橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)-生用

PAGE1/6橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題一、知識(shí)要點(diǎn)：1、橢圓的定義:第一定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和為等于常數(shù)(大于｜F1F2｜)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.=1\*GB3①當(dāng)，點(diǎn)P無軌跡；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓。第二定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到相應(yīng)的定直線的距離的比是小于1的正常數(shù),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線.2、橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線3、點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系。點(diǎn)和橢圓的方程為=1\*GB3①若，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)；（證明直線與橢圓恒相交的問題）=2\*GB3②若，則點(diǎn)在橢圓上；=3\*GB3③若，則點(diǎn)在橢圓外；4、直線和橢圓的位置關(guān)系。直線：，橢圓的方程為。（若直線過軸上一點(diǎn)，最好設(shè)直線方程為；若直線過軸上一點(diǎn)，最好設(shè)直線方程為）將直線方程代入橢圓的方程得到關(guān)于一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，=1\*GB3①相離Δ<0直線和橢圓無交點(diǎn)；=2\*GB3②相切Δ＝0直線和橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)；=3\*GB3③相交Δ>0直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；弦長為，則5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般形式：=1\*GB3①若知道焦點(diǎn)的位置，可按焦點(diǎn)的位置設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。=2\*GB3②若不知道焦點(diǎn)的位置，可討論在軸軸上兩種情況，也可以直接設(shè)。=3\*GB3③和焦點(diǎn)相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；=4\*GB3④和離心率相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；6、橢圓的焦半徑公式已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，則，，（左加右減）7、焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：以焦點(diǎn)在軸上為例：P()為橢圓上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝(1)定義知：r1＋r2＝2a；(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2；(3)面積：＝r1r2sin＝·2c|y0|，=4\*GB2⑷，=5\*GB2⑸當(dāng)P在短軸的端點(diǎn)時(shí)，為最大，即從長軸的端點(diǎn)向短軸的端點(diǎn)移動(dòng)，逐漸變大。（6）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，若軸，則8、橢圓中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”求解。若橢圓焦點(diǎn)在軸上，弦的端點(diǎn)設(shè)為，中點(diǎn)為，把點(diǎn)代人圓錐曲線方程后相減得定值。（注意不要記），（設(shè)點(diǎn)不求點(diǎn)）注意中點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)部。9、直線過橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，=1\*GB3①直線垂直焦點(diǎn)所在的軸時(shí)弦長最短，且最短為，此時(shí)弦叫通經(jīng)，最長是長軸長；=2\*GB3②以橢圓弦長為直徑做圓，則此圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離。二、例與練1、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值．2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3、的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡．4、已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．5、已知橢圓方程，長軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，，．求：的面積（用、、表示）．6、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．7、已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．8、已知橢圓及直線．（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．9、以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．10、已知方程表示橢圓，求的取值范圍．11、已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍．12、求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程．13、知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡．14、已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長．15、橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A．4B．2C．8D．16、已知橢圓，試確