5.2 導(dǎo)數(shù)的運算（十大題型）

5．2導(dǎo)數(shù)的運算課程標準學(xué)習(xí)目標（1）能利用導(dǎo)數(shù)的定義，推導(dǎo)出幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；能說出用定義法求導(dǎo)數(shù)的基本步驟，體會極限思想．（2）能直接使用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進一步解釋導(dǎo)數(shù)的意義，能描述求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一種借助極限的運算，從而進一步體會極限思想．（3）能通過具體實例直觀感受導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，通過實例解釋導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；會用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，感受從具體到抽象的學(xué)習(xí)過程，體會特殊與一般的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．（4）能通過具體實例解釋復(fù)合函數(shù)的概念，會分析簡單復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，能說出復(fù)合過程中的自變量、因變量以及中間變量分別是什么；能說出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，通過具體實例解釋復(fù)合函數(shù)的兩次求導(dǎo)過程和求導(dǎo)法則，會直接運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，進一步體會特殊到一般的思想，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．（1）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)函數(shù)，，，，，的導(dǎo)數(shù)公式．（2）會使用導(dǎo)數(shù)公式表．（3）能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則，會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡單的復(fù)合函數(shù)（限于形如的導(dǎo)數(shù)．知識點01基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，這樣的形式．要點詮釋：1、常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點處的切線平行于x軸．2、有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．特別地，．3、正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即．4、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù)，即．5、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．6、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．有時也把記作：以上常見函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）；（3）.知識點02函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點詮釋：1、上述法則也可以簡記為：（ⅰ）和（或差）的導(dǎo)數(shù)：，推廣：．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：，特別地：（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例，當時，．這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2、兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說明（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：且．3、求導(dǎo)運算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運算量．【即學(xué)即練2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.知識點03復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的概念對于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點詮釋：常把稱為“內(nèi)層”，稱為“外層”．2、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，，函數(shù)在點的對應(yīng)點處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽鳎?、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層．（2）各層求導(dǎo)：對內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)．得到，（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到的導(dǎo)數(shù)．要點詮釋：1、整個過程可簡記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．2、選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．求導(dǎo)時需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏．求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．【即學(xué)即練3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）令，因為，所以.（2）令，因為，.（3）令，因為，.（4）令，因為，.（5）令，因為，.（6）令，因為，.題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例2．（2023·高二課時練習(xí)）用公式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中：(1)；(2)．【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以.例3．（2023·高二課時練習(xí)）求余弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．【解析】因為，所以，所以.變式1．（2023·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.變式2．（2023·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）（2），.（3）.（4）.變式3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由（2）由（3）由【方法技巧與總結(jié)】（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)．（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對解析式進行化簡或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4），.（5）.（6）.（7）.（8）.例5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例6．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)運算法則的策略（1）分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定所需的求導(dǎo)法則和基本公式．（2）如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．（3）利用導(dǎo)數(shù)運算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例8．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（4）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（5）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（6）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（7）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（8）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（9）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（10）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（11）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.（12）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，由，可得.例9．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）對于，中間變量為，則，所以.（2）對于，中間變量為，則，所以.（3）對于，中間變量為，則，所以.（4）對于，中間變量為，則，.變式4．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有．（2）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有．（3）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有.【方法技巧與總結(jié)】（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；③計算結(jié)果盡量簡潔．題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例10．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校考期中）設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則．【答案】4【解析】由題意知，令，則，，令，則，解得，所以.故答案為：4.例11．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【解析】因為，所以，當時，，解得，所以，所以.故答案為：例12．（2023·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線是函數(shù)的圖象在點處的切線，則.【答案】5【解析】由題可得，，因為直線是函數(shù)的切線，所以，解得，所以，所以切點為，又因為切點在切線上，所以，所以，故答案為:5.變式5．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則.【答案】/【解析】由題設(shè)，則.故答案為：變式6．（2023·河南安陽·高二階段練習(xí)）已知，則等于.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意得，令可得，解得.故答案為：.變式7．（2023·四川眉山·高二眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則.【答案】24【解析】因為，所以，所以，即，所以，所以.故答案為：24【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則，轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，再利用求導(dǎo)公式來求解即可．題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點處與過點處）例13．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)P為曲線上的點，求曲線C在點P處切線的斜率的最小值及傾斜角的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，當時，，，∴曲線在處的切線方程為，即；（2）由題意，，∴，當且僅當即時，等號成立，∴曲線C在點P處切線的斜率的最小值為1，∴，又，∴，即傾斜角的取值范圍為.例14．（2023·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）求下列直線的方程：(1)曲線在處的切線；(2)曲線過點的切線.【解析】（1），故曲線在處的切線斜率為，故在處的切線方程為，即（2）設(shè)切點為，因為，故曲線在處的切線方程為，化簡可得，代入可得，即，解得或，代入切線方程可得或例15．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線；(2)過點作曲線的切線，求此切線方程.【解析】（1）由，可得，則，而，故函數(shù)在點處的切線為，即.（2）過點作曲線的切線，設(shè)切點坐標為，則切線斜率為，則切線方程為，即，將代入，得，解得，則切點坐標為，，則切線方程為，即.變式8．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線是曲線的切線，求常數(shù)的值．【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，，，又點在上，，則由得：，解得：或，或.變式9．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，及曲線在點處的切線的方程．【解析】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線的方程為，即.變式10．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，點在曲線上.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.【解析】（1）由題意，故，所以，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2）令所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又在切線上，故或，所以切線方程為或.變式11．（2023·黑龍江雙鴨山·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．【解析】（1）由，得，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點為，由（1）得，所以切線方程為，因為切線經(jīng)過原點，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點為．變式12．（2023·陜西渭南·高二?？计谥校┮阎€方程(1)求以點為切點的切線方程；(2)求過點與曲線相切的直線方程．【解析】（1）由求導(dǎo)得，則，所以以點為切點的切線方程是（2）設(shè)切點坐標為，則切線方程為，即，代入，則，即，解得或，當時，所求直線方程為；當時，切點，斜率為，所求直線方程為.所以過點與曲線相切的直線方程為和【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)；②若已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．（2）求過點與曲線相切的直線方程的三個步驟題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點坐標問題例16．（2023·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎本€是曲線的切線，則切點坐標為（

）A．（，1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1）【答案】B【解析】直線過原點，設(shè)是曲線上任意一點，，所以在點的曲線的斜率為，所以在點的曲線的切線方程為，即，將代入上式得，所以切點為.故選：B例17．（2023·高二課時練習(xí)）曲線的傾斜角為的切線的切點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知得：，切線的斜率．設(shè)切點為，則，可得，又，∴切點為.故選：A．例18．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知的切線斜率等于，則切點坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】，則，由可得，因此，，，故所求切點的坐標為或.故選：B.變式13．（2023·北京·高二統(tǒng)考期末）過點P（0，2）作曲線y＝的切線，則切點坐標為（

）A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1）【答案】A【解析】設(shè)切點,,即切點故選：A變式14．（2023·北京·高二北京市八一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的切線經(jīng)過點，相應(yīng)的切點坐標是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】設(shè)切點為，則切線的斜率為，解得，當時，，此時切點為，但不滿足方程，故舍去；當時，，此時切點為，滿足方程.故選：B變式15．（2023·河北承德·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線相切，則切點的坐標為A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，所以代入曲線得，故選A．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準確計算．（2）結(jié)合圖象，利用公式計算求解，體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型七：與切線有關(guān)的綜合問題例19．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為.【答案】1【解析】設(shè)切點為，由，得，可得切線的斜率為，①又，②聯(lián)立①②解得，．故答案為：1．例20．（2023·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)的值為；【答案】【解析】由，可得，設(shè)切點為，則，故切線方程為，即，又因為切線為，所以，解得，所以，故答案為：.例21．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值是.【答案】【解析】令，可得，令，即，解得，則，即曲線在點處的切線方程為，要使得不等式對任意恒成立，則滿足，即，解得，所以實數(shù)的最大值是.故答案為：.變式16．（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象與軸相切，則.【答案】【解析】由，可得，又函數(shù)的圖象與軸相切，設(shè)切點為，則，解得故答案為：變式17．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）若直線與曲線相切，則實數(shù)．【答案】【解析】設(shè)切點為，由，得，則，因為點為直線與曲線的公共點，則，所以，，即，可得，故.故答案為：.變式18．（2023·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）若直線與曲線相切，則.【答案】2【解析】設(shè)切點為，，則，解得.令，則，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，所以方程的根為.故答案為：2變式19．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？家荒＃┮阎?，為正實數(shù)，函數(shù)在處的切線斜率為，則的最小值為．【答案】【解析】函數(shù)，所以因為函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，所以，因為，為正實數(shù)，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為．故答案為：．變式20．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知函數(shù)的圖象與直線相切，則.【答案】/【解析】由得，設(shè)切點坐標為，則，解得．故答案為：．變式21．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線與曲線在處的切線互相垂直，則．【答案】【解析】對于，；對于，；由于兩條曲線在處的切線互相垂直，所以，，解得（負根舍去）.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點，若切點已知便直接使用，切點未知則需先設(shè)再求．兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進而成為解出切點橫坐標的關(guān)鍵條件．（2）在考慮函數(shù)問題時首先要找到函數(shù)的定義域．在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域內(nèi)．題型八：切線平行、垂直問題例22．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，故，由于點處的切線與直線平行，且直線的斜率為，所以，故選：C例23．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選：B例24．（2023·廣東揭陽·高二揭陽第一中學(xué)?？计谥校┮阎€在點處的切線與曲線在點處的切線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以該曲線在點處的切線斜率為.由，得，所以該曲線在點處的切線斜率為.因為兩切線平行，所以.故選：D.變式22．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象在，兩點處的切線的位置關(guān)系為（

）．A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【解析】由題意知，當≤0時，，則，所以，當時，，則，所以，所以，所以兩直線相交且垂直故選：B變式23．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┤羟€在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【解析】因為，所以，當時，，所以曲線在點處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.變式24．（2023·黑龍江·高二校聯(lián)考期中）曲線在處的切線與直線垂直，則的值為（

）A．1 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】令，則，依題意，即，解得；故選：B變式25．（2023·河南·高二統(tǒng)考期中）已知方程的兩實根為，，若函數(shù)在與處的切線相互垂直，滿足條件的的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，依題知，即.∵，，∴，∴.解得，，即，，經(jīng)檢驗每個值都符合題意，故滿足條件的有4個.故選D【方法技巧與總結(jié)】切線平行可得斜率相等，切線垂直可得斜率之積為．題型九：最值問題例25．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動點，則的最小值是【答案】【解析】，設(shè)在點處的切線與平行，即斜率為2，所以，解得，則在點處的切線方程為，即則與的距離即為的最小值，即，故的最小值為.故答案為：例26．（2023·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學(xué)?？计谀┮阎cA在函數(shù)的圖象上，點B在直線上，則A，B兩點之間距離的最小值是．【答案】【解析】由題意可得，令得所以當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如下圖：要使得A，B兩點之間距離最小，即直線與平行時，當直線與曲線相切時，與的距離即為A，B兩點之間最小的距離，令，解得．由，所以直線的方程為，即則與的距離的距離，則A，B兩點之間的最短距離是．故答案為：．例27．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點P在曲線上，點Q在直線(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))上，則PQ長度的最小值為．【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當直線與曲線相切，且點Q為切點時，，兩點間的距離最小，設(shè)切點，，所以，，，，點，直線的方程為，即，兩點間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點間距離的最小值為.故答案為：.變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線上的點到直線的距離的最小值為【答案】【解析】的定義域為，求導(dǎo)得，令，解得，則，故切點坐標為，故曲線上的點到直線的距離的最小值即為切點到直線的距離，即為.故答案為：變式27．（2023·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谥校┤?，則的最小值為.【答案】【解析】，，則表示曲線上的點與直線上的點的距離的平方，令得，所以曲線在的切線方程為，所以曲線上的點與直線上的點的距離的最小值即為直線與之間的距離，即,.故答案為：變式28．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)點A在直線上，點B在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)與直線平行的切線為，則的斜率為，由，得，所以切點為，則點到直線的距離就是的最小值，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】轉(zhuǎn)化為切點到直線距離題型十：公切線問題例28．（2023·江蘇南通·高二校考期中）曲線與在公共點處有相同的切線，則.【答案】【解析】設(shè)、，則、，設(shè)與的公共點為，與在公共點處有相同的切線，，即，則，則，所以，，所以．故答案為：．例29．（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】5【解析】由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故答案為：5．例30．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）若直線l與曲線、曲線都相切，則直線l的方程為.【答案】或【解析】由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：，即；由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：．所以，且，消去得，故或，所以直線l的方程為：或．故答案為：或.變式29．（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則.【答案】【解析】因為，，則，，設(shè)公切線與相切于，與相切于，則，，解得，，所以，，所以切線方程為，即，又在切線上，所以，所以.故答案為：變式30．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若一直線與曲線和曲線相切于同一點，則的值為.【答案】【解析】設(shè)切點，則由，得，由，得，則解得.故答案為：e.變式31．（2023·四川成都·高二期末）一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點和點，則的值為.【答案】2【解析】因為，所以，則在點處的切線方程為：，即；在點處的切線方程為：，即，由已知，則，解得，又，所以，所以，故答案為：.變式32．（2023·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.【答案】2【解析】設(shè)是圖像上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.故答案為：變式33．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為．【答案】或【解析】設(shè)與和的切點分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．代入得或.故答案為：或.一、單選題1．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故選：C.2．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故選：A3．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意得，故選：B4．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)且，則.故選：A5．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，令，，，所以曲線在點處的切線方程為：，即.故選：D6．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線經(jīng)過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，則，又，直線過，則直線方程為，即，令，得，即直線不受參數(shù)的影響，恒過定點.故選：A.7．（2023·安徽·高二校考期中）拋物線與的兩條公切線（同時與兩條曲線相切的直線叫做兩曲線的公切線）的交點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線與拋物線相切的切點為，與拋物線相切的切點為，由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得：，則拋物線在點處切線為，即，拋物線在點處切線為，即，依題意，，解得，因此兩條公切線方程分別為，，由，解得，所以兩條公切線的交點坐標為.故選：C8．（2023·福建·高二校聯(lián)考期中）曲線在某點處的切線的傾斜角為銳角，且該點坐標為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】由，得，曲線在某點處的切線的傾斜角為銳角，，即，解得：．又切點坐標為整數(shù)，，0，1．該曲線上這樣的切點的個數(shù)為3個．故選：C．二、多選題9．（2023·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，，，即，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯誤，D正確.故選：ABD10．（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A選項：，A正確；B選項：，B錯誤；C選項：，C錯誤；D選項：，D正確.故選：AD.11．（2023·廣西南寧·高二南寧二中校考期末）若點為曲線上的動點，點為直線上的動點，則的可能取值為（

）A． B． C．1 D．【答案】ACD【解析】由題意，要使的最小，為平行于的直線與的切點，令，可得，故切點為，以為切點平行于的切線為，此時有，則的可能取值為，1，.故選：ACD12．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為R，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)B．若為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)D．若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)【答案】BC【解析】對于A項，由已知可得，設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，故A項錯誤；對于B項，因為，為奇函數(shù)，所以有，即，整理可得，所以為奇函數(shù)，故B項正確；對于C項，由已知可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩邊同時求導(dǎo)可得，，所以，所以為偶函數(shù)，故C項正確；對于D項，由已知可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩邊同時求導(dǎo)可得，，所以，所以為奇函數(shù)，故D項錯誤.故選：BC.三、填空題13．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）點是曲線上任意一點，則點到直線的最短距離.【答案】/【解析】，令，解得（舍去），又，可得與直線平行且與曲線相切的直線的切點為，所以點到直線的最短距離為.故答案為：.14．（2023·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谥校┣€在點處切線的斜率為，過點的切線方程.【答案】【解析】