以由長方體模型可知,即.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最大值為32.故答案為:32.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,且,求的值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)首先化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì),代入公式,即可求解;(2)由(1)的結(jié)果可得,再根據(jù)角的變換,利用兩角和的正弦公式,即可求解.【小問1詳解】由題意知.故函數(shù)的最小正周期.令.解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,【小問2詳解】因為.又.所以,所以,所以.18.如圖,在直三棱柱中,分別為線段,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)取中點,證明四邊形為平行四邊形,即得,根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點坐標(biāo),求出平面與平面的法向量,根據(jù)空間角的向量求法,即可求得答案.【小問1詳解】證明:取中點,連接,如圖所示.在中,為中點,為中點,所以且,在直三棱柱中,且.因為為中點,所以且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平而,所以平面.【小問2詳解】在直三棱柱中,平而,又平面,所以,且,以為坐標(biāo)原點,所在的直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,不妨設(shè),所以,所以,設(shè)平面一個法向量為.所以,令,解得,所以平面的一個法向量.又平面的一個法向量可取為,設(shè)平面與平面的夾角為,所以,即平面與平面夾角的余弦值為.19.在中,內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)若,點是線段上的一點,,求的周長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理與余弦定理求解即可;(2)由三角形的面積公式與余弦定理求解可得答案.【小問1詳解】因為.由正弦定理得.即.由余弦定理得.又.所以.【小問2詳解】因為.所以,又,所以,即.在中,由余弦定理得,所以.解得或(舍).所以的周長.20.已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列通項公式,注意驗證首項是否成立;(2)先利用裂項相消法求,再利用數(shù)列的單調(diào)性證明即可.【小問1詳解】因為數(shù)列滿足.當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,所以.當(dāng)時,,上式也成立.所以.【小問2詳解】由(1)知,所以.令,所以,又,所以.所以是遞增數(shù)列,所以,所以.21.如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,二面角的大小為,點是棱上的一點.(1)求證:平面平面;(2)若直線與平面所成角正弦值為,求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)設(shè),由線面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點,所在的直線分別為軸,軸,過點且垂直于平面的直線為軸.建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個法向量,設(shè),可得,利用線面角的向量求法求出得可得答案.【小問1詳解】設(shè),連接,在菱形中,為中點,且,因為,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面;【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點,所在的直線分別為軸,軸,過點且垂直于平面的直線為軸.建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,因為,所以為二面角的平面角.所以.因為四邊形是菱形,,所以,所以,所以,設(shè)平面的一個法向量為,所以,令,解得,所以平面的一個法向量,設(shè),所以,設(shè)直線與平面所成角的大小為,所以,解得或(舍).所以,所以.22.已知函數(shù),(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)與的圖象恰有一個交點,求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】(1)直接求導(dǎo),討論和,求出對應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可;(2)將題設(shè)轉(zhuǎn)
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