6-4數(shù)列求和學(xué)練案-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)練案（第27期）編寫(xiě)人：田老師審查人：劉老師使用日期：2023.1264數(shù)列求和自主復(fù)習(xí)【查】【必備知識(shí)】（一）公式法求和公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．倒序相加法與并項(xiàng)求和法（1）倒序相加法：適用于前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列求和．（2）并項(xiàng)求和法：適用于在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解的數(shù)列求和．（二）分組轉(zhuǎn)化法求和：若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減．（三）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法求解．注意：錯(cuò)位相減求和時(shí)，注意最后一項(xiàng)的符號(hào)．（四）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))；(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．【課程標(biāo)準(zhǔn)】（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及倒序相加求和、錯(cuò)位相減求和法；(2)掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法．二、師生研學(xué)【研】[考點(diǎn)分類(lèi)突破]題型一利用公式、分組求和【例11】(2017課標(biāo)理）等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前6項(xiàng)的和為()A．－24 －3C．3 D．8【例12】若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為()B．C．D．【練12】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為_(kāi)______．題型二裂項(xiàng)求和【例21】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an－1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b6＝a5．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若cn＝eq\f(1,bnbn＋1)，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：3Tn＜1．方法總結(jié)：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的基本步驟【練習(xí)21】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．題型三錯(cuò)位相減求和【例31】（山東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。方法總結(jié)：錯(cuò)位相減求和法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；(2)基本步驟(3)注意事項(xiàng)：①在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn－qSn；②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；③運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫(xiě)成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤．【練習(xí)31】在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－2anan＋1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝eq\f(3n,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．題型四分奇偶討論求和【例41】（2021·新高考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋1，n為奇數(shù)，,an＋2，n為偶數(shù).))(1)記bn＝a2n，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前20項(xiàng)和．【練41】已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足a3是2a1，3a2的等差中項(xiàng)，a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。三、訓(xùn)練提升【練】【當(dāng)堂檢測(cè)】1.設(shè)1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，則n的最小值為()A．6 B．7C．8 D．92.已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}的前2020項(xiàng)和為()A．1009 B．1010C．2019 D．20203．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若{an}的前n項(xiàng)和為9，則n的值為()A．576 B．99C．624 D．625【真題再現(xiàn)】（2019新課標(biāo)理）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．2.（2020全國(guó)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．3.（2021全國(guó)文）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．4.（2022全國(guó)理）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．15.（2023青島一模18）