山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋郧?，所以，故選：C.2.已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.外離 D.相交【答案】D【解析】因?yàn)榈膱A心為，半徑，的圓心為，半徑，所以，所以，所以與兩圓相交，故選：D.3.已知直線和平面，則下列命題中正確的是（）A.若與斜交，則內(nèi)不存在與垂直的直線B.若，則內(nèi)的所有直線與都垂直C.若與斜交，則內(nèi)存在與平行的直線D.若，則內(nèi)的所有直線與都平行【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)平面內(nèi)的直線與直線在平面的投影垂直時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線平面，則直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，故B正確；對(duì)于C，若內(nèi)存在與平行的直線，根據(jù)線面平行的判定定理可知，則與與斜交矛盾，所以內(nèi)存在與平行的直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線平面，則直線與平面內(nèi)的所有直線平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若與相交，則 B.若與平行，則C.若與垂直，則 D.若與重合，則【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，解得或，若，則，此時(shí)，若，則，此時(shí)，由上可知：不可能重合，故D錯(cuò)誤；若與相交，則且，故A錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若，則有，則，故C正確；故選：C.5.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】連接，與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故點(diǎn)A到平面的距離為的長(zhǎng)，又棱長(zhǎng)為4，所以.故選：B6.如圖，等腰梯形是圓臺(tái)的軸截面，，為下底面上的一點(diǎn)，且，則直線與平面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖：因?yàn)閹缀误w為圓臺(tái)，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋云矫?，所以直線與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.7.已知圓：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形面積最小時(shí)，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因?yàn)椋援?dāng)最短時(shí)，四邊形面積最小，此時(shí).故選：C8.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，棱的一點(diǎn)滿足，若點(diǎn)到面和面的距離分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)為，連接交于，連接，如下圖所示：因?yàn)閹缀误w為正四面體，所以為底面正三角形的重心，所以，所以，由題意可知：，所以，且，所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，，若，則B.已知向量，，則在上的投影的數(shù)量為C.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D.為空間中任意一點(diǎn)，若，且，則，，，四點(diǎn)共面【答案】AD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，在上的投影數(shù)量為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，整理得，即，所以、、、四點(diǎn)共面，故D項(xiàng)正確.故選：AD.10.在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.//平面C.直線與所成的角為 D.二面角的大小為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)樵谡襟w中，四邊形為矩形，所以和不垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵谡襟w中，，平面，平面，所以AC//平面，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谡襟w中，，所以或其補(bǔ)角即為直線與所成的角.由為正三角形可知，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樵谡襟w中，面，所以，；又因?yàn)槎娼堑慕痪€為，所以為二面角的平面角.在等腰直角中，，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知圓：和圓：的交點(diǎn)為，，直線：與圓交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍是B.圓上存在兩點(diǎn)和，使得C.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為D.若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為,半徑為，因?yàn)橹本€：與圓交于，兩點(diǎn)，所以圓到直線的距離為，即，解得，所以的取值范圍是，故A正確；B選項(xiàng)：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，根據(jù)兩圓的方程有直線方程為，圓到直線AB的距離為，所以，圓上任意兩點(diǎn)，，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以為等邊三角形，圓到直線的距離為，所以，故或，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且以為圓心、為半徑的圓分別交，于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，其中，則（）A.弧上存在點(diǎn)，使得與所成的角為B.弧上存在點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)時(shí)，動(dòng)線段形成的曲面面積為D.當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與該四棱錐各側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對(duì)于A：設(shè)時(shí)滿足條件，所以，所以，所以，所以，即為中點(diǎn)時(shí)滿足條件，故A正確；對(duì)于B：在平面中，的延長(zhǎng)線始終與相交，由此可知平面一定不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意可知，動(dòng)線段形成的曲面為圓錐側(cè)面的，因?yàn)椋郧娴拿娣e為，故C正確；對(duì)于D：將四棱錐的側(cè)面展開(kāi)，設(shè)球與的交點(diǎn)為，連接，如下圖所示：因?yàn)榍虻陌霃?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以為等腰直角三角形，由?duì)稱(chēng)性可知：，所以，所以為半徑的球面與該四棱錐各側(cè)面的交線長(zhǎng)為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則________.【答案】3【解析】由題意得，存在實(shí)數(shù)，使得，得，解得，則.故答案為：3.14.若直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則__________.【答案】【解析】由題，直線過(guò)圓心，將代入直線方程得，解得：.故答案為：.15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射到軸上，再經(jīng)軸反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)_______.【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如下圖所示：又因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以，所以光線經(jīng)過(guò)的路程為，故答案為：.16.已知菱形邊長(zhǎng)為2，，沿對(duì)角線將折起到的位置，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為_(kāi)_______，此時(shí)三棱錐的外接球的半徑為_(kāi)____【答案】①②【解析】因?yàn)榱庑芜呴L(zhǎng)為2，，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，且，故為二面角的平面角，因?yàn)?，由余弦定理得，故，取的中心，故，設(shè)三棱錐的球心為，則⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥平面，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，故，則，設(shè)三棱錐外接球半徑為，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則，，設(shè)，則，故，解得，故，故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在菱形中，，，.（1）求直線的方程及直線的傾斜角；（2）求對(duì)角線所在的直線方程.解：（1）由題意可得，所以直線的方程為，即直線的方程為，在菱形中，，即有，又直線的傾斜角為，所以可得直線的傾斜角為；（2）由（1）可得，結(jié)合菱形中，可得，可得，所以對(duì)角線所在的直線方程為，即.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，且.（1）求并求直線與所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）連接，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，則，則，在中，，所以；以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則所以設(shè)與所成角，則，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角時(shí)銳角或直角，則直線與所成角的余弦值為（2）連接，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)?，故，點(diǎn)到平面的距離為.19.已知的圓心在軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與直線相切.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，（i）若，求直線的方程；（ii）求弦最短時(shí)直線的方程.解：（1）設(shè)圓心為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.（ii）當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)，取最小值，因?yàn)?，則，此時(shí)，直線的方程為，即.20.如圖，在三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.解：（1）連接，如下圖所示：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以≌全等，且與均為等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)椋?，所以是等腰直角三角形，所以，所以，所以，又因?yàn)椋云矫?，以所在直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，令，則，所以，又因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.21.邊長(zhǎng)為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當(dāng)點(diǎn)在棱（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點(diǎn)，以為軸正半軸，以平行于的方向?yàn)檩S正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向?yàn)檩S正半軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，任意，，因?yàn)?，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所以，所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.22.已知圓與圓：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與圓的另一交點(diǎn)為，記四邊形的面積為，求