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文檔簡介
2024屆黑龍江省重點(diǎn)中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B.C.或 D.2.tan570°=()A. B.- C. D.3.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.4.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.5.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.6.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.7.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.38.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④9.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),若,則實(shí)數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.內(nèi)角,,的對邊分別為,,,若,則__________.14.已知平面向量,的夾角為,且,則=____15.在回歸分析的問題中,我們可以通過對數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.16.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.20.(12分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長參與,測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序,然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄冊谝惠営螒蛑?,對四種食物排出的序號完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡要說明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過程);(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解,說明理由.22.(10分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:對上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,總有成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由點(diǎn)求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.6、A【解析】
依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。7、A【解析】
將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)?,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)?,,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);綜上所述:與無交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.9、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.10、D【解析】
“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性,對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,使問題易于求解.11、A【解析】
在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計(jì)算能力,屬于難題.12、B【解析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對數(shù)運(yùn)算,屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵,∴,即,∴,∴.14、1【解析】
根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得;將化簡并代入即可求得.【詳解】,則,平面向量,的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量模的求法可知,代入可得,解得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.16、0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,討論,兩種情況,分別計(jì)算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí)恒成立,所以單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以有唯一零點(diǎn),即符合題意;②當(dāng)時(shí),令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時(shí),因?yàn)椋蚀嬖?所以不符題意(iii)當(dāng)時(shí),因?yàn)?,設(shè),所以,單調(diào)遞增,即,故存在,使得,不符題意;綜上,的取值范圍為。(2)。①當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,所以,即符合題意;②當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以存在,使得,且?dāng)時(shí),。即在上單調(diào)遞減,所以,不符題意。綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,恒成立問題,意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)見解析(2),最大值.【解析】
(1)先證明,,故平面ADC.由,即得證;(2)可證明平面ABC,結(jié)合條件表示出,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圓O的直徑,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,∴當(dāng)時(shí),體積有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運(yùn)用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點(diǎn),,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)先通過求得,再由得,和條件中的式子作差可得答案;(2)變形可得,通過裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】(1)①,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),②,①②得:,,適合,故;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)求和,是基礎(chǔ)題.21、(1)(?。áⅲ┓植急硪娊馕觯唬?)理由見解析【解析】
(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,家長的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByC
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