線性代數(shù)第三章

線性代數(shù)練習(xí)冊第三章答案A卷一、填空題1、如果齊次線性方程組QUOTE有非零解，則解：由克萊姆法則可得解得QUOTE2、設(shè)線性方程組QUOTE有解，則a=-1解：QUOTE方程組有解3、線性方程組無解，則0解：A=方程組無解 4、若向量組線性相關(guān),則k=_1_______解：QUOTE線性相關(guān)=QUOTE1QUOTE2QUOTE(2-2k)=0QUOTEk=1 5、已知向量組與向量組=，=，=等價，則的秩3？解：，6、向量β=，在基下的坐標(biāo)為。解：設(shè)即= 二、單項選擇題1、設(shè)A是m×n矩陣，則線性方程組AX=b有唯一解的充要條件是（C）.(A)R(A)=n(B)R(A)=m(C)R(A)=R(Ab)=n(D)m=n解：∵A為m×n矩陣，Ax=b，有唯一解∴秩()=秩(A)=n∴R(A)=R(Ab)=n，故選C2、設(shè)方程組,有無窮多解，則λ=（A）.(A)1(B)0(C)-1(D)非零常數(shù)解：∵方程組有無窮解∴可以直接看第三個方程(λ-1)x3=(λ+1)(λ-1)當(dāng)λ=1時，0x3=0，x3有無窮解，故選A3、設(shè)A是m×n矩陣，則方程組AX=0只有零解的充要條件是A的（A）.(A)列向量組線性無關(guān)(B)列向量組線性相關(guān)(C)行向量組線性無關(guān)(D)行向量組線性相關(guān)解：充分性：∵A是m×n矩陣，Ax=0有零解∴0∴A的列向量組線性無關(guān)必要性：∵A的列向量組線性無關(guān)∴0∴Ax=0只有零解，故選A4、向量組(s>1)線性相關(guān)的充要條件是其中(C).(A)含有零向量(B)有兩個向量的對應(yīng)分量成比例(C)至少有一個向量是其余向量的線性組合(D)每一個向量是其余向量的線性組合解：充分性：(s>1)線性相關(guān)=0(不全為0)假設(shè)0，則=-(+k2++)∴至少有一個向量是其余向量的線性組合必要性(s>1)至少有一個向量是其余向量的線性組合設(shè)=0，則不全為0線性相關(guān)，故選C5、向量空間為實數(shù)，則向量空間的維數(shù)是12346、設(shè)為齊次線性方程組的解，為非齊次線性方程組的解，則為的解為的解為的解為的解解：為的解又為的解三、計算題1、取何值時線性方程組有解？在有解的情況下求出一般解。解方程組有解同解方程組為：取2、當(dāng)取何值時，線性方程組無解？有唯一解？有無窮多解？在方程組有解時，求出它的解。解：當(dāng)即且時，由克萊姆法則此方程有唯一解解得：當(dāng)時，此方程無解當(dāng)時，方程組有無窮解同解方程組為令3.求向量在基，=，=下的坐標(biāo)，并將用此基線性表示解： 基坐標(biāo)為-+4、設(shè)向量組=，=，=，=，求向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組表示解：，，為極大無關(guān)組，=3++05、求線性方程組的通解。解：令=R=R=3<5方程組有無窮多解為自由變量，同解方程組為令得特解。相應(yīng)導(dǎo)出組方程的同解方程組為令。，方程組的通解為X=（）。6.設(shè)線性方程組=b有三個向量，，，又R(A)=3，若+=，=，求該方程組的通解，解：，，為AX=b的三個解向量AX=b的另一個解==，-=-是AX=0的一個非零解通解為+，k 四、證明題1、設(shè)A是n階方陣，已知線性方程組Ax=0有非零解，證明線性方程組A2x=0也有非零解證：線性方程組有非零解又線性方程組也有非零解得證2.設(shè)是齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系。證：設(shè)即()+)+()=0的基礎(chǔ)解系線性無關(guān)為極大線性無關(guān)組得證3、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，證明它有唯一解的充要條件是它的導(dǎo)出組Ax=0只有零解證：充分性:有唯一解，由克萊姆法則得有唯一零解必要性:導(dǎo)出組只有零解得證4、設(shè)γ0為非齊次線性方程組Ax=b的一個解，η1，η2…ηγ，是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，證明γ0，η1，η2…ηγ線性無關(guān)。證：設(shè),,…使 …,…是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系式左乘，得又,…是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系,…線性無關(guān)證得線性無關(guān)5、設(shè)，……，證明：向量組與等價解由題設(shè)知向量組、·····可由向量組、·····線性表示，顯然，=，=-，······=-，即向量組、·····可由、·····線性表示所以，向量組·····與向量組、·····等價6、已知向量組（I），（）,(=3\*ROMANIII),如果各向量組的秩分別為R(I)=3,R(=3\*ROMANIII)=4,證明，向量組的秩為4.證：設(shè)使得+++=0向量組的秩為3線性無關(guān)又的秩為4線性相關(guān)可以由線性表示且表示法唯一設(shè)=+++++=0又向量組的秩為4線性無關(guān)-線性無關(guān)。秩為4。線性代數(shù)練習(xí)冊第三章答案B卷一、填空題1.齊次線性程的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣B0使，則，.解：，由題意得設(shè)令，，則2、設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n-1，則線性方程組的通解為_____.解：通解設(shè)，，A為n階矩陣僅有一個自由未知量，取為自由未知量令矩陣A的各行元素之和均為零3、設(shè)其中，，則矩陣A的秩R(A)=______.解：，4、若線性方程組有解，則常數(shù)應(yīng)滿足條件______.解：方程組有解5.設(shè)齊次線性方程組為則它的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為解：的系數(shù)矩陣的秩為1其基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為選擇題1.設(shè)是階矩陣，如果，則（C）（A）是任意一個行(列)向量都是其余各行(列)向量的線性組合（B）的各行向量中至少有一個為零向量（C）的各行(列)向量組中必有一個行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合（D）的行(列)向量組中必有兩個行(列)向量對應(yīng)元素成比例解析：，,矩陣線性相關(guān)根據(jù)定理3-5可知，向量組中至少有一個向量是其余向量的線性組合，選C元線性方程組的增廣矩陣的秩小于，那么（D）有無窮多組解（B）有唯一解（C）無解（D）不確定解析：=1\*GB3①當(dāng)時，有無窮多組解，選項A有可能對=2\*GB3②當(dāng)時，方程組無解，選項C有可能對的解不確定，選D設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由=1\*ROMANI線性表示，記向量組=2\*ROMANII，則（B）（A）不能由=1\*ROMANI線性表示，也不能由=2\*ROMANII線性表示（B）不能由=1\*ROMANI線性表示，但可由=2\*ROMANII線性表示（C）可由=1\*ROMANI線性表示，也可由=2\*ROMANII線性表示（D）可由=1\*ROMANI線性表示，但不可由=2\*ROMANII線性表示解析：向量可由向量組線性表示，可設(shè)使得，假設(shè)，則有，這與不能由相矛盾，，有不能由線性表示，但可由線性表示，即選B設(shè)元齊次線性方程組的通解為,則矩陣的秩為（B）（A）（B）（C）（D）以上都不對解析：由題可知，基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為1，選B5.設(shè)矩陣的伴隨矩陣，若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A).(A)僅含一個非零解向量(B)含有兩個線性無關(guān)的解向量(C)含有三個線性無關(guān)的解向量(D)不存在解析：證畢，，又有互不相等的解，有無窮多解，故由矩陣及其伴隨矩陣的秩的關(guān)系得，.的基礎(chǔ)解系僅含有一個非零解向量。三、求向量組的極大無關(guān)組解：為極大無關(guān)組解：為向量組的極大無關(guān)組四，求下列方程組的通解，用基礎(chǔ)解系表示.(1)解：，秩（A）=3<5，所以方程有無窮解同解方程組為：，分別令，得，，所以通解為=+，（，R）解：方程組有無窮多解為自由未知量同解方程組取自由未知量得特解相應(yīng)導(dǎo)出組的同解方程組取自由未知量基礎(chǔ)解系為通解為五．已知，，是互不相同的數(shù)，n維向量=（1，，，）(i=1,2,s),求向量組的秩。解:當(dāng)s=n時，互不相等0（范德蒙行列式）線性無關(guān)R=n當(dāng)s>n時，向量的個數(shù)大于維數(shù)線性相關(guān)，又線性無關(guān)是極大無關(guān)組R=n當(dāng)s<n時，為n個兩兩不相等的向量線性無關(guān)線性無關(guān)R=s六、設(shè)是線性方程組AX=b的解，是其到出組的一個基礎(chǔ)解系，令，，，證明，，線性無關(guān)。解：,是其出組的基礎(chǔ)解系=0=0=0，，線性無關(guān)設(shè)使成立即即（+線性無關(guān)線性無關(guān)。七、已知向量組=，=，=與=，=，=有相同的秩，且可由線性表示，求a，b的值。解：A==R(A)=2的秩也為2，b-=0b=又可以由表示= =0b=5a=15，，,：(1)a,b取何值時，能由唯一線性表示(2)a,b取何值時，不能由唯一線性表示(3)a,b取何值時,能由唯一線性表示,且表示法唯一，并寫出此時表達式。解