廣東省珠海市金磚四校2024屆高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省珠海市金磚四校2024屆高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題1.集合，，則（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，即，解得，即，又，所以.

故選：D.2.若復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故復數(shù)的虛部是.故選：C.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的可能取值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】由題設在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上遞增，故.所以A符合要求.故選：A5.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再將所得的函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的得到，將的圖象向右平移個單位長度得到，所以.故選：B.6.今年月日，日本不顧國際社會的強烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關研究，福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上；有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關系式為大于的常數(shù)且.若時，；若時，.則據(jù)此估計，這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】由題意得:，解得，所以，當時，得，即，兩邊取對數(shù)得，所以，即這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要年.故選：B.7.已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為是相互垂直的單位向量，所以，.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在圓錐中，，，易知，由圓錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因為平面，則，所以，，則，圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，因為是母線上一點，，則，,，設平面的法向量為，則，取，可得，且，所以，，所以，，故該圓錐曲線的離心率為，故選：D.二、多項選擇題9.已知曲線：，：，則（）A.的長軸長為 B.的漸近線方程為C.與的離心率互為倒數(shù) D.與的焦點相同【答案】BC【解析】曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為，故曲線的長軸長，故A錯誤；曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，所以，離心率為，的漸近線方程為，即，故B正確；，所以與的離心率互為倒數(shù)，故C正確；的焦點在軸上，的焦點在軸上，焦點位置不同，故D錯誤．故選：BC.10.已知事件滿足則下列結論正確的是（）A.A與互斥 B.A與相互獨立C. D.【答案】BCD【解析】由題意可知，所以相互獨立，由相互獨立事件的性質(zhì)可知A與相互獨立，且與B相互獨立，即A錯誤，B正確；所以，即C正確，D正確.故選：BCD.11.對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足：當時，.下列關于函數(shù)的敘述正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.，使得【答案】ACD【解析】A，根據(jù)定義，，所以，A正確；B，取，，，取，，，不滿足奇函數(shù)的定義，B錯誤；C，，則，C正確；D，當時，，D正確.故選：ACD12.已知，且，則下列選項正確的是（）A. B..C.的最大值為 D.【答案】ABD【解析】由題意可得，當且僅當時取得等號，即A正確；，當且僅當時取得等號，即B正確；先證柯西不等式，設，則，所以，由柯西不等式可知：，當且僅當，即時取得等號，即D正確；若，則，此時，故C錯誤.故選：ABD.三、填空題13.命題,則命題的否定為__________.【答案】【解析】因為命題,所以命題的否定為:.故答案為:.14.已知，的展開式中的系數(shù)為80，則展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的系數(shù)為，易知，所以的系數(shù)為.故答案為：15.已知雙曲線的左焦點為，坐標原點為，若在雙曲線右支上存在一點滿足，且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如圖，因為，所以，所以，則，，，解得故答案為：16.已知函數(shù)，若關于的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)的圖像如下圖所示：由得出，當時，顯然不成立.但時，解得，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時.即時，唯一整數(shù)解是，當時，，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時，即時，唯一整數(shù)解是.綜上，.故答案為：四、解答題17.如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：連接，交于點G，連接FG，因為E，F(xiàn)分別為BC，的中點，所以，且，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立坐標系，如圖所示，設，則，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，設平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，所以，設二面角的平面角為，則，所以故二面角的正弦值為.18.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.（1）證明：因為，由正弦定理得，即，即，故，因為、，所以，則，所以，，所以，或（舍），因此.（2）解：因為，故，由，因為，故，所以.19.已知數(shù)列的前項和為，且當時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和.解：（1）因為當時，，且，若，則，解得，若，則，兩式相減可得：，整理得，即，可得；可知不符合上式，符合上式，所以.（2）由（1）可得：，當時，則；當時，則；可知符合上式，所以.20.某學?，F(xiàn)有1000名學生，為調(diào)查該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間的情況，收集了名學生某周使用手機上網(wǎng)時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.將數(shù)據(jù)分為6組：，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計該校學生一周平均使用手機上網(wǎng)時間（每組數(shù)據(jù)以該組中點值為代表）；（2）將一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“長時間使用手機上網(wǎng)”；一周使用手機上網(wǎng)時間在內(nèi)定義為“不長時間使用手機上網(wǎng)”，在樣本數(shù)據(jù)中，有名學生不近視，請補充完成該周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度的列聯(lián)表.若為100，那么在犯錯誤概率不超過0.001的前提下是否能認為該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關”？近視不近視合計長時間使用手機不長時間使用手機合計附：，其中，.0.10.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可估計該校學生一周平均使用手機上網(wǎng)時間為（小時）；（2）由頻率分布直方圖可得上網(wǎng)時間在和之間的比例為，故可得列聯(lián)表：

近視不近視合計長時間使用手機不長時間使用手機合計n若為100，則，故在犯錯誤概率不超過0.001的前提下能認為該校學生一周使用手機上網(wǎng)時間與近視程度有關.21.已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.解：（1）設橢圓的方程為，則由橢圓的定義及的周長為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，得到軸距離最大為，因為的面積的最大值為，所以②，又③，聯(lián)立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,設，則，因為在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點，聯(lián)立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，，求實數(shù)取值范圍.解：（1）