清單03 圓的方程 （6個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀提升訓(xùn)練）（解析版）

清單03圓的方程（6個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．2、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)3、圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．詮釋：由方程得（1）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．4、用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．5、軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．（2）求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．（3）求軌跡方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；②列出關(guān)于的方程；③把方程化為最簡形式；④除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；⑤作答．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，故，解得，故關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以所求的圓的方程為．故選：C例2．（2023·山東煙臺(tái)·高二校聯(lián)考期中）求圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，所以，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：A.例3．（2023·陜西·高二校聯(lián)考期中）過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的圓的方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，所以，解得，即方程為，或；設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，所以，解得，即方程為，或；設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，所以，解得，即方程為，；設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，所以，解得，即方程為，或，故選：D.例4．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）圓心為，且與直線相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，，所以所求圓的方程為.故選：B.例5．（2023·安徽亳州·高二?？茧A段練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選:A．例6．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）以為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，圓心是，圓的半徑，所以圓的方程為．故選：B．例7．（2023·浙江嘉興·高二嘉興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)和點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，所以中點(diǎn)，即為圓心，由，則圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.例8．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）已知圓的圓心在直線上，且圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則半徑，所以圓的方程為，顯然A錯(cuò)誤，C正確；易知選項(xiàng)B可化為，可知B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D可化為，可知D錯(cuò)誤；故選：C考點(diǎn)2：圓的一般方程例9．（2023·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）經(jīng)過點(diǎn)，且以為圓心的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的一般方程為．故選：A.例10．（2023·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┲本€平分圓C：，則（

）A． B．1 C．1 D．3【答案】D【解析】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D例11．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）若直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則，則以為直徑的圓半徑為，圓心即為中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得：.故選：A例12．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）以，為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，又，圓的半徑為1，以為直徑的圓的方程為即.故選：A.例13．（2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)所求圓方程為,因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，所以，解得，所以圓的方程為.故選：C.例15．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知四點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)過四點(diǎn)的圓的方程為，將代入可得：，解得，所以圓的方程為，將代入圓的方程得，解得，故選：D例16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點(diǎn)，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：B考點(diǎn)3：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例17．（2023·北京順義·高二?？计谥校┮阎獔A的方程為，則點(diǎn)在（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．不確定【答案】C【解析】圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以在圓外，故選：C例18．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考期中）設(shè)，則直線l：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【解析】直線可化為，由可得，，所以直線恒過點(diǎn).又，即點(diǎn)在圓上，所以，過點(diǎn)的直線與圓相交或相切.故選：C.例19．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】由點(diǎn)在圓外，得：，圓心到直線的距離：，所以得：直線與圓相交，故A項(xiàng)正確.故選：A例20．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥校┤糁本€與相離，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上C．點(diǎn)在圓外 D．無法確定【答案】A【解析】由題設(shè)與直線的距離，即，所以點(diǎn)在圓內(nèi).故選：A例21．（2023·上海寶山·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)在圓C：外，則直線與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】由點(diǎn)在圓外，可得，求得圓心到直線的距離，故直線和圓C相交，故選:A.例22．（2023·重慶·高二重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤酎c(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，若點(diǎn)在圓外，則，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.例23．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥校┤酎c(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以，即，所以，故選：C.考點(diǎn)4：二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系例24．（2023·北京順義·高二牛欄山一中?？计谥校┤舯硎緢A的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D例25．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，解得．故選：B例26．（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）“”是“方程表示圓的方程”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若表示圓，則，解得或，可以推出表示圓，滿足充分性，表示圓不能推出，不滿足必要性，所以是表示圓的充分不必要條件.故選：A.例27．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）方程表示圓，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得：.故選：B.例28．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考期中）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知圓可化為，可得，即；又在圓外部，可得，解得；可得.故選：B.例29．（2023·天津北辰·高二統(tǒng)考期中）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程表示圓，得，解得，故選：A.例30．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)?？计谥校┮阎匠瘫硎緢A的方程，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A的方程，所以，解得，故選：A考點(diǎn)5：定點(diǎn)問題例31．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）圓恒過的定點(diǎn)是.【答案】【解析】圓方程化為，由解得故圓恒過點(diǎn).故答案為：例32．（2023·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，平面內(nèi)一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對于圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，都有為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)，且，，因?yàn)闉槎ㄖ?，設(shè)，化簡得：，與點(diǎn)位置無關(guān)，所以，解得：或，因?yàn)楫愑邳c(diǎn)，所以定點(diǎn)N為.故答案為：.例33．（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校θ我鈱?shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.例34．（2023·上?！じ叨軛疃行？奸_學(xué)考試）對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例35．（2023·遼寧大連·高二競賽）設(shè)有一組圓：．下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)．【答案】②④【解析】根據(jù)題意得：圓心坐標(biāo)為，圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項(xiàng)②正確；考慮兩圓的位置關(guān)系：圓：圓心，半徑為，圓：圓心，即，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓的半徑之差，任取或時(shí)，（），含于之中，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；若取無窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項(xiàng)③錯(cuò)誤，將帶入圓的方程,則有，即（），因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點(diǎn)，選項(xiàng)④正確．故答案為②④.考點(diǎn)6：軌跡問題例36．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，即，化簡得：即點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：例37．（2023·湖北武漢·高二校考期中）點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】將動(dòng)直線整理為，聯(lián)立，可得，所以動(dòng)直線過定點(diǎn).又，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，即.故答案為：例38．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（是坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】（）【解析】設(shè)，設(shè)，依題意可知，由于三點(diǎn)共線，所以，則，由于，所以，整理得（）.故答案為：（）例39．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即.故答案為：.例40．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谥校┮阎獔A過點(diǎn)和，且與直線相切．(1)求圓的方程；(2)設(shè)為圓上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）圓心顯然在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由點(diǎn)在圓上得：，又圓與直線相切，有．于是，解得，或，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)，，則，即又點(diǎn)在圓上，若圓的方程為，有，則，整理得：，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為．若圓的方程為，有，則，整理得：，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，綜上，點(diǎn)的軌跡方程為或.例41．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期末）公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為（且）的點(diǎn)的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.(1)已知兩定點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知，是圓上任意一點(diǎn)，在平面上是否存在點(diǎn)，使得恒成立?若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)，則由可得，即，整理得點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）假設(shè)存在滿足條件，即有，設(shè)，整理可得①，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則②，將②代入①可得，由題可得，解得，，所以，故存在點(diǎn)滿足條件.例42．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn).(1)是否存在弦被點(diǎn)平分?若存在，寫出直線的方程，若不存在，請說明理由；(2)弦的中點(diǎn)的軌跡為，求的方程.【解析】（1）存在弦被點(diǎn)平分.理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)在內(nèi)；當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，，又的斜率，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)椋海詧A心為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，得，所以，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為（且）；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由（1）知，弦被點(diǎn)平分，即弦的中點(diǎn)為，且點(diǎn)也滿足方程；綜上，的方程為.例43．（2023·天津河西·高二統(tǒng)考期中）已知兩點(diǎn)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則由題意得，所以，化簡得當(dāng)時(shí)，即，點(diǎn)的軌跡方程是，其軌跡是直線（軸）；當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑長的圓.例44．（2023·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期中）如圖所示，有一個(gè)矩形坐標(biāo)場地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長為8米，在邊上距離點(diǎn)4米的處放置一個(gè)行走儀，在距離點(diǎn)2米的處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為，行走儀行走速度為，若行走儀和機(jī)器人在場地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場地內(nèi)某點(diǎn)，那么行走儀將被機(jī)器人捕獲，稱點(diǎn)叫捕獲點(diǎn).(1)求在這個(gè)矩形場地內(nèi)捕獲點(diǎn)的軌跡方程；(2)若為矩形場地邊上的一點(diǎn)，若行走儀在線段上都能逃脫，問：點(diǎn)的位置應(yīng)在何處？【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)捕獲點(diǎn)，可得，即，化簡得，因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場地內(nèi)，所以，且在第一象限，解得，故所求軌跡方程為.（2）畫出點(diǎn)的軌跡，如圖所示，當(dāng)線段與（1）中圓弧相離時(shí)，則行走儀在線段上能逃脫，其中，設(shè)線段的方程為，則到直線的距離為，結(jié)合，解得，中，令得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是.【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·天津南開·高二南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程所表示的圓的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方程即，則所給圓的半徑，所以當(dāng)時(shí)，半徑r取最大值，此時(shí)最大面積是.故選：C2．（2023·江西·高二浮梁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，若過，，三點(diǎn)的圓與軸和直線交于四點(diǎn)，則該四點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以過，，三點(diǎn)的圓的圓心在直線上，又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以過，，三點(diǎn)的圓的圓心在直線上.由得，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，故圓的方程為，由題意易知四邊形為矩形，由解得，故該四邊形的面積為法二：因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱,設(shè)，則，解得，故，又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以，設(shè)過，，三點(diǎn)的圓的方程為，則,解得,因此圓的方程為，即，由題意易知四邊形為矩形，由解得，故該四邊形的面積為.故選：D.3．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）圓C：關(guān)于直線對稱圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以，圓心，半徑.設(shè)，由已知可得，，解得，所以，圓的圓心為，半徑，所以，圓的方程為.故選：D.4．（2023·廣東深圳·高二深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谥校┯汕€圍成的圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，曲線為當(dāng)時(shí)，曲線畫出圖像如上圖，所求面積為兩個(gè)圓的面積減去一個(gè)重疊部分的面積圓的半徑為，兩圓對稱，故為故選：D5．（2023·安徽合肥·高二校聯(lián)考期中）關(guān)于圓有四個(gè)命題：①點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③圓心為；④圓的半徑為3.若只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】若②③正確，則得：，故，所以圓的方程為：，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，①正確，圓的半徑為，④錯(cuò)誤，符合題意；若③④正確，則可求得圓的方程為：，顯然點(diǎn)不在圓上，②錯(cuò)誤，點(diǎn)在圓外，①錯(cuò)誤，不合題意；其他四種命題組合①②，①④，②④，①③無法確定圓的方程，無法對剩余命題判斷真?zhèn)?綜上所述：故④為假命題，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.6．（2023·浙江紹興·高二紹興一中?？计谥校┮阎?，三點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，則的最大值（

）A．72 B．80 C．88 D．100【答案】C【解析】直線l1：變形為直線恒過定點(diǎn)，直線l2：直線恒過定點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，聯(lián)立，消去，得所以是以為圓心，半徑為2的圓上一點(diǎn)，設(shè)且，，所以的最大值為88，故選：C.7．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）圓關(guān)于直線對稱的圖形軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓關(guān)于直線對稱的圖形的軌跡仍為圓.將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，圓心，半徑.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則有，解得，即對稱圓的圓心為.又半徑，所以，軌跡方程為.故選：D.二、多選題8．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知直線：，：，，以下結(jié)論正確的是（

）A．無論m取何值，與都互相垂直B．和分別過定點(diǎn)和C．不論m為何值，和都關(guān)于直線對稱D．若和交于點(diǎn)M，則的最大值是【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，無論m取何值，與都互相垂直，故A正確；對于選項(xiàng)B：對于直線：，當(dāng)時(shí)，恒成立，即過定點(diǎn)，記為，對于直線：，當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒過定點(diǎn)，記為，故B正確；對于選項(xiàng)C：在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得：不恒在上，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)AB可知：，即點(diǎn)M的軌跡為以為直徑的圓，可知圓心為，半徑為，所以的最大值是，故D正確；故選：ABD.9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知直線，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．原點(diǎn)到直線的距離最大值為1C．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為D．直線與的交點(diǎn)的軌跡為圓的一部分【答案】ABD【解析】由直線，得，令，得，即直線恒過定點(diǎn)，A正確；當(dāng)原點(diǎn)與點(diǎn)的連線和垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，則最大值為1，B正確；當(dāng)時(shí)，直線，即，斜率為，傾斜角為，C錯(cuò)誤；由直線，直線，得，故兩直線垂直，又直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，故直線與的交點(diǎn)在以與的連線為直徑的圓上，但直線不能表示直線，直線不能表示直線，故直線與的交點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，D正確.故選：ABD.10．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）圓與軸相切，且經(jīng)過兩點(diǎn)，則圓可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)圓的圓心為，則半徑.又點(diǎn)，在圓上，所以有，即，整理可得，.又，即，整理可得，.聯(lián)立可得，或，所以，圓心坐標(biāo)為或.當(dāng)圓心坐標(biāo)為時(shí)，，圓的方程為；當(dāng)圓心坐標(biāo)為時(shí)，，圓的方程為.綜上所述，圓的方程為或.故選：BC.11．（2023·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）若A，B是平面內(nèi)不重合的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，該軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，點(diǎn)P的軌跡為圓C，則（

）A．圓C的方程為B．設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為20C．若P點(diǎn)不在x軸上，圓C與線段AB交于點(diǎn)Q，則PQ平分D．的最大值為72【答案】ACD【解析】設(shè)，由得，故正確；由題可知，故的最大值為圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方減去25，即圓心到點(diǎn)的距離加上圓的半徑后，再平方再減去25即可，因?yàn)閳A上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最大值為，所以的最大值為，故不正確；因?yàn)闉閳A與線段的交點(diǎn)，所以設(shè)，且，所以，因?yàn)?，所以是線段的內(nèi)分點(diǎn)，所以平分，故正確；因?yàn)?，，所以，?dāng),,，四點(diǎn)共線時(shí)，，且有最大值為，所以的最大值為，故正確．故選：.三、填空題12．（2023·新疆伊犁·高二校聯(lián)考期中）圓：關(guān)于直線：對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由題設(shè)圓，故且半徑為5，設(shè)對稱圓的圓心為，則在上，且兩圓心所在直線與已知直線垂直，所以，且，可得，顯然，對稱圓的半徑也為5，則所求圓的方程為.故答案為：13．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為2，且動(dòng)點(diǎn)M不在x軸的下方，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與x軸所圍成的圖形的面積為.【答案】【解析】設(shè)，由題意得，又已知，，則，化簡整理得，，又動(dòng)點(diǎn)M不在x軸的下方，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在軸上方的半圓弧.該軌跡與x軸所圍成的圖形的面積為半圓面積，由半徑，故所求面積.故答案為：.14．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓：，點(diǎn)，平面內(nèi)一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對于圓上任意動(dòng)點(diǎn)，都有比值為定值，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)，，則，，，，可得，又點(diǎn)的軌跡方程，可得，解得（舍）或，則的坐標(biāo)為.故答案為:.15．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線