2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解對(duì)數(shù)不等式和分式不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，則；由得：，即，解得：或，則或；.故選：D.2．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量“1”即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.3．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知＝－3.故選：A.4．已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)椋?，即，所以．故選：C.5．下列函數(shù)中，在其定義域上既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性，由此選出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，而函數(shù)的單減區(qū)間是和，所以在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋院瘮?shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查了具體函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，對(duì)于選項(xiàng)A，一定要清楚單調(diào)區(qū)間如果是兩個(gè)必須用“和”或“，”連接，不能用并集符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.6．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可．【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A．7．若函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意，且，都有，則有A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可知的對(duì)稱軸為，且在上為單調(diào)遞減函數(shù).由，可確定，從而可選擇正確選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以的對(duì)稱軸為；又對(duì)任意，且有，則在上為單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)椋?，，所以，?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查了函數(shù)的單調(diào)性.本題的關(guān)鍵是由已知條件分析出函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.8．對(duì)于，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．(1,2)【答案】A【解析】由題設(shè)寫出的解析式，，再結(jié)合函數(shù)圖像可知，再求出的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)知化簡整理得：，畫出函數(shù)的圖像，如下圖由，當(dāng)關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，t的取值范圍是，設(shè)，則是的兩個(gè)根，關(guān)于對(duì)稱，故，下面求的范圍：，解得：，，，故所以故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多選題9．若，，且，則下列不等式恒成立的（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，A對(duì)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B對(duì)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；因?yàn)?，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ABD.10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中為假命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【分析】利用特殊值判斷A、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足條件，，但是，所以A為假命題；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，所以成立，所以B為真命題；對(duì)于C，因?yàn)?，所以且，所以，所以C為真命題；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，滿足條件，，但是，所以D為假命題．故選：AD．11．若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，以及值域，結(jié)合其函數(shù)特點(diǎn)，即可容易求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)椋瑵M足題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用奇偶性定義可判斷A選項(xiàng)；直接計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；由，根據(jù)可得函數(shù)的值域可判斷C選項(xiàng)；判斷出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，兩邊平方解不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，可得，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由，又由，有，有，可得函數(shù)的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若，有，不等式兩邊平方后可解得或，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題13．計(jì)算：.【答案】5【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】，故答案為：14．若滿足，則．【答案】【分析】分別取，代入計(jì)算得到答案.【詳解】取得到；取得到，解得.故答案為：.15．已知，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)恒成立和能成立的思想可知，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可分別求得，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；，解得：，則實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.16．若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由條件求得，結(jié)合題意可得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．再根據(jù)在區(qū)間上大于零，且在，是增函數(shù)，可得，由此解得的范圍．【詳解】由題意可得函數(shù)，再根據(jù)其圖象過點(diǎn)，可得，即，．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故在區(qū)間上是增函數(shù)．再根據(jù)在區(qū)間上大于零，且在，是增函數(shù)，可得，解得，故答案為：，．四、解答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；（2）由求出，再求出，然后根據(jù)列式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得，得，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以或，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，即，由得，得，，所以，因?yàn)?，所以，，解?18．已知命題：，，命題為真命題，實(shí)數(shù)的取值集合為.(1)求集合；(2)設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用一元二次方程的判別式即可求解；(2)根據(jù)已知條件求出，然后分類討論集合是否為空集即可求解.【詳解】(1)命題為真命題，則，得或，所以或；(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以.①當(dāng)時(shí)，則，即，滿足，②當(dāng)時(shí)，則，即，因?yàn)?，所以或，解得，綜上可得.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，利用換元法可轉(zhuǎn)化為求的值域，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得其值域?yàn)?；?）將原不等式轉(zhuǎn)化成對(duì)于恒成立，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可得.【詳解】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，令，即可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因此可得當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，可得，原不等式可化為對(duì)于恒成立，即可得對(duì)于恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是.五、應(yīng)用題20．第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，某公司為了競標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來每件售價(jià)為15元，年銷售10萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).【答案】(1)50(2)至少應(yīng)達(dá)到萬件，商品的每件定價(jià)為20元【分析】（1）由已知得出調(diào)價(jià)后的銷售量，進(jìn)而列出不等式，求解即可得出答案；（2）根據(jù)已知列出不等式，分離參數(shù)可得.然后即可根據(jù)基本不等式，得出答案.【詳解】（1）設(shè)定價(jià)為元，則銷售量為萬件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，該商品每件定價(jià)最多為50元.（2）由已知可得，，.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，.所以，當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，商品的每件定價(jià)為20元.六、證明題21．若定義在上的函數(shù)對(duì)任意的、，都有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：是上的增函數(shù)；（3）若，解不等式．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，由題意得出，先令求出的值，再令，，代入可證明出函數(shù)為奇函數(shù)；（2）任取，由題中條件得出，于此可得出函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）由題意得出，于此可將不等式化為，由函數(shù)在上的單調(diào)性得出，解出該不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）證明：定義在上的函數(shù)對(duì)任意的、，都有成立，構(gòu)造函數(shù)，則，即.令，得，所以，.由于函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，，則，，因此，函數(shù)為奇函數(shù)；（2）任取，則，.另一方面，即，因此，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)；（3），則，，由，得，即，，又，，所以，.由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，解得，因此，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明，同時(shí)也考查了函數(shù)不等式的求解，需轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，利用單調(diào)性得出自變量的大小關(guān)系求解，考查分析問題和求解問題的能力，屬于中等題.22．已知函數(shù)，.(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】按照函數(shù)單調(diào)性的定義的證明步驟：設(shè)值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論，即可證明；（2）先換