廣西壯族自治區(qū)三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)三新學(xué)術(shù)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號填寫清楚，然后貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又因?yàn)椋?故選：D2.已知，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)椋运趶?fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由拋物線，得，解得：.所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.4.已知等差數(shù)列中，，，則公差（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】設(shè)公差為，則，即，解得.故選：A.5.已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，所以，則離心率.故選：B.6.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，可得且，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，令，在直角中，可得，在直角中，同理可得，再取的中點(diǎn)，連接，，可得，因?yàn)榈酌妫缘酌?，在直角中，可得所以又因?yàn)槭卿J角，所以.故選：D.7.已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.3 C.2 D.【答案】B【解析】，，過，的直線方程為，即，圓：的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線距離，則直線AB和圓C相離.如圖所示：由圖形可得：當(dāng)過的直線與圓相切時(shí)，滿足最小或最大.，.故選：B8.已知橢圓：與雙曲線：有共同的焦點(diǎn)，，且在第一象限的交點(diǎn)為，滿足（其中為原點(diǎn)）.設(shè)，的離心率分別為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作，垂足為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，解得，，，，設(shè)點(diǎn)，則在中，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，，由勾股定理可得，整理得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分.9.設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡可能是（）A.圓 B.線段 C.橢圓 D.直線【答案】BC【解析】由題意知，定點(diǎn)，，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，當(dāng)時(shí)，可得的，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是橢圓.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，若，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.是數(shù)列中的最小項(xiàng)C.滿足的的最大值為14 D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值【答案】AC【解析】對于A：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，?shù)列是遞減數(shù)列，故A項(xiàng)正確；對于B：由A項(xiàng)知數(shù)列是遞減數(shù)列，所以最大項(xiàng)是首項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：由不等式，又因?yàn)?，所以，可得，又因?yàn)?，所以滿足的的最大值為14，故C項(xiàng)正確.對于D：因?yàn)?，，則可得當(dāng)或時(shí)，取最大值，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐，設(shè)，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.在翻折過程中，存在某個(gè)位置使得B.若，則與平面所成角的正切值為C.當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，二面角的平面角大小為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，∵，平面與平面的交線為，平面，所以平面，又，平面，∴，，故A對；對于B，連接，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又，，平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，在中，，，則，，所以，即與平面所成角的正切值為，故B正確；對于C，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，頂點(diǎn)A到底面距離最大，即平面與平面垂直時(shí)，由A選項(xiàng)可知，平面，又平面，則平面平面，則二面角的平面角的大小為，故C不正確；對于D，當(dāng)時(shí)，得，又是的中點(diǎn)，則，所以是球心，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長為8，離心率為，點(diǎn)，，是雙曲線上的任意兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點(diǎn).下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，則的周長為52B.若點(diǎn)在雙曲線的左支，則的最小值為13C.存在點(diǎn)，使得D.若直線的斜率為，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，則或【答案】ABD【解析】由題可知，所以，，，雙曲線：，漸近線為即.選項(xiàng)A，若，則，所以，，則的周長為，所以選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)取最小值.所以選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C，設(shè)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)為或時(shí)，取最小值.所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，，由得，即或；線段的中點(diǎn)為，所以線段的垂直平分線方程為，令得，由得或，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線過點(diǎn)和，則直線的傾斜角為______.【答案】【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為故答案為：14.已知雙曲線：的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是，則的漸近線方程為______.【答案】【解析】由題意知雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離是5，則，因?yàn)殡x心率為,則，解得：，所以的漸近線方程為.故答案為：15.已知等比數(shù)列滿足，，則______.【答案】6【解析】，所以，由知，故，故答案為：616.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和______.（以數(shù)字作答）.【答案】【解析】解法一：得，所以，令，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為4，且所以，得，即.解法二：由可得令，則數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為4，，即，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，，（1）求；（2）求的面積.解：（1）在中，根據(jù)正弦定理,得解得：.（2）方法一：由余弦定理得：，化簡得：，解得，或（舍），則（或）方法二：由，得，即銳角，則故則,故的面積為.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，可設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題意得：，，聯(lián)立解得：，，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由上問可知，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式.所以,從而可得,從而可得,.19.某市A，B兩校組織了一次數(shù)學(xué)聯(lián)賽（總分120分），兩校各自挑選了數(shù)學(xué)成績最好的100名學(xué)生參賽，成績不低于115分定義為優(yōu)秀，賽后統(tǒng)計(jì)了所有參賽學(xué)生的成績（都在區(qū)間內(nèi)），將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，.得到如下兩個(gè)學(xué)校的頻率分布直方圖：（1）聯(lián)賽結(jié)束后兩校將根據(jù)學(xué)生的成績發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，已知獎(jiǎng)學(xué)金（單位：百元）與其成績的關(guān)系為若以獎(jiǎng)學(xué)金的總額為判斷依據(jù)，本次聯(lián)賽A、B兩校哪所學(xué)校實(shí)力更強(qiáng)？（2）B校規(guī)定：按照筆試成績從高到低，選拔的參賽學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的專業(yè)知識深度培養(yǎng)，將當(dāng)選者稱為“數(shù)學(xué)達(dá)人”，按照B校規(guī)定及該校頻率分布直方圖，估計(jì)B?！皵?shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少達(dá)到多少分？（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)）.解：（1）依題意，校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為：（百元）（元）校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為：（百元）（元）因?yàn)椋孕?shí)力更強(qiáng).（2）由樣本頻率分布直方圖可知，參賽學(xué)生成績位于的頻率為0.2，參賽學(xué)生成績位于的頻率為0.35，這兩組頻率之和為，所以所求分?jǐn)?shù)在，不妨設(shè)“數(shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少為，則，解得，所以估計(jì)?！皵?shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少達(dá)到111.43分.20.“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，已知神州十七號飛船在近地軌道繞以地球?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng).如圖：若飛船距離地球所在位置的最近距離為1，最遠(yuǎn)距離為3（單位：百公里）.（1）求該橢圓方程.（2）若直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.解：（1）由題意可得，，又由，解得：，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可得以為直徑的圓的方程為，直線：，即：，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€與以為直徑的圓交于，兩點(diǎn)，所以，即，可得，∴，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，，即，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，即：，解方程得，且滿足，∴直線的方程為或.21.如圖，在四面體中，，分別是線段，上的點(diǎn)且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因，，，故三角形為直角三角形，所以，由，在中，由余弦定理，，可得，由知①如圖，過做的垂線，垂足為，由于，則有，又由于，所以有，則有，因則有，又由于，，所以有，則②又，，面，由①②可得：平面.（2）如圖，由（1）知，平面，所以有，又，由線面垂直判定定理可知，平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，分別以為軸軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.于是，，，，，，設(shè)，滿足，則有，所以，所以又因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量，由于所以有故可取設(shè)與平面所成的角為，則有，解得或，所以在線段上存在點(diǎn)，使得與平面的所成角的正弦值為，且或22.拋物線：過點(diǎn)，直線不經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于和兩