2024屆高三上學期12月聯(lián)考 數(shù)學試題（含解析）

騰·云聯(lián)盟2023-2024學年度上學期高三年級12月聯(lián)考數(shù)學試卷試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．162．下列函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．已知，，則（

）A． B．C． D．4．如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（

）A． B． C． D．5．在中，“”是“為直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為數(shù)列的前n項和，，下列說法正確的是（

）A．B．C．當數(shù)列的前n項積最大時，或者D．數(shù)列的前n項和為7．已知某正四棱錐高為h，底面ABCD邊長為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說法中不正確的是（

）A．得到a，h的值，可以確定唯一的RB．得到a，h的值，可以確定唯一的rC．得到a，R的值，可以確定唯一的hD．得到a，r的值，可以確定唯一的h8．橢圓C：（）的左右焦點分別為，，B為橢圓C的下頂點，延長交橢圓C于另一點A，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，是全集的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是（

）A．B．C．D．10．已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．11．已知數(shù)列滿足，，下列說法中正確的是（

）A．B．，且，滿足C．（）D．記的前n項積為，則12．函數(shù)的圖象稱為牛頓三叉戟曲線．若關(guān)于x的方程有3個實根，，，，且，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在點處的切線方程為．14．2023年10月5日晚，杭州亞運會女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國女籃戰(zhàn)勝日本女籃，以6戰(zhàn)全勝的戰(zhàn)績強勢奪冠，第7次獲得亞運會金牌.中國隊6場比賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國隊6場比賽得分的第75百分位數(shù)是．15．（），若存在，使得，則正實數(shù)的取值范圍為．16．MN是棱長為2的正方體的內(nèi)切球的一條直徑，點E為的中點，若空間內(nèi)動點Р滿足AP⊥CE，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在中，，，，為的平分線．(1)求的面積；(2)求．18．如圖，已知兩個正四棱錐與的所有棱長均為2．(1)設平面與平面的交線為l，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．19．甲，乙兩學校進行體育比賽，比賽共設兩個項目，每個項目勝方得分，負方得分，平局各得分．兩個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在兩個項目中獲勝的概率分別為，，甲學校在兩個項目中平局的概率分別為，．各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學校兩場比賽后獲得冠軍的概率；(2)用表示甲學校兩場比賽的總得分，求的分布列與期望．20．記數(shù)列的前項和為，滿足，且．(1)求的通項公式：(2)記，求數(shù)列的前項和．21．已知．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范同：(2)設表示不超過的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）22．已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．(1)求拋物線C的方程：(2)當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）1．A【分析】根據(jù)復數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，所以，故，故選：A2．B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合基本函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,的定義域為，故不符合題意，對于B，故為奇函數(shù)，且當時，，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，進而可得在上的單調(diào)遞增，故B滿足題意，對于C，為非奇非偶函數(shù)，故不符合題意，對于D，為周期函數(shù)，故不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意，故選：B3．C【分析】利用，結(jié)合兩角和的余弦公式求值.【詳解】因為，所以，又，所以為銳角，且.∴.故選：C4．A【分析】由楊輝三角的性質(zhì)判斷第20行的數(shù)大于2023的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個數(shù)，其中，由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個數(shù)為，故所求概率為.故選：A.5．D【分析】逐步分析條件，否定充分性，舉例子否定必要性即可.【詳解】在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D6．D【分析】A選項，利用求出通項公式；B選項，計算出，，，故B錯誤；C選項，計算出，且當時，，得到當時，數(shù)列的前n項積最大；D選項，，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】A選項，當時，，當時，，因為，故，A錯誤；B選項，，，，由于，B錯誤；C選項，由A知，，故，當時，，綜上，當時，數(shù)列的前n項積最大，C錯誤；D選項，由A選項，，，故的前n項和為，D正確.故選：D7．C【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球以及內(nèi)切球的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】在正四棱錐中，當?shù)酌孢呴L以及四棱錐的高確定時，此時正四棱錐是唯一確定的，因此此時正四棱錐的內(nèi)切球以及外接球均唯一確定，故AB正確，如圖，，為，的中點，,由題意，為正四棱錐，底邊長為，根據(jù)等體積法可得,化簡可得，的值，可以確定唯一的h，D正確,設外接球球心為,連接，,化簡可得，當時，此時有兩個不相等的實數(shù)根，所以得到a，的值，不可以確定唯一的h，C錯誤，故選：C．8．B【分析】由橢圓的定義可得，又,由余弦定理可得則,由于，結(jié)合余弦定理，即可得出答案．【詳解】由橢圓的定義可得，根據(jù)題意可得，所以，解得,所以，所以，所以，所以，所以，故選：B9．BCD【分析】結(jié)合韋恩圖判斷集合間的運算結(jié)果.【詳解】如圖所示，，A選項錯誤；，，，BCD選項正確；故選：BCD.10．AC【分析】A選項，由線面垂直得到線線垂直，進而由線面平行得到線線平行；B選項，可舉出反例；C選項，由線面垂直得到，，進而得到；D選項，假設，得到，與矛盾，D錯誤.【詳解】A選項，因為平面，則存在，使得且，因為，由線面平行判定可得，A正確；B選項，如圖1，滿足題目條件，但不垂直，B錯誤；C選項，如圖2，因為，所以，平面，，故，平面，，故，又，，故，C正確；D選項，假設，因為平面，所以，則與矛盾，D錯誤.故選：AC11．AD【分析】A選項，變形得到，若，推出，矛盾，故，即；B選項，得到，若，推出，矛盾；C選項，假設（），代入條件得到，C錯誤；D選項，得到，利用累乘法可得：，因為，所以，則，也可構(gòu)造法求出，得到BC錯誤.【詳解】A選項，由可得，若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾，故，此時，且滿足，所以A正確．B選項，由可得，因為，若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾．故，又，所以恒成立．則，故是遞減數(shù)列，所以B錯．C選項，假設（），則，將代入中得，，或者取驗證可知C不成立，所以C錯．D選項，由，，利用累乘法可得：，因為，所以，則．所以D正確．另解AB選項：由，左右兩邊同時取對數(shù)，，令，則，設，故，故，故為等比數(shù)列，首項為，公比為2，故，故，代入，則．顯然，故A正確，因為函數(shù)單調(diào)增函數(shù)，且大于0恒成立，則單調(diào)遞減，則數(shù)列為遞減數(shù)列，則不存在，且，滿足，所以B錯誤；故選：AD.【點睛】方法點睛：由遞推公式求解通項公式，根據(jù)遞推公式的特點選擇合適的方法，（1）若，采用累加法；（2）若，采用累乘法；（3）若，可利用構(gòu)造進行求解；12．AD【分析】利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性作出其圖象.對于A：結(jié)合圖象分析判斷；對于B：由圖可知，利用作差法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)題意整理得，結(jié)合運算求解即可；對于D：整理得，令，構(gòu)建（），利用導數(shù)求其最值即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，，令，解得或；令，解得；則在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，令，解得或，可得的圖象如圖所示：對于A：若關(guān)于x的方程有3個實根，由函數(shù)圖象可知，符合題意，故A正確；對于B：由圖可知，則，，因為在上單調(diào)遞增，由，可得，所以，故B錯誤；對于C：由可得，由圖象可知，即，解得，故C錯誤；對于D：由，令，則（），構(gòu)造（），則，令，解得；令，解得；則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即，故D正確．【點睛】方法點睛：（1）作圖：常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．（2）識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關(guān)系．（3）用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究．13．【分析】求導，得到，得到切線方程.【詳解】，，故在點處的切線方程為，即.故答案為：14．104【分析】根據(jù)百分位數(shù)知識即可求解.【詳解】由題意知：將場比賽得分從小到大排列為：，，，，，，因為，所以可得場比賽得分第百分位數(shù)為第位的數(shù)：.故答案為：.15．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值域可知存在，使得，即可利用整體法求解.【詳解】當時，，故由可得，因此存在，使得，由于，（），則，因此，解得，故答案為；16．##【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算可得，進而利用線面垂直可判斷在平面上，即可利用空間向量求解點面距離求解.【詳解】設內(nèi)切球的球心為,連接，可得，取,的中點為，連接，由于E為的中點，所以又,所以,因此,故,又,所以,又平面，平面，所以,平面，因此點在平面上不同于點處運動，故當平面時，此時最小，建立如圖所示的空間坐標系，則,,設平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為所以的最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.17．(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（2）利用二倍角的余弦公式求出，再根據(jù)角平分線定理求出，再解即可.【詳解】（1）在中用余弦定理，，則，所以；（2）因為為的平分線，所以，則，解得，因為為的平分線，在和中分別用正弦定理可得，，因為，所以所以，又，所以，在中用正弦定理，，解得．18．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解；（2）建立空間坐標系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由正四棱錐可知，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以．又因為平面且平面，由線面平行的判定定理，平面．（2）由題設知，是正方形，所以．由正四棱錐的性質(zhì)，平面，取中心為O，分別以直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設條件，相關(guān)各點的坐標分別是，，，，所以，，，設平面QAB的法向量為，由，?。O與平面所成角為，則．所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．19．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式直接計算；（2）確定隨機變量的可能情況，再根據(jù)獨立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式計算概率，可得分布列與期望.【詳解】（1）甲獲勝分三種情況：勝勝，勝平，平勝，則甲獲勝的概率為（2）所有可能取值為，，，，，，，，，，，，其分布列如下表.20．(1)，(2)【分析】（1）利用退一相減法可得，進而確定數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法確定當和時的前項和.【詳解】（1）由已知，當時，，解得，當時，，則，即，則當時，，即，，所以，則，，又，滿足上式，所以，；（2）由（1）得，又當時，，即，當時，，即，設數(shù)列的前項和為，則當時，；當，，綜上所述，.21．(1)(2)【分析】（1）求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最小值，進而可得參數(shù)范圍；（2）由，可得，分情況討論該不等式是否有解，可得，進而可得.【詳解】（1）由，得，令得，當時，，當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為恒成立，所以，即，解得；（2）由，得，則，設函數(shù)，，令，可得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，則當時，即時，由（1）得在單調(diào)遞增，恒成立，且當時，；當時，即時，由（1）知在單調(diào)