重難點(diǎn)05 一類與斜率和、差、商、積問(wèn)題的探究 （四大題型）（解析版）

重難點(diǎn)05一類與斜率和、差、商、積問(wèn)題的探究【題型歸納目錄】題型一：斜率和問(wèn)題題型二：斜率差問(wèn)題題型三：斜率積問(wèn)題題型四：斜率商問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、已知是橢圓上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則直線斜率為定值．2、已知是雙曲線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，直線斜率為定值．3、已知是拋物線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線斜率為定值．4、為橢圓上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．5、設(shè)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同于原點(diǎn)的一定點(diǎn)，過(guò)作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點(diǎn)記為，．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．6、過(guò)拋物線上任一點(diǎn)引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【典型例題】題型一：斜率和問(wèn)題例1．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎p曲線，點(diǎn)在E上．(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線PA，PB的斜率之和．【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程可得，，解得，所以，E的方程為.（2）由已知易得直線的斜率一定存在，設(shè)斜率為，則的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得，則，解得且.設(shè)，由韋達(dá)定理可得，則.例2．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上有兩點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若拋物線上有一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為4，拋物線上另有兩點(diǎn)，且直線與的斜率滿足重心的橫坐標(biāo)為4，求直線的方程．【解析】（1）由題意知直線的斜率不可能為0，設(shè)，直線的方程為，由得，，即，即，即，將代入，得，則，則，則，由，解得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由拋物線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，則，且，則，故．又，則，又，可得直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由點(diǎn)斜式得直線的方程為5），即．例3．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的面積.【解析】（1）由題意知，又，則，，解得(負(fù)值舍去)，由在橢圓上及得，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為，據(jù)題意設(shè)直線的方程為，則，于是由得，化簡(jiǎn)得（*）由消去整理得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入（*）式得：，解得，直線的方程為，方法一：，由求根公式與弦長(zhǎng)公式得：，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，.方法二：由題意可知，代入消去得，，.變式1．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，直線恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有直線的斜率和直線的斜率滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的右焦點(diǎn)為.因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以橢圓的方程為；（2）將橢圓與直線聯(lián)立方程組，消去，可得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，設(shè)點(diǎn)滿足題意，則，所以，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)變化時(shí)，總有直線的斜率和直線的斜率滿足，所以當(dāng)時(shí)，上式恒成立，所以在軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)條件.變式2．（2023·陜西延安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)A（異于原點(diǎn)O）在拋物線C上，當(dāng)與y軸垂直時(shí)，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于另一點(diǎn)B，證明：直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)AF與y軸垂直時(shí)，易得，即，∴拋物線C的方程為.（2）證明：由（1）知，，，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線，代入拋物線C的方程得，，則，，∴.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過(guò)Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．將代入，得．于是，，且，．∴．故為定值2．變式4．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程，并說(shuō)明E為何種曲線；(2)已知及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn).變式5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高二嘉積中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：的右焦點(diǎn)在直線上，分別為的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，使得直線，的斜率之和等于1?若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)右焦點(diǎn)直線與軸的交點(diǎn)為，所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為故在橢圓中，由題意，結(jié)合，則所以橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不滿足條件當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線的方程為：，由，可得由題意則由化簡(jiǎn)可得，由，即故存在滿足條件的直線，直線的方程為：變式6．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點(diǎn)P，Q和R，S.已知，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）拋物線C：的焦點(diǎn)，直線的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，因此，而，解得，所以拋物線C的方程為.（2）存在，使得為定值.依題意，直線，直線，由消去y并整理得，設(shè)，則，，，設(shè)，同理，且有，由，得，即，而，則，所以存在，使得為定值0.變式7．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若在y軸上的截距為2的直線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之和等于12，求直線AB的方程【解析】（1）由題可得，由有，，解得，.故所求橢圓方程為：.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)：，，，聯(lián)立，或，∴，，∴，，故直線AB的方程為.題型二：斜率差問(wèn)題例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓C：的離心率，．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．【解析】（1）由橢圓的離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）證明：因?yàn)?，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點(diǎn)，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)M在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)點(diǎn)Q為圓上一點(diǎn)，由Q向C引切線，切點(diǎn)分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】(1)

設(shè)N(0，b)M(a，0)，P(x，y).

因?yàn)樗?，即因?yàn)樗运詘＝a，y＝2b，所以y2＝4x(2)設(shè)Q(x，y)，x∈[3，1]由題意知:切線斜率存在，設(shè)為k切線方程為:yy0＝k(xx0)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得:ky24y+4y04kx0=0△＝1616k(ykx0)=0∴將代入得，∴.∴的取值范圍是例6．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)、為拋物線上的兩點(diǎn)，與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，、為拋物線（除原點(diǎn)外）上的不同兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，求的值.【解析】（1）設(shè)，.又、都在拋物線上，即所以，.由兩式相減得，直線的斜率為，.兩邊同除以，且由已知得，所以，即.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，.因?yàn)樗?，所以，設(shè)直線的斜率為，則直線，由消得.由，得，即.所以直線，同理得直線.聯(lián)立以上兩個(gè)方程解得又，所以，所以.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且.（1）若直線與拋物線交于兩點(diǎn),求的值;（2）若點(diǎn)在拋物線上,且拋物線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),記直線的斜率分別為,且滿足,求證：的面積為定值.【解析】（Ⅰ）設(shè),由題意,得,故,即代入中,得,所以,所以拋物線方程為,聯(lián)立方程,得消去,得,,記,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得,故.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,拋物線方程為,,設(shè),,,因?yàn)橹本€MP,MQ的斜率分別為,則,又因?yàn)?所以,直線,直線,易得因?yàn)橹本€,如圖,過(guò)S作y軸平行線交PQ于點(diǎn)E,將的值代入直線PQ的方程,可得,所以.所以的面積為定值32.變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，．若，則，即有，①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程，可得，則，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2）得，，所以直線的方程為，令，得，即．所以．所以，，，.變式10．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線，設(shè)，聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設(shè)直線為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.題型三：斜率積問(wèn)題例7．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線，直線交拋物線于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記拋物線上一點(diǎn)，直線斜率為，直線斜率為，求．【解析】（1）設(shè)，則有，①②得③均在直線上，，又中點(diǎn)為，則有，代入③有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，設(shè)，同理有，④聯(lián)立直線與拋物線，易得，則有，代入④式有.例8．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的距離為5.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，為上異于的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為.（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求的最小值.【解析】（1）由題可知，解得.所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.綜上，直線過(guò)定點(diǎn).（ii）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.由拋物線定義知.故的最小值為.例9．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFP的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，求直線AM與直線AN的斜率之積．【解析】（1）因?yàn)椤鱋FP的面積為，則有，解得，又因?yàn)樵跈E圓C上，則，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，又因?yàn)?，所以，，所以；?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，消去y得：，則，由韋達(dá)定理得，，所以，，綜上所述，直線AM與直線AN的斜率之積為．變式11．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）已知直線的方向向量與直線的方向向量共線且過(guò)點(diǎn)；(1)求的方程；(2)若與拋物線交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，直線的斜率分別是；求及的值.【解析】（1）由題意知，直線的斜率為直線l的斜率為，依題意，直線的方程為，即；（2）設(shè)，由，得，，設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為，由知，所以，故.變式12．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值為，斜率為的直線l與點(diǎn)M的軌跡C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線NA，的斜率分別為，，求的值．【解析】（1）由題意可知，點(diǎn)M的軌跡C是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，所以，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為．（2）設(shè)，，則，則，，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，，則，故．變式13．（2023·甘肅武威·高二?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，焦點(diǎn)是和，(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線（不過(guò)原點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線與直線的斜率乘積的值.【解析】（1）焦點(diǎn)是和，故，橢圓的離心率，故，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，則，做差得：，即，，即,故.變式14．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求的值．【解析】（1）由題意，，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為．（2）由已知所作直線的斜率不為0，因此設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，顯然，，，則，所以．變式15．（2023·北京·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于，，直線，的斜率分別記為，.求的值【解析】（1）得，所以橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線：，則，消得：，，所以，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，，題型四：斜率商問(wèn)題例10．（2023·云南·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，為左右頂點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值.【解析】（1）依題意，，由雙曲線過(guò)點(diǎn)，得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意，直線不垂直于y軸，設(shè)直線方程為，由消去x并整理得：，顯然，設(shè)，于是，則，因此，所以為定值.例11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)校考期中）已知拋物線（）的焦點(diǎn)為F，的頂點(diǎn)都在拋物線上，滿足．(1)求的值；(2)設(shè)直線AB、直線BC、直線AC的斜率分別為，，，若實(shí)數(shù)滿足：上，求的值．【解析】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，，即，由拋物線定義知，，，，所以.（2）由（1）知，．∵，同理，∴，，解得.例12．（2023·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線實(shí)軸左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，雙曲線的焦距為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．設(shè)的斜率分別為，且，求的方程．【解析】（1）雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）得：，，設(shè)，，由題意知：直線的斜率一定存在，則可設(shè)，由得：，，解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，，直線的方程為：，即.變式16．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知隨圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長(zhǎng)為，面積為.(1)求的方程.(2)設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.【解析】（1）依題意，得，即，解得，所以的方程；（2）依題意，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)整理，得，易得恒成立，設(shè)，由韋達(dá)定理，得，可得，于是，故存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.變式17．（2023·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校┮阎p曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程中可得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線有斜率，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，由于,則，所以將代入可得，由于點(diǎn)在直線上，所以，此時(shí)，只需要，即可，因此,故直線AM與直線AN的斜率之和為定值.變式18．（2023·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校┮阎p曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值【解析】（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，與是的兩條漸近線，到兩條漸近線的距離之積，依題意，，故，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）正確結(jié)論：③為定值.證明如下：由（1）知，，設(shè)，，因?yàn)?，不與，重合，所以可設(shè)直線：，與聯(lián)立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.變式19．（2023·廣西南寧·高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)曲線與軸交于、兩點(diǎn)，過(guò)軸上點(diǎn)作一直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于，），若直線與的交點(diǎn)為，記直線與的斜率分別為，，求.【解析】（1）設(shè)，依題意，，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為.（2）由（1）知，不