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文檔簡介
概率知識點總結1、確定性現象:在一定條件下必然出現的現象。2、隨機現象:在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現象。3、概率論:是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的科學。4、隨機試驗:對隨機現象進行的觀察或實驗統(tǒng)稱為隨機試驗。5、樣本點:隨機試驗的每個可能出現的實驗結果稱為這個試驗的一個樣本點。6、樣本空間:所有樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間。7、隨機事件:如果在每次試驗的結果中,某事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,則這一事件稱為隨機事件。8、必然事件:某事件一定發(fā)生,則為必然事件。9、不可能事件:某事件一定不發(fā)生,則為不可能事件。10、基本事件:有單個樣本點構成的集合稱為基本事件。11、任一隨機事件都是樣本空間的一個子集,該子集中任一樣本點發(fā)生,則該事件發(fā)生。利用集合論之間的關系和運算研究事件之間的關系和運算。(1)事件的包含(2)事件的并(和)(3)事件的交(積)(4)事件的差(5)互不相容事件(互斥事件)(6)對立事件(互逆事件),,記(7)完備事件組:事件兩兩互不相容,且(8)事件之間的運算規(guī)律:交換律、結合律、分配率、DeMorgan定理12、概率,如果兩兩互不相容,則如果是任意兩個隨機事件,則如果,則12、古典概型每次試驗中,所有可能發(fā)生的結果只有有限個,即樣本空間是有限集每次試驗中,每一個結果發(fā)生的可能性相同13、條件概率:為事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率加法公式:,若互斥,則乘法公式:,若獨立,則全概率公式:貝葉斯公式:14、事件獨立:如果,則稱事件對于事件獨立,此時,事件對于事件獨立,稱相互獨立。相互獨立的充要條件是。與,與,與,與具有相同的獨立性。15、隨機變量:如果對每一個樣本點,都有唯一的實數與之對應,則稱為樣本空間上的隨機變量。離散型隨機變量:隨機變量的取值是有限個或可列多個。表示方法:用概率分布(分布律)表示。公式法,;列表法。16、常見的離散型隨機變量:(1)0-1分布(兩點分布):隨機變量只能取到0和1兩個值(2)二項分布:將試驗獨立重復進行次,每次實驗中,事件發(fā)生的概率為,則稱這次試驗為重Bernoulli試驗。以表示重Bernoulli試驗中事件發(fā)生的此時,則服從參數為的二項分布,記作,分布律為,。二項分布隨機變量可以分解成個0-1分布隨機變量之和。(3)泊松分布:若隨機變量的分布律為,,則稱服從參數為的泊松分布,記作。泊松定理:當較大,較小,適中時,可以用泊松分布公式近似替換二項分布公式。17、隨機變量的分布函數:18、離散型隨機變量:取值有限或無限可列,用分布律刻畫。連續(xù)性隨機變量:取值充滿一個區(qū)間,用概率密度函數刻畫。概率密度函數(密度函數):若存在非負可積函數,使得則稱為連續(xù)型隨機變量,為的概率密度函數,若在處連續(xù),則19、連續(xù)型隨機變量取任意單點值的概率為0,即20、常見的連續(xù)型隨機變量:(1)均勻分布:則稱在上服從均勻分布,記為(2)指數分布:則稱服從參數為的指數分布,記為(3)正態(tài)分布:,則稱服從參數為的正態(tài)分布,記為標準正態(tài)分布:,,分布函數設,則的分布函數21、隨機變量函數的分布:設隨機變量的分布已知,,求隨機變量的分布。統(tǒng)計概率大題題型總結題型一頻率分布直方圖與莖葉圖例1.(2013廣東理17)某車間共有名工人,隨機抽取名,他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數,葉為個位數.第17題圖(Ⅰ)根據莖葉圖計算樣本均值;(Ⅱ)日加工零件個數大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人,根據莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人;(Ⅲ)從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率.例2.(2013新課標Ⅱ理)經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出t該產品獲利潤元,未售出的產品,每t虧損元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了t該農產品,以(單位:t,)表示下一個銷售季度內的市場需求量,(單位:元)表示下一個銷售季度內銷商該農產品的利潤.(Ⅰ)將表示為的函數;(Ⅱ)根據直方圖估計利潤不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若,則取,且的概率等于需求量落入的概率),求利潤的數學期望.變式1.【2015高考重慶,理3】重慶市2013年各月的平均氣溫()數據的莖葉圖如下:則這組數據的中位數是()A、19B、20C、21.5D、23變式2.【2015高考新課標2,理18】(本題滿分12分)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從,兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶,得到用戶對產品的滿意度評分如下:A地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū):7383625191465373648293486581745654766579(Ⅰ)根據兩組數據完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,得出結論即可);A地區(qū)A地區(qū)B地區(qū)456789(Ⅱ)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記時間C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立.根據所給數據,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,求C的概率.變式3.(2012遼寧理)電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖;將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(Ⅰ)根據已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?(Ⅱ)將上述調查所得到的頻率視為概率.現在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差.變式4【2014新課標Ⅰ理18】(本小題滿分12分)從某企業(yè)的某種產品中抽取500件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖:(Ⅰ)求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表);(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為,這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本方差.利用該正態(tài)分布,求;某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品,記表示這100件產品中質量指標值為于區(qū)間(187.8,212.2)的產品件數,利用(i)的結果,求.附:≈12.2.若~,則=0.6826,=0.9544.題型二抽樣問題例【2015高考廣東,理17】某工廠36名工人的年齡數據如下表:工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數據為44,列出樣本的年齡數據;(2)計算(1)中樣本的平均值和方差;(3)36名工人中年齡在與之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?變式(2009天津卷文)為了了解某工廠開展群眾體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調查,已知A,B,C區(qū)中分別有18,27,18個工廠(Ⅰ)求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數;(Ⅱ)若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調查結果的對比,用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率。題型三古典概型有限等可能事件的概率在一次實驗中可能出現的結果有n個,而且所有結果出現的可能性都相等。如果事件A包含的結果有m個,那么P(A)=。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計算方法以及分析和解決實際問題的能力。例題1【2015高考天津,理16】(本小題滿分13分)為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(I)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率;(II)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列和數學期望.例2【2015高考安徽,理17】已知2件次品和3件正品放在一起,現需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.(Ⅰ)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(Ⅱ)已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數學期望).變式1【2015高考重慶,理17】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗,設一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個。(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設X表示取到的豆沙粽個數,求X的分布列與數學期望變式2(2013天津理)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.題型四幾何概型----無線等可能事件發(fā)生的概率例1【2015高考湖北,理7】在區(qū)間上隨機取兩個數,記為事件“”的概率,為事件“”的概率,為事件“”的概率,則()A. B.C. D.變式1【2015高考福建,理13】如圖,點的坐標為,點的坐標為,函數,若在矩形內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于.變式2(2012年高考(北京理))設不等式組表示的平面區(qū)D.在區(qū)域D內隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A. B. C. D.題型五相互獨立事件發(fā)生概率計算事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,則A、B叫做相互獨立事件,它們同時發(fā)生的事件為。用概率的乘法公式計算。例1(2013遼寧數學理)現有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.(=1\*ROMANI)求張同學至少取到1道乙類題的概率;(=2\*ROMANII)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用表示張同學答對題的個數,求的分布列和數學期望.例2(2013山東理)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結束,除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是,假設各局比賽結果相互獨立.(Ⅰ)分別求甲隊以3:0,3:1,3:2勝利的概率;(Ⅱ)若比賽結果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結果為3:2,則勝利方得2分、對方得1分.求乙隊得分的分布列及數學期望.變式1(2012年高考(山東理))先在甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結果相互獨立.假設該射手完成以上三次射擊.(Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求該射手的總得分的分布列及數學期望.變式2(2012重慶理)(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.)甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.(Ⅰ)求甲獲勝的概率;(Ⅱ)求投籃結束時甲的投籃次數的分布列與期望題型六n次獨立重復試驗的概率----二項分布若在次重復試驗中,每次試驗結果的概率都不依賴其它各次試驗的結果,則此試驗叫做次獨立重復試驗。若在1次試驗中事件A發(fā)生的概率為P,則在次獨立懲處試驗中,事件A恰好發(fā)生次的概率為。高考結合實際應用問題考查次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生次的概率的計算方法和化歸轉化、分類討論等數學思想方法的應用。例1【2015高考湖南,理18】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為,求的分布列和數學期望.例2【2014遼寧理18】(本小題滿分12分)一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示:將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另一天的日銷售量低于50個的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數,求隨機變量X的分布列,期望及方差.變式1(2012四川理)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和.(Ⅰ)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值;(Ⅱ)設系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數為隨機變量,求的概率分布列及數學期望.題型七離散型隨變量概率分布列設離散型隨機變量的分布列為它有下面性質:①②即總概率為1;③期望方差離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.高考常結合應用問題對隨機變量概率分布列及其性質的應用進行考查.例題1(2010天津理)某射手每次射擊擊中目標的概率是,且各次射擊的結果互不影響。(Ⅰ)假設這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標的概率(Ⅱ)假設這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊中目標。另外2次未擊中目標的概率;(Ⅲ)假設這名射手射擊3次,每次射擊,擊中目標得1分,未擊中目標得0分,在3次射擊中,若有2次連續(xù)擊中,而另外1次未擊中,則額外加1分;若3次全擊中,則額外加3分,記為射手射擊3次后的總的分數,求的分布列。題型八標準正態(tài)分布例(2013年高考湖北卷(理))假設每天從甲地去乙地的旅客人數是服從正態(tài)分布的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為.(=1\*ROMANI)求的值;(參考數據:若,有,.)(=2\*ROMANII)某客運公司用.兩種型號的車輛承擔甲.乙兩地間的長途客運業(yè)務,每車每天往返一次,.兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊,并要求型車不多于型車7輛.若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的運營成本最小,那么應配備型車.型車各多少輛?變式1【2015高考湖北,理4】設,,這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是()A.B.C.對任意正數,D.對任意正數,變式2【2015高考山東,理8】已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布,從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為()(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布,則,。)(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%題型九線性回歸分析例1【2014年全國新課標Ⅱ(理19)】(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭純收入y(單位:千元)的數據如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,例2【2014年重慶卷(
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