《概率論》試卷匯總

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》1填空題：（每題2分，共20分）1、設(shè)事件、相互獨(dú)立，且，則=.2、袋中有5只球（其中2只白球、3只黑球），從中不放回地每次隨機(jī)取一只球，則第二次取到白球的概率為.3、若服從泊松分布,則___.4、若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則的概率密度為__.5、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且同分布，則隨機(jī)變量的分布律為。6、設(shè)隨機(jī)變量的期望值分別為則.7、在冬季供暖季節(jié)，住房溫度是隨機(jī)變量，已知平均溫度為，標(biāo)準(zhǔn)差，試用切比雪夫不等式估計(jì)概率：.8、設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，令,則當(dāng)____時(shí)，服從分布.9、設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，從中取得樣本,則參數(shù)的矩估計(jì)量為____.10、設(shè)某種保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間（單位：秒），取的樣本，得樣本均值為則的置信度為95%的置信區(qū)間是.（注：）二、選擇題：（每題2分，共10分）1、某人射擊的命中率為，用表示他在5次獨(dú)立射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則的分布為（）A.0－1分布B.二項(xiàng)分布C.均勻分布D.泊松分布2、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（）A.B.C.D.3、若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.4、已知隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且～，～下式成立的是（）A.B.C.D.5、設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，下列統(tǒng)計(jì)量能作為的無偏估計(jì)量的是（）A.B.C.D.三、解答下列各題：（每題10分，共30分）1、甲乙兩臺(tái)機(jī)器制造出一批零件，根據(jù)長(zhǎng)期資料總結(jié)，甲機(jī)器制造出的零件廢品率為2%，乙機(jī)器制造出的零件廢品率為3%，已知甲機(jī)器的制造量是乙機(jī)器的兩倍.今從該批零件中任意取出一件，（1）求取到廢品的概率（2）若取到的零件經(jīng)檢驗(yàn)是廢品，求該零件是乙機(jī)器制造的概率.2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）求常數(shù)的值（2）計(jì)算概率3、設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為，已知，求的分布律及分布函數(shù)四、（本題12分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為1、求邊緣概率密度，并判斷是否相互獨(dú)立；2、求概率五、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題：（每題12分，共24分）1、設(shè)總體的密度函數(shù)為，其中(>0)為參數(shù)，是來自總體的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.2、設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取25名考生的成績(jī),算得平均成績(jī)?yōu)榉?，?biāo)準(zhǔn)差為10分，問在顯著性水平下,能否認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)高于70分?（注：）六、證明題：（本題4分）設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，隨機(jī)變量試證明隨機(jī)變量和不相關(guān)的充分必要條件是與獨(dú)立《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》2（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，）填空、選擇題：（每題3分，共30分；請(qǐng)將各題的答案填入下列表格）1、已知，則=.2、設(shè)與相互獨(dú)立，且，，，則___3、設(shè)服從區(qū)域上的均勻分布，則概率.4、設(shè)是取自總體的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從____分布（注明分布的自由度）.5、設(shè)，且關(guān)于的方程有實(shí)根的概率是，則參數(shù).6、設(shè)隨機(jī)變量～（二項(xiàng)分布），用切比雪夫不等式估計(jì)：（）.（A）（B）（C）（D）7、設(shè)事件與互不相容，且，，則下面結(jié)論正確的是（）(A)與互不相容(B)(C)(D)8、設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且同分布：，，則（）(A)0(B)(C)(D)9、設(shè)隨機(jī)變量的方差相關(guān)系數(shù)則方差（）.(A)40(B)34(C)25.6(D)17.610、若的分布函數(shù)為，與相互獨(dú)立且具有相同分布規(guī)律，,則的分布函數(shù)為（）（A）（B）(C)(D)二、概率論應(yīng)用題：（40分）1、（10分）某廠有A、B、C三條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的35%、40%、25%，這三條生產(chǎn)線的次品率分別為2%、3%、4%,現(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，（1）求恰好取到次品的概率；（2）若取到次品，求該次品是B流水線生產(chǎn)的概率.2、（15分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）概率；（2）的分布函數(shù)；（3）的概率密度.3、（15分）設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，（1）求常數(shù)的值；（2）求邊緣概率密度；（3）分析隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立.三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題：（25分）1、設(shè)總體的概率分布律為，其中為未知參數(shù)，取樣本，記樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.（15分）2、隨機(jī)抽取某班16名學(xué)生的英語(yǔ)考試成績(jī)，得平均分?jǐn)?shù)為分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分，若全年級(jí)的英語(yǔ)成績(jī)服從正態(tài)分布，且平均成績(jī)?yōu)榉郑噯栐陲@著性水平下，該班的英語(yǔ)平均成績(jī)是否顯著高于全年級(jí)的英語(yǔ)平均成績(jī)？（10分）四、解答下列問題：（5分）某商店出售某種貴重商品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該商品每月銷售量服從參數(shù)為的泊松分布.假定各月的銷售量是相互獨(dú)立的.用中心極限定理計(jì)算該商店一年內(nèi)（12個(gè)月）售出該商品件數(shù)在120件到150件之間的概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》3填空題：（每題3分，共30分）1、設(shè),.則.2、三次獨(dú)立的試驗(yàn)中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率為，則每次試驗(yàn)成功的概率為.3、有甲、乙兩人，每人扔兩枚均勻硬幣，則兩人所扔硬幣均未出現(xiàn)正面的概率為___.4、某射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.5，則4次射擊中恰好命中3次的概率為___.5、設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則.6、設(shè)隨機(jī)變量，則____.7、設(shè)隨機(jī)變量，則____.8、設(shè)隨機(jī)變量，則____.9、設(shè)且與相互獨(dú)立，則___.10、設(shè)總體的概率密度為，來自總體的一個(gè)樣本平均值，則參數(shù)的矩估計(jì)___.二、選擇題：（每題4分，共20分）1、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為則常數(shù)（）A．1 B．2C．3 D．42、設(shè)隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立，則（）A． B．C． D．3、設(shè)來自正態(tài)總體的樣本，其中已知，未知，則下列（）不是統(tǒng)計(jì)量．A．B．C．D．4、已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則（）。A.B.C.D.5、設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為（）A.B.C.D.以上都不是三、解答下列各題：（每題10分，共50分）1、已知一批產(chǎn)品中96%是合格品.檢查產(chǎn)品時(shí)，一合格品被誤認(rèn)為次品的概率是,一次品被誤認(rèn)為合格品的概率是從中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品經(jīng)檢查認(rèn)為是合格品，求這件產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。2、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，求邊緣概率密度；隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立？3、設(shè)總體服從泊松分布（參數(shù)未知），取樣本，記樣本觀測(cè)值為，求的最大似然估計(jì)量.4、隨機(jī)抽取某班16名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，得平均分分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分，若全年級(jí)成績(jī)服從正態(tài)分布，且平均成績(jī)?yōu)榉郑噯栐陲@著性水平下，該班的概率統(tǒng)計(jì)平均成績(jī)是否顯著低于全年級(jí)平均成績(jī)？（，）5、設(shè)隨機(jī)變量服從分布，求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》4（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）填空、選擇題：（每題3分，共30分）1、設(shè),,，則至少發(fā)生一個(gè)的概率為___.2、設(shè)～在區(qū)間上服從均勻分布，且與相互獨(dú)立，則_.3、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為4的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)：.4、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立同分布，已知的分布律為，則.5、設(shè)樣本來自總體，則～_.(請(qǐng)注明分布參數(shù))6、是任意事件，在下列各式中，不成立的是()（A）. （B）.（C）.（D）7、設(shè)、、為三個(gè)事件，且，則有()（A）（B）（C）（D）8、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的值為()（A）.（B）.（C）.（D）.9、設(shè)隨機(jī)變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是()（A）與獨(dú)立.（B）.（C）.（D）.10、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為()（A）.（B）.（C）.（D）二、概率論應(yīng)用題：（40分）1、（8分）某商店擁有某產(chǎn)品共計(jì)12件，其中4件次品，已經(jīng)售出2件，現(xiàn)從剩下的10件產(chǎn)品中任取一件，求這件是正品的概率.2、（8分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為現(xiàn)對(duì)進(jìn)行四次獨(dú)立重復(fù)觀察，用表示觀察值不大于（即）的次數(shù)，求3、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)（2）的分布函數(shù)4、（14分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布.（1）寫出的聯(lián)合概率密度，并求邊緣概率密度；（2）分析隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立.（3）求的概率密度.三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題：（每題15分，共30分）1、設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，取樣本，記樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.2、設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm），今抽取容量為16的樣本，測(cè)得樣本均值，樣本方差.（1）求的置信度為的置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)假設(shè)（顯著性水平為）.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》5（參考數(shù)據(jù)：，，，）填空題：（每題3分，共30分。請(qǐng)將各題答案填在下列表格）1、設(shè)為隨機(jī)事件，則三個(gè)事件都不發(fā)生可以表示為.2、已知，則的最大值為.3、設(shè)事件，且,,，則___.4、已知7件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，則恰好取到1件次品的概率是.5、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為3的泊松分布，則.6、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則.7、設(shè)隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，則～.8、設(shè)隨機(jī)變量，用切比雪夫不等式估計(jì)：.9、設(shè)服從區(qū)域上的均勻分布，則概率.10、已知隨機(jī)變量～，則服從的分布為.（注明分布參數(shù)）二、概率論應(yīng)用題：（40分）1、甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為0.5和0.4，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，求它是乙命中的概率.（10分）2、（15分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，（1）求常數(shù)；（2）的分布函數(shù)；（3）求.3、（15分）二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的邊緣密度函數(shù)；（3）問是否獨(dú)立？三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題：（30分）1、設(shè)總體的概率分布律為，為未知參數(shù)；取樣本，記樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.（15分）2、設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm），機(jī)器工作正常時(shí)零件的平均長(zhǎng)度為10cm，今抽取一組容量為16的樣本，測(cè)得樣本均值cm.試問機(jī)器工作是否正常？（顯著性水平為）.（10分）3、設(shè)測(cè)量零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布，今隨機(jī)地測(cè)量16個(gè)零件，得，.在置信度0.95下，求的置信區(qū)間。（5分）《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》6（附參考數(shù)據(jù)：，）填空、選擇題：（每題3分，共30分；）1、已知，則.2、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則常數(shù).3、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則.4、設(shè)隨機(jī)變量～，用切比雪夫不等式估計(jì)：.5、設(shè)總體其中均未知，是來自總體的樣本，對(duì)于假設(shè)，可采用檢驗(yàn)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。6、設(shè)事件互不相容，且則必有（）A．B.C.D.7、任一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一定滿足（）A.在定義域內(nèi)單調(diào)不減B.C.D.8、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令，則的概率密度為（）A.B.C.D.9、設(shè)總體，是來自總體的樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于（）A.0B.2C.4D.610、設(shè)總體是來自總體的樣本，為樣本均值，則（）A.B.C.D.二、解答下列各題：（每題8分，共40分）1、發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率和0.4發(fā)出信號(hào)“+”和“—”，由于隨機(jī)干擾，當(dāng)發(fā)出“+”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“+”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號(hào)“+”和“—”，同樣當(dāng)發(fā)出信號(hào)“—”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.9和0.1收到信號(hào)“—”和“+”，求某一時(shí)刻：（1）收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“+”的概率；（2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“+”時(shí)，其源發(fā)信號(hào)是“+”的概率2、10件產(chǎn)品中有3件次品，從中隨機(jī)取2件，求：（1）至少取到1件次品的概率；（2）在取到的2件產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)1件次品的情況下，另1件也是次品的概率。3、某車間生產(chǎn)的圓盤其直徑在區(qū)間服從均勻分布,試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望.4、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下（1）寫出的分布律及條件下的條件分布律YX-101-10.10.30.2100.10.3（2）寫出的分布律.5、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，（1）求邊緣概率密度；（2）分析隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立、是否不相關(guān)。三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題：（30分）1、總體的分布律為，其中為未知參數(shù)，對(duì)給定的樣本（），試求參數(shù)的最大似然估計(jì)量并判定估計(jì)量的無偏性。（15分）2、設(shè)某產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了25個(gè)，測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為1657，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為150，問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值為1600？（取顯著性水平）（10分）3、總體服從方差為9的正態(tài)分布，要保證的期望落在區(qū)間的概率為，其中為樣本均值，問樣本容量至少應(yīng)取多大？（5分）《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》1參考答案一、填空題：（每空2分共20分）1、2、3、34、5、6、7、8、9.10.二、選擇題：（每題2分共10分）1、B2、C3、D4、A5、B三、計(jì)算：（每題10分共30分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）由，即有又，而，則，5分（2）5分3、解：（1）設(shè)隨機(jī)變量取的概率依次為，則，解得5分（2）5分四、解：（本題12分）（1）3分6分因?yàn)椋耘c不相互獨(dú)立。8分（2）4分五、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題（本題24分）1、構(gòu)造似然函數(shù)4分取對(duì)數(shù)求導(dǎo)，令9分得，的最大似然估計(jì)量為12分2、解：（1）3分的拒絕域?yàn)?分因10分所以拒絕，認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)高于70分12分六、證明：(本題4分)記，則的分布律分別為X1Y1PP可見現(xiàn)在求,由于只有兩個(gè)可能值和，故從而因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即與不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)與相互獨(dú)立.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》2參考答案一、填空、選擇題：（每空3分共30分）1、2、3、4、5、6、D7、D8、C9、C10、B二、概率論應(yīng)用題：（40分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）5分（2）5分（3）5分3、解：（1）根據(jù)即，所以5分（2）3分6分（3）因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立。4分三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題（本題25分）1、（1）因?yàn)?分令，得參數(shù)的矩估計(jì)量為5分（2）構(gòu)造似然函數(shù)4分取對(duì)數(shù)求導(dǎo)，令8分得，的最大似然估計(jì)量為10分2、解：（1）2分的拒絕域?yàn)?分因8分所以拒絕，該班的英語(yǔ)平均成績(jī)顯著高于全年級(jí)的英語(yǔ)平均成績(jī)10分四、解：（本題5分）因?yàn)?，由中心極限定理《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》3參考答案一、填空：（每空3分共30分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、選擇：（每空4分共20分）1、D2、B3、C4、B5、C三、解答下列各題：（每題10分，共50分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）4分8分（3）因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立。2分3、解：構(gòu)造似然函數(shù)4分取對(duì)數(shù)求導(dǎo)，令8分得，的最大似然估計(jì)量為10分4、解：（1）2分的拒絕域?yàn)?分因8分所以拒絕，該班的英語(yǔ)平均成績(jī)顯著低于全年級(jí)的英語(yǔ)平均成績(jī)10分5、解：時(shí)，時(shí)，所以10分《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》4參考答案一、填空、選擇題：（每空3分共30分）1、2、63、4、5、6、B7、C8、C9、D10、A二、概率論應(yīng)用題：（40分）1、解：8分2、解：，則～，4分8分3、解：（1）因?yàn)榧?，解?分（2）5分4、解：（1）2分8分（2）因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立。2分（3）4分三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題（本題30分）1、解：（1）因?yàn)榱?，得的矩估?jì)量為5分（2）構(gòu)造似然函數(shù)4分取對(duì)數(shù)求導(dǎo)，令8分得，的最大似然估計(jì)量為10分2、解：（1）代入，得的置信度為的置信區(qū)間為5分（2）2分的拒絕域?yàn)?分因8分所以接受10分《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》5參考答案一、填空題：（每題3分，共30分）二、概率論應(yīng)用題：（40分）1.解：設(shè)表示事件“甲命中目標(biāo)”，表示事件“乙命中目標(biāo)”，則表示“目標(biāo)被命中”，且所求概率為2.解：（1）依據(jù)即得（2）3.解：（1）依據(jù)即得（2）（3）因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題（30分）1．解：因?yàn)榱?，解得的矩估?jì)量為7分似然函數(shù)為：令得參數(shù)的極大似然估計(jì)為：2．解：2分的拒絕域?yàn)?分因