廣西壯族自治區(qū)三新學術(shù)聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)三新學術(shù)聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又因為，所以.故選：D2.已知，則在復平面上對應的點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以它在復平面上對應的點為，該點位于第四象限.故選：D.3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由拋物線，得，解得：.所以焦點坐標為.故選：C.4.已知等差數(shù)列中，，，則公差（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】設(shè)公差為，則，即，解得.故選：A.5.已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，所以，則離心率.故選：B.6.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，分別取，，的中點，，，連接，，，可得且，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，因為三棱柱為正三棱柱，令，在直角中，可得，在直角中，同理可得，再取的中點，連接，，可得，因為底面，所以底面，在直角中，可得所以又因為是銳角，所以.故選：D.7.已知點在圓：上，點，，則當最大時，（）A. B.3 C.2 D.【答案】B【解析】，，過，的直線方程為，即，圓：的圓心坐標為，圓心到直線距離，則直線AB和圓C相離.如圖所示：由圖形可得：當過的直線與圓相切時，滿足最小或最大.，.故選：B8.已知橢圓：與雙曲線：有共同的焦點，，且在第一象限的交點為，滿足（其中為原點）.設(shè)，的離心率分別為，，當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作，垂足為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，解得，，，，設(shè)點，則在中，即點的橫坐標為，即，，由勾股定理可得，整理得，即，，當且僅當時等號成立，.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.設(shè)定點，，動點滿足，則點的軌跡可能是（）A.圓 B.線段 C.橢圓 D.直線【答案】BC【解析】由題意知，定點，，可得，因為，可得，當且僅當，即時取得等號，當時，可得的，此時點的軌跡是線段；當時，可得，此時點的軌跡是橢圓.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，，若，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.是數(shù)列中的最小項C.滿足的的最大值為14 D.當且僅當時取得最大值【答案】AC【解析】對于A：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因為，所以，即，所以，所以，數(shù)列是遞減數(shù)列，故A項正確；對于B：由A項知數(shù)列是遞減數(shù)列，所以最大項是首項，沒有最小項，故B項錯誤；對于C：由不等式，又因為，所以，可得，又因為，所以滿足的的最大值為14，故C項正確.對于D：因為，，則可得當或時，取最大值，故D項錯誤.故選：AC.11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐，設(shè)，點，分別為棱，的中點，下列說法正確的是（）A.在翻折過程中，存在某個位置使得B.若，則與平面所成角的正切值為C.當三棱錐體積取得最大值時，二面角的平面角大小為D.當時，三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，當平面與平面垂直時，∵，平面與平面的交線為，平面，所以平面，又，平面，∴，，故A對；對于B，連接，因為，，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，為的中點，所以，又，，平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，在中，，，則，，所以，即與平面所成角的正切值為，故B正確；對于C，當三棱錐體積取得最大值時，頂點A到底面距離最大，即平面與平面垂直時，由A選項可知，平面，又平面，則平面平面，則二面角的平面角的大小為，故C不正確；對于D，當時，得，又是的中點，則，所以是球心，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.已知雙曲線：的左右焦點分別為，，實軸長為8，離心率為，點，，是雙曲線上的任意兩點，過點分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點.下列說法正確的是（）A.若點滿足，則的周長為52B.若點在雙曲線的左支，則的最小值為13C.存在點，使得D.若直線的斜率為，線段的垂直平分線與軸交于點，則或【答案】ABD【解析】由題可知，所以，，，雙曲線：，漸近線為即.選項A，若，則，所以，，則的周長為，所以選項A正確.選項B，，當且僅當，，三點共線且點在線段上時(即點與點重合)取最小值.所以選項B正確.選項C，設(shè)，則，所以，，當且僅當，即點為或時，取最小值.所以選項C錯誤.選項D，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，，由得，即或；線段的中點為，所以線段的垂直平分線方程為，令得，由得或，所以選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線過點和，則直線的傾斜角為______.【答案】【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為故答案為：14.已知雙曲線：的離心率為，焦點到漸近線的距離是，則的漸近線方程為______.【答案】【解析】由題意知雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離是5，則，因為離心率為,則，解得：，所以的漸近線方程為.故答案為：15.已知等比數(shù)列滿足，，則______.【答案】6【解析】，所以，由知，故，故答案為：616.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前6項和______.（以數(shù)字作答）.【答案】【解析】解法一：得，所以，令，，當時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為4，且所以，得，即.解法二：由可得令，則數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為4，，即，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，，（1）求；（2）求的面積.解：（1）在中，根據(jù)正弦定理,得解得：.（2）方法一：由余弦定理得：，化簡得：，解得，或（舍），則（或）方法二：由，得，即銳角，則故則,故的面積為.18.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求解：（1）因為是等差數(shù)列，可設(shè)首項為，公差為，由題意得：，，聯(lián)立解得：，，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為.（2）由上問可知，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，通項公式.所以,從而可得,從而可得,.19.某市A，B兩校組織了一次數(shù)學聯(lián)賽（總分120分），兩校各自挑選了數(shù)學成績最好的100名學生參賽，成績不低于115分定義為優(yōu)秀，賽后統(tǒng)計了所有參賽學生的成績（都在區(qū)間內(nèi)），將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，.得到如下兩個學校的頻率分布直方圖：（1）聯(lián)賽結(jié)束后兩校將根據(jù)學生的成績發(fā)放獎學金，已知獎學金（單位：百元）與其成績的關(guān)系為若以獎學金的總額為判斷依據(jù)，本次聯(lián)賽A、B兩校哪所學校實力更強？（2）B校規(guī)定：按照筆試成績從高到低，選拔的參賽學生進行數(shù)學的專業(yè)知識深度培養(yǎng)，將當選者稱為“數(shù)學達人”，按照B校規(guī)定及該校頻率分布直方圖，估計B?！皵?shù)學達人”的分數(shù)至少達到多少分？（保留小數(shù)點后兩位小數(shù)）.解：（1）依題意，校學生獲得的獎學金的總額為：（百元）（元）校學生獲得的獎學金的總額為：（百元）（元）因為，所以校實力更強.（2）由樣本頻率分布直方圖可知，參賽學生成績位于的頻率為0.2，參賽學生成績位于的頻率為0.35，這兩組頻率之和為，所以所求分數(shù)在，不妨設(shè)“數(shù)學達人”的分數(shù)至少為，則，解得，所以估計?！皵?shù)學達人”的分數(shù)至少達到111.43分.20.“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，已知神州十七號飛船在近地軌道繞以地球為一個焦點的橢圓軌道上運動.如圖：若飛船距離地球所在位置的最近距離為1，最遠距離為3（單位：百公里）.（1）求該橢圓方程.（2）若直線：與橢圓交于，兩點，與以為直徑的圓交于，兩點，且滿足，求直線的方程.解：（1）由題意可得，，又由，解得：，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可得以為直徑的圓的方程為，直線：，即：，所以圓心到直線的距離為，因為直線與以為直徑的圓交于，兩點，所以，即，可得，∴，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，，即，所以，，，所以，因為，所以，即：，解方程得，且滿足，∴直線的方程為或.21.如圖，在四面體中，，分別是線段，上的點且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因，，，故三角形為直角三角形，所以，由，在中，由余弦定理，，可得，由知①如圖，過做的垂線，垂足為，由于，則有，又由于，所以有，則有，因則有，又由于，，所以有，則②又，，面，由①②可得：平面.（2）如圖，由（1）知，平面，所以有，又，由線面垂直判定定理可知，平面，在平面內(nèi)過點作，分別以為軸軸，軸正方向建立空間直角坐標系.于是，，，，，，設(shè)，滿足，則有，所以，所以又因為，，設(shè)平面的法向量，由于所以有故可取設(shè)與平面所成的角為，則有，解得或，所以在線段上存在點，使得與平面的所成角的正弦值為，且或22.拋物線：過點，直線不經(jīng)過點，直線與拋物線交于和兩