數(shù)學(xué)恒成立問題解法小結(jié) - 學(xué)案

PAGEPAGE3 數(shù)學(xué)恒成立問題解法小結(jié)函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個熱點.函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見.這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問題在解題過程中有以下幾種策略：①賦值型；②一次函數(shù)型；③二次函數(shù)型；④變量分離型；⑤數(shù)形結(jié)合型.題型一、賦值型——利用特殊值求解例1．如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=（）.A.1B.-1C.D.-.題型二、一次函數(shù)型——利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）（如下圖）可得上述結(jié)論等價于ⅰ），或ⅱ）可合并定成nmoxynmonmoxynmoxy例3．對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.題型三、二次函數(shù)型——利用判別式,韋達定理及根的分布求解對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在實數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解.例4．若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍.例5.已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.變式1：若時，恒成立，求的取值范圍.變式2：若時，恒成立，求的取值范圍.題型四、變量分離型——分離變量，巧妙求解運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min;若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例6.已知三個不等式①，②，③．要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，求m的取值范圍.例7.函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若對所有的都成立，求的取值范圍.A題型五、數(shù)形結(jié)合——直觀求解例8.的取值范圍.例9：如果對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是__________小試牛刀:求使不等式sinx＋acosx＋a1＋cosx對一切