2023-2024學(xué)年云南省楚雄州牟定一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年云南省楚雄州牟定一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．23．在正方體中，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．4．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動.設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或6．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．7．已知，則的值等于（）A． B． C． D．8．已知直線過雙曲線C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．9．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．是平面上的一動點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．10．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．2011．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．12．已知，滿足條件（為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，若，則______.14．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.15．設(shè)，滿足條件，則的最大值為__________.16．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，已知在三棱臺中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點(diǎn)，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.19．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機(jī)會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機(jī)會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.20．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，，證明：．（注：是的導(dǎo)函數(shù)）22．（10分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時(shí)，單調(diào)遞減時(shí)，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.2、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體，設(shè)，兩球球心和公切點(diǎn)都在體對角線上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出，進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對角線上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因?yàn)?，因此，得，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)4、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為1，則，，設(shè)，則，所以，且，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，是一道基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導(dǎo)公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題8、B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．9、B【解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出的最大值對應(yīng)的余弦值【詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，取得最小值此時(shí)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果．10、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時(shí)有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí)，∴，，，…，均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴，，∴對應(yīng)極值，，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題12、B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，我們可以畫出滿足條件件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值．【詳解】畫出，滿足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，可得直線與直線的交點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，將，代入得：．故選：．【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn)，然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．14、1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：所以共有1344種故答案為：1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.15、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)最大.解方程組，得，..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對稱中心與一個(gè)對稱軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對稱中心與一個(gè)對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）乙同學(xué)正確（2）分布列見解析，【解析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)代入驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的取值為:.，，于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列【點(diǎn)睛】本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）2【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設(shè)條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據(jù)棱臺的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，，，所以，可得，因?yàn)?，可?又由，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)?，可得，令，，設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機(jī)會，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因?yàn)?0＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當(dāng)時(shí)，，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據(jù)題意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴當(dāng)時(shí)，.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題21、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確