2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中高三上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁
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2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中高三上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.202.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.3.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.4.已知是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,,則的解集是A. B.C. D.5.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.66.的展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.7.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則k的值為()A. B. C.或- D.和-8.()A. B. C.1 D.9.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.12.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí),在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法,如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入,的值分別為4,5,則輸出的值為______.14.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為________.15.若,,則___________.16.已知為拋物線:的焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點(diǎn),直線與交于、兩點(diǎn),則的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)恒成立,求的取值范圍.18.(12分)4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來自同一個(gè)小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.20.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點(diǎn)A在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于另一點(diǎn)M,與橢圓E相交于另一點(diǎn)N.當(dāng)時(shí),求直線l的方程.21.(12分)已知函數(shù)(1)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:22.(10分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時(shí)故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.3、A【解析】

設(shè),因?yàn)?,得到,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),因?yàn)?,即線段的中點(diǎn),所以,所以直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.4、D【解析】

先由是偶函數(shù),得到關(guān)于直線對(duì)稱;進(jìn)而得出單調(diào)性,再分別討論和,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以關(guān)于直線對(duì)稱;因此,由得;又在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增;所以,當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;因此,的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式,熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可,屬于常考題型.5、C【解析】

根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).

答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.7、C【解析】

直線過定點(diǎn),直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小,求得結(jié)果.【詳解】如圖,直線過定點(diǎn)(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴由對(duì)稱性可知k=±.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題,以及直線和圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時(shí),是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.10、D【解析】

兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為11、C【解析】

畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.12、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計(jì)概率,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1055【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序,即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下:,滿足,,滿足,,滿足,,滿足,,不滿足,輸出.故答案為:1055.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行,屬基礎(chǔ)題.14、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

因?yàn)椋?,又,所以,則,所以.16、16.【解析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點(diǎn)由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為16點(diǎn)睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價(jià)于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋核?,由題意得:,解得或.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.18、(1)(2)見解析,【解析】

(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題設(shè)易得,問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3(人),從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有(種),抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有(種),所以,抽取的兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率為(2)由(1)知,在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中,來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人,所以,抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為:012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)見解析【解析】

(1)由,周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡(jiǎn)即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,周長,且.聯(lián)立解得,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)其方程為,則,所以,即.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,并設(shè),由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.20、(1)(2)或.【解析】

(1)圓的方程已知,根據(jù)條件列出方程組,解方程即得;(2)設(shè),,顯然直線l的斜率存在,方法一:設(shè)直線l的方程為:,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去,可得,同理直線方程和圓方程聯(lián)立,可得,再由可解得,即得;方法二:設(shè)直線l的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,可得,將其與圓方程聯(lián)立,可得,由可解得,即得.【詳解】(1)記橢圓E的焦距為().右頂點(diǎn)在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C:相切.解得,,橢圓方程為:.(2)法1:設(shè),,顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:.直線方程和橢圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,整理得.由,解得.直線方程和圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,由,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.分法2:設(shè),,當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),不符題意.設(shè)直線l的方程為:.由方程組消去x得,,解得.由方程組消去x得,,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力.21、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立,令,,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

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