6-4數列求和學練案-高三數學一輪復習

高三年級上學期數學學練案（第27期）編寫人：田老師審查人：劉老師使用日期：2023.1264數列求和自主復習【查】【必備知識】（一）公式法求和公式法直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．（1）等差數列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)．（2）等比數列的前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．倒序相加法與并項求和法（1）倒序相加法：適用于前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數的數列求和．（2）并項求和法：適用于在一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解的數列求和．（二）分組轉化法求和：若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成的，則求和時可用分組轉化法，分別求和后再相加減．（三）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用此法求解．注意：錯位相減求和時，注意最后一項的符號．（四）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．常見的裂項技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))；(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．【課程標準】（1）熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式及倒序相加求和、錯位相減求和法；(2)掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法．二、師生研學【研】[考點分類突破]題型一利用公式、分組求和【例11】(2017課標理）等差數列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數列，則{an}的前6項的和為()A．－24 －3C．3 D．8【例12】若數列{an}的通項公式為則數列{an}的前n項和為()B．C．D．【練12】數列{an}的通項公式是則該數列的前100項之和為_______．題型二裂項求和【例21】已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－1，數列{bn}是等差數列，且b1＝a1，b6＝a5．(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；(2)若cn＝eq\f(1,bnbn＋1)，記數列{cn}的前n項和為Tn，證明：3Tn＜1．方法總結：裂項相消法求數列{an}的前n項和的基本步驟【練習21】已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，求數列{bn}的前n項和Tn．題型三錯位相減求和【例31】（山東）設數列{an}的前n項和為Sn，已知（1）求{an}的通項公式；（2）若數列{bn}滿足求{bn}的前n項和Tn。方法總結：錯位相減求和法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數列，求數列{anbn}的前n項和Sn；(2)基本步驟(3)注意事項：①在寫出Sn與qSn的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；②作差后，等式右邊有第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成；③運算時，經常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導致錯誤．【練習31】在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－2anan＋1．(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(3n,an)，求數列{bn}的前n項和Sn．題型四分奇偶討論求和【例41】（2021·新高考)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋1，n為奇數，,an＋2，n為偶數.))(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數列{bn}的通項公式；(2)求{an}的前20項和．【練41】已知數列{an}是正項等比數列，滿足a3是2a1，3a2的等差中項，a4=16.(1)求數列{an}的通項公式；（2）若求數列{bn}的前n項和Tn。三、訓練提升【練】【當堂檢測】1.設1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，則n的最小值為()A．6 B．7C．8 D．92.已知等差數列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數列{ancosnπ}的前2020項和為()A．1009 B．1010C．2019 D．20203．數列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若{an}的前n項和為9，則n的值為()A．576 B．99C．624 D．625【真題再現(xiàn)】（2019新課標理）記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則S5=____________．2.（2020全國）設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．3.（2021全國文）設是首項為1的等比數列，數列滿足已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．4.（2022全國理）記為數列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數列；（2）若成等比數列，求的最小值．15.（2023青島一模18）