第50講 排列與組合（精講）高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第50講排列與組合（精講）題型目錄一覽①兩個(gè)計(jì)數(shù)原理②排列問(wèn)題③組合問(wèn)題④排列組合綜合問(wèn)題一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法二、排列與排列數(shù)1.定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．2.排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：．3.排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．4.解排列應(yīng)用題的基本思路：通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用．三、組合與組合數(shù)1.定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2.組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來(lái)考慮：第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題．公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明．3.組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．【常用結(jié)論】①排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”．②解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程（1）認(rèn)真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；（4）解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．③數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．④定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理策略方法利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的步驟【典例1】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【分析】解法一二：利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.解法三：考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．【詳解】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故選：B.【典例2】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，每個(gè)人都有三種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．中國(guó)人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達(dá)命令，要求從江西或福建派出一架偵察機(jī)對(duì)臺(tái)海空域進(jìn)行偵查，已知江西有架偵察機(jī)，福建有架偵察機(jī)，則不同的分派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的分派方案共有種.故選：A.2．某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C3．用1，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】先從4個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在百位，有4種；然后從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在十位，有3種；最后從剩下的2個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，有2種；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.4．高二1、2、3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來(lái)自不同班的選法種數(shù)為（

）A．12 B．15 C．20 D．21【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，選中高二1班的同學(xué)有種方法，高二1班的同學(xué)沒(méi)選中有，所以2人來(lái)自不同班的選法種數(shù)為.故選：B5．如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息（

）A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形得出從A到B傳播路徑有4條，寫出每條途徑傳播的最大信息量，再求和，即得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；所以從A向B傳遞信息，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為，故選：D．6．若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【分析】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，然后利用分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有種，故選：C7．三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】B【分析】平面是向四周無(wú)限延展的.可分兩步進(jìn)行空間直觀想象，先由三個(gè)側(cè)面分空間，再由棱柱的兩平行底面分空間，即可解決問(wèn)題.【詳解】三棱柱的三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個(gè)底面將空間分成3部分．故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為．故選：B．8．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D9．360的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?60有個(gè)不同的正因數(shù)．故選：A10．集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分為集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)和集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)兩種情形討論即可.【詳解】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.題型二排列問(wèn)題策略方法求解排列應(yīng)用問(wèn)題的六種常用方法【典例1】計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)348；(2)64.【分析】（1）（2）利用排列數(shù)公式直接計(jì)算作答.【詳解】（1）.（2）.【典例2】電影《長(zhǎng)津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無(wú)畏的精神為長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)720種(2)1440種(3)960種．【分析】（1）根據(jù)題意，由捆綁法，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由插空法，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法，插空法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3個(gè)女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個(gè)整體，與4個(gè)男生進(jìn)行排列，共有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；（2）根據(jù)題意，先將4個(gè)男生排好，有種排法，再在這4個(gè)男生之間及兩頭的5個(gè)空位中插入3個(gè)女生有種方法，故符合條件的排法共有種；（3）根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．計(jì)算：（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D2．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問(wèn)題插空法即可由排列數(shù)計(jì)算求解.【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個(gè)整體捆綁起來(lái)與E,F進(jìn)行全排列，然后將C，D插入到已排好隊(duì)的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有,故選：C3．下列計(jì)算結(jié)果為28的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式，一一計(jì)算各選項(xiàng)中的數(shù)值，即得答案.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確，故選：D4．某一天的課程要排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、政治、體育、生物共七門課各一節(jié)，若物理不排第一節(jié)，則排法總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先考慮第一節(jié)課的排課，有六種選擇，剩余六節(jié)課隨便排，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若物理不排第一節(jié)，則第一節(jié)可以排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、政治、體育、生物六門課中的一門，剩余六門課隨便排，所以，不同的排法種數(shù)為.故選：B.5．貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺(tái)江縣臺(tái)盤村開(kāi)賽.該聯(lián)賽由臺(tái)盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來(lái)，被網(wǎng)友稱為“村BA”.村BA給全國(guó)人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛(ài)生活的精神，更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時(shí)給貴州的旅游帶來(lái)巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區(qū)賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結(jié)束，主辦方設(shè)置一場(chǎng)扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊(duì)每隊(duì)各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊(duì)作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（

）種表演順序.A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定貴州兩名球員的順序，再確定其余6人的表演順序即可.，在確定其余6人順序?yàn)椋煞植匠朔ㄔ砜傻靡还灿蟹N順序.故選：C.6．品牌電商服務(wù)商是指專門為品牌方提供包括運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)等內(nèi)容的綜合電子商務(wù)服務(wù)的商家．某品牌方準(zhǔn)備與甲、乙、丙3家服務(wù)商進(jìn)行合作，為此對(duì)這3家服務(wù)商的運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)這5項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行考察，并根據(jù)考察結(jié)果對(duì)每項(xiàng)內(nèi)容按照從優(yōu)到劣分為A，B，C3個(gè)等級(jí)，則甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為（

）A．3125 B．360 C．256 D．30【答案】A【分析】先根據(jù)排列組合列舉出一項(xiàng)符合題意的種數(shù)，再得出這5項(xiàng)所有可能情況的種數(shù)．【詳解】每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有ABB，ABC，ACB，ACC，BCC，共5種．所以甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為.故選：A．7．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【答案】D【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個(gè)空位上，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個(gè)空位上，故共有種不同的排法，故選：D8．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，化簡(jiǎn)可得，解得或6，因?yàn)?，所以且，?故選：A.9．用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第85個(gè)數(shù)字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計(jì)算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個(gè)數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個(gè)，前兩位為20的有個(gè)，前兩位為21的有個(gè)，所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A.10．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，解得，所以不等式的解集是.故選：D.11．用數(shù)字1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)和偶數(shù)互不相鄰的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】B【分析】利用插空法結(jié)合加法原理即可求解.【詳解】先排，形成三個(gè)空位，然后將排入前兩個(gè)空位或者后兩個(gè)空位，所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.12．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的兩人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：D.13．“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個(gè)特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個(gè)節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進(jìn)入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對(duì)這五個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序進(jìn)行排序，其中甲不能第一個(gè)出場(chǎng)，乙不能第三個(gè)出場(chǎng)，則一共有（

）種不同的出場(chǎng)順序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【分析】討論甲在第三出場(chǎng)、不在第一、三出場(chǎng)，結(jié)合排列和計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】當(dāng)甲在第三出場(chǎng)時(shí)，乙?丙?丁?戊全排列，共有種；當(dāng)甲不在第一、三出場(chǎng)時(shí)，共有種；故共有種不同的出場(chǎng)順序.故選：B14．用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列則第85個(gè)數(shù)字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計(jì)算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個(gè)數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個(gè)，前兩位為20的有個(gè)，前兩位為21的有個(gè)，所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A15．今年8月份貴州村籃球總決賽期間，在某場(chǎng)比賽的三個(gè)地點(diǎn)需要志愿者服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每個(gè)地點(diǎn)僅需1名志愿者，每人至多在一個(gè)地點(diǎn)服務(wù)，若甲不能到第一個(gè)地點(diǎn)服務(wù)，則不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．64【答案】A【分析】根據(jù)安排的人中有沒(méi)有甲進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】若安排的人中沒(méi)有甲，安排方法有種，若安排的人中有甲，則先安排甲，然后再選兩人來(lái)安排，則安排的方法有種，所以總的方法數(shù)有種.故選：A16．2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分別計(jì)算丙站在左端時(shí)和丙不站在左端時(shí)的情況，即可得到答案.【詳解】當(dāng)丙站在左端時(shí)，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C17．回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家酒樓叫“天然居”，一次乾隆路過(guò)這家酒樓，稱贊樓名的高雅，遂以樓名為題作對(duì)聯(lián)，上聯(lián)是：“客上天然居，居然天上客”.紀(jì)曉嵐對(duì)曰：“人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人”，乾隆微笑頷首，后“天然居”以此為門聯(lián)，遂聲名大噪.在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為：“回文數(shù)”.如66，787，4334等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．56個(gè) B．64個(gè) C．81個(gè) D．90個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)回文數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合排列的定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有9種情況，即此時(shí)有9個(gè)4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有種情況，即此時(shí)有72個(gè)4位“回文數(shù)”，則一共有個(gè)4位“回文數(shù)”，故選：C二、多選題18．(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．－【答案】CD【分析】可用直接法先排第一位數(shù)字，再排后三位；也可用間接法先進(jìn)行全排列，再排除首位是的情況.【詳解】(直接法)先排第一位，有種方法，再排后三位有種方法，所以共有種排法；(間接法)先進(jìn)行全排列共有種排法，首位是的排法為,所以共有－排法，故選：19．5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（

）A． B． C．84 D．【答案】AB【分析】利用不相鄰問(wèn)題插空法，或用全排列減去甲乙相鄰的排法.【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)插入共種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，不同的排法種數(shù)是；5人并排站成一行有種不同的排法，若甲、乙兩個(gè)人相鄰，利用捆綁法，有種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是.故選：AB．20．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若3個(gè)女生不相鄰，則有144種不同的出場(chǎng)順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場(chǎng)順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，共有72種不同的出場(chǎng)順序【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個(gè)空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項(xiàng)B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項(xiàng)C先將4位男生捆綁作為一個(gè)整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個(gè)整體全排列可得；選項(xiàng)D采用“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可.【詳解】若3個(gè)女生不相鄰，則有種不同的出場(chǎng)順序，A錯(cuò)誤；若女生甲在女生乙的前面，則有種不同的出場(chǎng)順序，B正確；若4位男生相鄰，則有種不同的出場(chǎng)順序，C正確；若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目形成8個(gè)空，插入1個(gè)教師節(jié)目，有8種情況；第二步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個(gè)教師節(jié)目形成9個(gè)空，再插入1個(gè)教師節(jié)目，有9種情況，所以這兩位教師共有種不同的出場(chǎng)順序，D正確.故選：BCD.21．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，定序問(wèn)題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，采用插空法進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項(xiàng)，使用捆綁法進(jìn)行求解；【詳解】對(duì)于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，故B正確；對(duì)于C，若最左端排乙，此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種情況，則共有種站法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將甲與乙捆綁，看做一個(gè)整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD三、填空題22．品牌電商服務(wù)商是指專門為品牌方提供電子商務(wù)服務(wù)的商家，其中包括運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)等內(nèi)容．某品牌方準(zhǔn)備與甲、乙、丙3家服務(wù)商進(jìn)行合作，為此對(duì)這3家服務(wù)商的運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)進(jìn)行考察，并根據(jù)考察結(jié)果對(duì)每項(xiàng)內(nèi)容按照從優(yōu)到劣分為3個(gè)等級(jí)，則甲服務(wù)商的5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為．【答案】3125【分析】先列出每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況，再計(jì)算即可.【詳解】每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有:，共5種．所以甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙和丙服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)為:．故答案為：23．一排6個(gè)座位坐了2個(gè)三口之家，若同一家人座位相鄰，則不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】72【分析】根據(jù)題意可將6個(gè)座位分成兩組，再將同一個(gè)家庭的3個(gè)成員相鄰排列即可求得答案.【詳解】由題可知，同一家人座位相鄰，將6個(gè)座位分成兩組，每組3個(gè)座位，同一家人相鄰的不同坐法種數(shù)為.故答案為：7224．夏老師要進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測(cè)量等五個(gè)項(xiàng)目，為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查，則不同的檢查方案一共有種.【答案】12【分析】先將心電圖、血壓測(cè)量?jī)身?xiàng)全排列，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，最后將抽血放在第一位即可.【詳解】解：由題意得：將心電圖、血壓測(cè)量?jī)身?xiàng)全排列，有種情況，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，有種情況最后將抽血放在第一位，有1種情況，所以共有種情況，故答案為：1225．某同學(xué)將英文單詞“million”中字母的順序記錯(cuò)了，那么他在書寫該單詞時(shí)，寫錯(cuò)的情況有種（用數(shù)字作答）．【答案】1259【分析】million有7個(gè)字母，進(jìn)行全排列，因?yàn)橛袃蓚€(gè)i，兩個(gè)l重復(fù)，總數(shù)要除以，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤再減去1種正確的，因此得解．【詳解】英文單詞“million”中字母的順序記錯(cuò)了，因?yàn)橛袃蓚€(gè)i，兩個(gè)l重復(fù)，那么他在書寫該單詞時(shí)，共有種可能，而正確的拼寫只有1種，故寫錯(cuò)的情況有1259種.故答案為：125926．從甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.【答案】54【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒(méi)有甲、乙的參賽方案.【詳解】若甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有種不同參賽方案，若沒(méi)有甲?乙入選的不同參賽方案共有種，所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.故答案為：54.27．五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”．中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數(shù)是．【答案】84【分析】先考慮所有情況，再減去不滿足的情況即可.【詳解】先考慮五個(gè)音階任意排列，有種情況，再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，把宮、角、羽三音階看做一個(gè)一個(gè)整體，則一共變成3個(gè)元素，有種情況，而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有種情況，所以一共的音序有種，故答案為：84題型三組合問(wèn)題策略方法組合問(wèn)題的常見(jiàn)類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取．(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解．【典例1】計(jì)算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)455(2)21(3)19900【分析】由組合數(shù)計(jì)算公式可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）【典例2】男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽.(1)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有多少種選派方法?(2)參賽的運(yùn)動(dòng)員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運(yùn)動(dòng)員)，有多少種安排方式?【答案】(1)196(2)7560【分析】（1）求出隨機(jī)選擇和沒(méi)有隊(duì)長(zhǎng)的情況，即可求出隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加時(shí)選派方法的數(shù)量；（2）求出隨機(jī)選擇人數(shù)，人隨機(jī)坐和人坐同一個(gè)車中的情況，即可求出運(yùn)動(dòng)員分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運(yùn)動(dòng)員)時(shí)安排方式的數(shù)量.【詳解】（1）由題意，男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.選派5人，若沒(méi)有隊(duì)長(zhǎng)，則有種選派方法，若隨機(jī)選擇，則有種選派方法，∴隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有種方法.（2）由題意，男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，選派5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，∴選擇的人是隨機(jī)的，有種情況，若人坐同一個(gè)車中，有種情況，若人隨機(jī)坐，有種情況，∴從人中選5人，且坐在輛不同的車中，有種情況.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（

）A．35 B．56 C．70 D．84【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，再應(yīng)用組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】,,.故選：A.2．某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】由甲有兩個(gè)人參加會(huì)議需要分兩類，含有甲的選法、不含有甲的選法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】由于甲有兩個(gè)人參加會(huì)議需要分兩類：含有甲的選法有種，不含有甲的選法有種，共有種.故選：B3．若，則（

）A．90 B．42 C．12 D．10【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出即可.【詳解】根據(jù)，且，所以，﹒故選：A﹒4．現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的小球各4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有不同的編號(hào).從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同，且至少有一個(gè)紅色小球，不同取法有（

）A．160種 B．220種 C．256種 D．472種【答案】A【分析】分取出的球中有1個(gè)紅球、取出的球中有2個(gè)紅球兩種情況計(jì)算即可.【詳解】若取出的球中有1個(gè)紅球，不同的取法有種；若取出的球中有2個(gè)紅球，不同的取法有種.故不同取法有種.故選：A.5．5名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館且所有同學(xué)都被安排完，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】D【分析】先分組，再分配，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】第一步：將5個(gè)同學(xué)分為4組，即2,1,1,1，共有種分法，第二步：將4組分配給4個(gè)場(chǎng)館，共有種分法，所以共有種.故選：D.6．為了弘揚(yáng)古詩(shī)文化，積累古詩(shī)詞，某小學(xué)舉行古詩(shī)詞背誦比賽，其中五年級(jí)有6個(gè)班，前3個(gè)班每個(gè)班有50名學(xué)生，后3個(gè)班每個(gè)班有55名學(xué)生．現(xiàn)從每個(gè)班隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加比賽，則不同的抽取方法種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的計(jì)算，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】從50名學(xué)生中抽取3人，有種不同的抽取方法，從55名學(xué)生中抽取3人，有種不同的抽取方法．因?yàn)榍?個(gè)班每個(gè)班有50名學(xué)生，后3個(gè)班每個(gè)班有55名學(xué)生，所以參加比賽的學(xué)生的抽取方法種數(shù)是．故選:C．7．第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)在2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目以及滑板等5個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地，，分別承擔(dān)競(jìng)賽項(xiàng)目與表演項(xiàng)目比賽，其中電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能，，，三個(gè)場(chǎng)地承辦，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的計(jì)數(shù)方法，結(jié)合分類分步兩個(gè)基本原理求解即可得的答案.【詳解】首先電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能兩地舉辦，且各自承辦其中一項(xiàng)有種安排；再次5個(gè)表演項(xiàng)目分別由三個(gè)場(chǎng)地承辦，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目則有種，故總數(shù)為種不同的安排方法.故選：B.8．編號(hào)分別為的10名運(yùn)動(dòng)員，要均分成兩個(gè)小組進(jìn)行5人制足球訓(xùn)練（小組沒(méi)有區(qū)別），其中1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員必須組合在一起，3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員也必須組合在一起，其余運(yùn)動(dòng)員可以隨意搭配，則不同的分組方式共有（

）A．20種 B．26種 C．46種 D．52種【答案】B【分析】根據(jù)1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員在同一組和不在同一組分類討論.【詳解】1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員在同一組，則還需選一人，有種分組情況；1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員與3，4號(hào)運(yùn)動(dòng)員不在同一組，只需1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員所在小組再選3人即可，有種分組情況，所以一共26中不同的分組方式.故選：B9．某研究機(jī)構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國(guó)的青年，讓他們用一個(gè)關(guān)鍵詞表達(dá)對(duì)中國(guó)的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為：高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車、一帶一路、無(wú)人機(jī)、大熊貓、廣場(chǎng)舞、中華美食、長(zhǎng)城、京劇、美麗鄉(xiāng)村，其中使用頻率排前四的關(guān)鍵詞“高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明．從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇4個(gè)不同的關(guān)鍵詞，則至多包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為（

）A．491 B．462 C．392 D．270【答案】B【分析】分類求出不包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)、包含1個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)、包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可得答案.【詳解】從這12個(gè)關(guān)鍵詞中選擇4個(gè)不同的關(guān)鍵詞，不包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有種；包含1個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有種；包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)有種；故至多包含2個(gè)“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為種.故選：B10．四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)．在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為（

）A．141 B．144 C．150 D．155【答案】A【分析】求出從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的取法，減去不合題意的結(jié)果可得答案．【詳解】從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類．第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱所對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4頂點(diǎn)共面，有3種．以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有種．故選：A．11．某高中安排6名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，若每名同學(xué)只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．90 B．360 C．240 D．180【答案】B【分析】分張同學(xué)單獨(dú)一組和其他同學(xué)一組兩種情況，先排張同學(xué)，然后對(duì)其他5人進(jìn)行分組分配即可.【詳解】（1）張同學(xué)單獨(dú)一組：由于張同學(xué)不去乙小區(qū)，所以先排張同學(xué)共有種，再將其余5人分成兩組共有中，分配到另外兩個(gè)小區(qū)共有，所以此類情況共有種；（2）張同學(xué)與其他同學(xué)一組：先安排張同學(xué)共有種，然后將其余5人分成三組共有種，再將三組分配到三個(gè)小區(qū)共種，所以此類情況共有種.綜上，不同的分配方案共有種.故選：B12．為落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開(kāi)設(shè)三門勞動(dòng)教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報(bào)名參加該校勞動(dòng)教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有（

）A．60種 B．150種 C．180種 D．300種【答案】B【分析】對(duì)五位同學(xué)分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理求解即可．【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時(shí)有種.所以不同的報(bào)名方法共有60＋90＝150種．故選：B．13．20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．720種【答案】A【分析】應(yīng)用“隔板法”即可求解.【詳解】先在編2號(hào),3號(hào)的盒內(nèi)分別放入1個(gè)球和2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，三個(gè)盒內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊隔板分為三堆放入三個(gè)盒中即可，共有（種）方法．故選:A.14．將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有（

）A．240種 B．180種C．150種 D．540種【答案】C【分析】每所大學(xué)至少保送一人，可以分類來(lái)解，把5名學(xué)生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】把5名學(xué)生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，當(dāng)5名學(xué)生分成2：2：1三組時(shí)，共有種結(jié)果，當(dāng)5名學(xué)生分成3：1：1三組時(shí)，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C．二、多選題15．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4個(gè)參加社會(huì)公益活動(dòng)，若選出的4人中既有男生又有女生，則（

）A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法【答案】ABC【分析】根據(jù)組合數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若選1男3女，選法數(shù)有種選法，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若選2男2女，選法數(shù)有種選法，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若選3男1女，選法數(shù)有種選法，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，總的選法數(shù)有種，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC16．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用組合數(shù)公式及性質(zhì)計(jì)算判斷判斷ABC；利用二項(xiàng)式定理判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：CD17．從七個(gè)組合數(shù)，，，，，，中任取三個(gè)組合數(shù)，則（

）A．三個(gè)組合數(shù)中含有最大的組合數(shù)的取法有種B．三個(gè)組合數(shù)中含有最小的組合數(shù)的取法有種C．三個(gè)組合數(shù)中同時(shí)含有最大與最小的組合數(shù)的取法有種D．三個(gè)組合數(shù)中有相等的組合數(shù)的取法有種【答案】ABD【分析】根據(jù)直接法結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算判斷AD，根據(jù)間接法結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算判斷B，根據(jù)加法原理和組合運(yùn)算判斷C.【詳解】七個(gè)組合數(shù)，，，，，，即，，，，，，，最大的組合數(shù)為，最小的組合數(shù)為，相等的組合數(shù)有，，，對(duì)于A，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，含有最大的組合數(shù)的取法有種結(jié)果，正確；對(duì)于B，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，含有最小的組合數(shù)的取法有種結(jié)果，正確；對(duì)于C，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)，同時(shí)含有最大與最小的組合數(shù)的取法有種結(jié)果，錯(cuò)誤；對(duì)于D，從七個(gè)組合中任取三個(gè)組合數(shù)含有相等的組合數(shù)的取法有種結(jié)果，正確.故選：ABD.18．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為D．若政治必須選，選法總數(shù)為【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理及排列組合，依次判斷各選項(xiàng)，即可得解．【詳解】對(duì)于A，任意選擇三門課程，選法總數(shù)為，A正確；對(duì)于B，物理和化學(xué)至少選一門，分兩類，第一類：物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的五門中選兩門，有種方法，共有種選法；第二類：物理和化學(xué)都選有種方法，其余一門從剩余的五門中選一門，有種方法，共有種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，選法總數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為，C正確；對(duì)于D，政治必須選，另兩門從余下六門中任選兩門，選法總數(shù)為，D錯(cuò)誤．故選：AC19．某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開(kāi)展“面對(duì)面”義診活動(dòng)，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．所有不同分派方案共種B．所有不同分派方案共36種C．若甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共30種【答案】BCD【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個(gè)企業(yè)即可判斷AB；分企業(yè)有兩人和企業(yè)只有一人，兩種情況討論即可判斷C；先求出甲，乙安排到同一家企業(yè)的種數(shù)，再利用排除法求解即可.【詳解】由題意，所有不同分派方案共種，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，若甲必須到A企業(yè)，若企業(yè)有兩人，則將其余三人安排到三家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則不同分派方案有種，若企業(yè)只有一人，則不同分派方案有種，所以所有不同分派方案共種，故正確；對(duì)于D，若甲，乙安排到同一家企業(yè)，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則有種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共種，故D正確.故選：BCD.三、填空題20．把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)不同盒子中，使盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（用數(shù)字作答）【答案】15【分析】利用隔板法計(jì)算即可.【詳解】先在編號(hào)為2，3的盒子中分別放入1，2個(gè)小球，編號(hào)為1的盒子不放球，再每個(gè)盒子至少放入一個(gè)小球，用隔板法將余下7個(gè)小球排一排有6個(gè)空，插入2個(gè)隔板，有種方法.故答案為：1521．某校擬從2名教師和4名學(xué)生共6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，組成代表隊(duì)，參加市黨史知識(shí)競(jìng)賽，則要求代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有種．【答案】16【分析】既有教師又有學(xué)生的選法分為有1名教師和2名學(xué)生和有2名教師和1名學(xué)生，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得答案.【詳解】由題意得從6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，其中有1名教師和2名學(xué)生的選法有種，有2名教師和1名學(xué)生的選法有種，故代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有（種），故答案為：1622．算盤起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，在電子計(jì)算機(jī)發(fā)明以前，算盤是廣為使用的計(jì)算工具.圖（1）展示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左每一檔分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……上面的一粒珠子表示5，下面的一粒珠子表示1.例如圖（2）中個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下珠靠梁，表示數(shù)字17.現(xiàn)將初始狀態(tài)的算盤上個(gè)位、十位、百位、千位、萬(wàn)位、十萬(wàn)位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子靠梁，則可以表示能被3整除的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】22【分析】分類討論，結(jié)合計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)的計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，得到的六位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上均為數(shù)字1或5，要使這個(gè)六位數(shù)能被3整除，則有三種情況：①6個(gè)1，只有111111；②6個(gè)5，只有555555；③3個(gè)1和3個(gè)5，有個(gè).故滿足條件的六位數(shù)有22個(gè).故答案為：22．23．2023年暑假，5位老師去某風(fēng)景區(qū)游玩，現(xiàn)有“垂云通天河”、“嚴(yán)子陵釣臺(tái)”這兩處風(fēng)景供選擇，若每位老師只能選取其中的一處風(fēng)景且每處風(fēng)景最多被3位老師選擇，則不同的選擇方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】20【分析】根據(jù)題意，先分組再分配，結(jié)合排列數(shù)，組合數(shù)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意得，5位教師中有3位選取其中的一處風(fēng)景游玩，另兩位教師選擇另一處風(fēng)景游玩．故可分兩步：第一步：將5位老師分為兩組，一組3人，一組2人，共有種不同的分法；第二步：將兩組分配到兩處風(fēng)景，共有種不同的方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有種不同的選擇方案．故答案為：24．某旅行社有導(dǎo)游人，其中有人會(huì)英語(yǔ)，有人會(huì)日語(yǔ)?，F(xiàn)在需要選名英語(yǔ)導(dǎo)游和名日語(yǔ)導(dǎo)游，完成一項(xiàng)導(dǎo)游任務(wù)，則不同的選擇方法為.【答案】【分析】分析出雙語(yǔ)導(dǎo)游的選擇人數(shù)，即可得出選名英語(yǔ)導(dǎo)游和名日語(yǔ)導(dǎo)游的方法個(gè)數(shù).【詳解】由題意，有導(dǎo)游人，其中有人會(huì)英語(yǔ)，有人會(huì)日語(yǔ)，∴有人只會(huì)英語(yǔ)，人只會(huì)日語(yǔ)，人兩種語(yǔ)言都會(huì)，若1個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的導(dǎo)游都不選，則有種選擇方法，若恰好選1個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的導(dǎo)游，則有種選擇方法，若恰好選2個(gè)會(huì)雙浯的導(dǎo)游，則有種選擇方法,故不同的選擇方法有種.故答案為：.25．按下列要求分配6本不同的書.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.【答案】603601590159030【分析】根據(jù)排列、組合的定義，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理對(duì)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）逐一進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法，再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的是3本書，有（種）分配方法.（2）在（1）的結(jié)論下，將這三份書分給甲?乙?丙三人，有（種）分配方法.（3）先從6本書中選2本，有種分配方法，再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的就是2本書，有種分配方法，所以共有種分配方法.但是，該過(guò)程有重復(fù)，設(shè)6本書分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若三個(gè)步驟分別選出的是，，，則所有情況為，，，，，，則需去除重復(fù)的情況.綜上，不同的分配方式共有（種）.（4）結(jié)合（3）可知，將這三份書分別分給甲?乙?丙三人，分配方法的種數(shù)為.（5）先從6本書中選4本，有種分配方法，再?gòu)氖Ｓ嗟?本書中選1本，有種分配方法，最后還剩1本書，因?yàn)樵谧詈?本書的選擇中發(fā)生了重復(fù)，所以總共有（種）分配方法.（6）結(jié)合（5）可知，將這三份書分別分給甲?乙?丙三人，則分配方法共有（種）.（7）完成該事件，分三步，甲選1本，有種選法，乙從余下的5本書中選1本，有種選法，余下的4本書留給丙，有（種）選法.故答案為：60；360；15；90；15；90；30題型四排列組合綜合問(wèn)題策略方法（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．【典例1】某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護(hù)人員，醫(yī)護(hù)人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，每人只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都要有人參加，求醫(yī)護(hù)人員甲不參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)的選法種數(shù)；(2)這6名醫(yī)護(hù)人員將去3個(gè)不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個(gè)地方，求不同的分配方案種數(shù)．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分類，按甲是否參加活動(dòng)分兩類；（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性．【詳解】（1）分兩類：①甲參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，再?gòu)钠溆?人中選一人參加A，選法數(shù)為，②甲不參加救護(hù)活動(dòng)，則從其余5人中任選兩人參加救護(hù)活動(dòng)，選法數(shù)為，所以共有選法種數(shù)為20+5=25；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護(hù)人員有：，第二步：安排兩名女醫(yī)護(hù)人員同去的男醫(yī)護(hù)人員有：，第三步：剩余兩名男性醫(yī)護(hù)人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數(shù)為：．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語(yǔ)言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能負(fù)責(zé)語(yǔ)言服務(wù)工作，則不同的選法共有（

）A．248種 B．252種 C．256種 D．288種【答案】B【分析】先選能擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)的人員，再選能擔(dān)任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作的人員，最后根據(jù)分步計(jì)算原理即可得答案.【詳解】先從甲、乙之外的6人中選取1人負(fù)責(zé)語(yǔ)言服務(wù)工作，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選取2人負(fù)責(zé)人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.故選：B.2．在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù).小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．120【答案】A【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解．【詳解】如果排列時(shí)要求兩個(gè)8相鄰，兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8捆綁看作一個(gè)元素與7，1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)2插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2，兩個(gè)8均為相同元素，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有.故選：A．3．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排1人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排2人，且甲、乙兩人被安排在同一個(gè)艙內(nèi)，則共有（

）種方案．A．3 B．6 C．30 D．60【答案】B【分析】先考慮天和核心艙，然后再考慮剩下的兩個(gè)艙即可.【詳解】先除甲、乙外的3名航天員中挑1人到天和核心艙有種情況，然后剩下的2名航天員一組，甲乙一組分配到剩下的兩個(gè)艙有種情況，所以共有.故選：B.4．五一期間，小丁，小趙，小陳，小吳四人計(jì)劃到溧陽(yáng)天目湖，金壇茅山，春秋樂(lè)園三地旅游，每人只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少有一人去，且小丁不去溧陽(yáng)天目湖，則不同的旅游方案共有（

）A．18種 B．12種 C．36種 D．24種【答案】D【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理，分小丁單獨(dú)旅游與小丁與他人一起旅游兩種情況，根據(jù)分組分配的解題思路，可得答案.【詳解】第一種情況：當(dāng)小丁獨(dú)自去旅游，從金壇茅山、春秋樂(lè)山中選一個(gè)，其方法數(shù)為；小趙、小陳、小吳三人去另外兩個(gè)地方旅游，利用分組分配的思路，可得方法數(shù)為；則該情況下，總的方法數(shù)為.第二種情況：當(dāng)小丁與他人組隊(duì)去旅游，再?gòu)慕饓┥健⒋呵飿?lè)山中選一個(gè)，其方法數(shù)為，其他兩人去另外兩個(gè)地方，其方法數(shù)為，則該情況下，總的方法數(shù)為.故不同的旅游方法共有種.故選：D.5．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日在杭州開(kāi)幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報(bào)名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個(gè)場(chǎng)館的各一個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目．若甲不能參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】C【分析】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，再安排另外兩個(gè)項(xiàng)目，利用排列、組合知識(shí)計(jì)算求解．【詳解】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，再安排另外兩個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有種．故選：C.?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（

）A．24種 B．60種 C．96種 D．240種【答案】B【分析】依題意，有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，分有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)和只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)這兩種情況討論，結(jié)合排列組合的原理計(jì)算.【詳解】5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，已知同學(xué)選擇浙江大學(xué)，當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共種選法；當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共種選法；所以同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有種.故選：B7．端午節(jié)三天假期中每天需安排一人值班，現(xiàn)由甲?乙?丙三人值班，且每人至多值班兩天，則不同的安排方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．42種【答案】B【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】若甲乙丙三人每人值班一天，則不同安排方法有種.若三人中選兩個(gè)人值班，則有種，因此一共有種.故選：B.8．用這6個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中偶數(shù)有個(gè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)排列組合知識(shí)求出，代入可得結(jié)果.【詳解】從中任選一個(gè)數(shù)字排在首位，其余5個(gè)數(shù)字全排可得，排在個(gè)位的無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)有個(gè)，不排在個(gè)位的無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)有個(gè)，故.所以．故選：B9．2023年5月18日至19日，首屆中國(guó)—中亞峰會(huì)在陜西西安成功舉行.峰會(huì)期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)承擔(dān)A，B，C，D共4項(xiàng)翻譯工作，每名同學(xué)需承擔(dān)1項(xiàng)翻譯工作，每項(xiàng)翻譯工作至少需要1名同學(xué)，則不同的安排方法有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．4種【答案】B【分析】先用捆綁法分組，再排列求解即可；【詳解】首先把5名同學(xué)轉(zhuǎn)化成4組，然后分給4項(xiàng)翻譯工作，第一步：從5名同學(xué)中任意取出2名捆綁成1組，有種方法；第二步：再把4組分給4項(xiàng)翻譯工作，有種方法，由乘法原理，共有(種)方法；故選：B.10．杭州亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目，共設(shè)杭州賽區(qū)、寧波賽區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū)，現(xiàn)需從6名管理者中選取4人分別到溫州，金華、紹興、湖州四個(gè)賽區(qū)負(fù)責(zé)志愿者工作，要求四個(gè)賽區(qū)各有一名管理者，且6人中甲不去溫州賽區(qū)，乙不去金華賽區(qū)，則不同的選擇方案共有（

）A．108種 B．216種 C．240種 D．252種【答案】D【分析】根據(jù)題意，分為：甲乙都未選中、甲選中且乙未選中、甲未選中且乙選中和甲乙都選中，四類情況討論，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為四類：①當(dāng)甲乙都未選中，則不同的選擇方案有種；②當(dāng)甲選中，乙未選中，則不同的選擇方案有種；③當(dāng)甲未選中，乙選中，則不同的選擇方案有種；④當(dāng)甲乙都選中，則由中選法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金華賽區(qū)，則有；若甲未去金華賽區(qū)，則有，則不同的安排方案有種，由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的安排方案.故選：D.11．某班團(tuán)支部換屆選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中選出三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，并且規(guī)定：上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職結(jié)果有（

）.A．15 B．11 C．14 D．23【答案】B【分析】利用正難則反的方法，求出總的方法數(shù)，利用分類討論的方法，分一、二、三個(gè)職位連任，可得答案.【詳解】四人中選出三人分別任職三個(gè)不同的崗位，其方法數(shù)為，三個(gè)職位中有一位連任，假設(shè)上屆任職的甲、乙、丙三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，假設(shè)甲連任書記，副書記可選的人選分別為丙和丁，當(dāng)丁擔(dān)任了副書記，則組織委員只能選乙；當(dāng)丙擔(dān)任了副書記，則組織委員只能選乙和丁，故其方法數(shù)為；三個(gè)職位中有兩位連任，其方法數(shù)為；三個(gè)職位中三位都連任，其方法數(shù)為1.故符合題意的方法數(shù)為.故選：B.12．教育扶貧是我國(guó)重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，為了縮小教育資源的差距，國(guó)家鼓勵(lì)教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個(gè)學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有（

）種A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分類分步計(jì)數(shù)原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個(gè)學(xué)校去，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，第一類：各組人數(shù)分別為1，1，3，共有種分法；第二類：各組人數(shù)分別為1，2，2，共有種分法，再將三組人員分配到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去，共有種，所以不同的選派方法共有種.故選：D13．廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門經(jīng)濟(jì)特區(qū)紀(jì)念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護(hù)中心、破獄斗爭(zhēng)陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個(gè)館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個(gè)館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種【答案】A【分析】分為鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選一個(gè)和兩個(gè)，兩種情況分開(kāi)求解即可得出答案.【詳解】若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選一個(gè)：種，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選二個(gè)：種，故若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有種方案.故選：A.14．由1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．120種 B．108種 C．96種 D．72種【答案】B【分析】利用全部不相鄰的奇數(shù)中去掉2在第二位的情況，即可利用不相鄰問(wèn)題插空法求解.【詳解】1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，先排3個(gè)偶數(shù)，然后把3個(gè)奇數(shù)插入即可，共有個(gè)，若2在第二位，則第一位一定為奇數(shù)，則從3個(gè)奇數(shù)中選擇一個(gè)放在第一位上，此時(shí)還剩下2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)安排在后四位上，則先排2個(gè)偶數(shù)，然后把剩下2個(gè)奇數(shù)插空即可，此時(shí)共有個(gè)，因此符合條件的六位數(shù)有個(gè)，故選：B15．如圖，某單位計(jì)劃在辦公樓前的一個(gè)花壇的A、B、C、D四個(gè)區(qū)域重新種花.現(xiàn)有紅、藍(lán)、黃、白四種顏色的花可選擇，一個(gè)區(qū)域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能種同一種顏色的花，則共有（

）種不同的種植方案.A．36 B．48 C．72 D．84【答案】D【分析】考慮選用兩種顏色的花，三種顏色的花，四種顏色的花，利用排列組合知識(shí)求出答案后相加即可.【詳解】若選用兩種顏色的花，則有種選擇，選擇的兩種顏色的花種在對(duì)角位置，有兩種選擇，故共有種選擇，若選用三種顏色的花，則有種選擇，必有一個(gè)對(duì)角位置使用同種顏色的花，先選擇一個(gè)對(duì)角，再?gòu)娜N顏色的花中選擇一種，有種選擇，另外的對(duì)角位置選擇不同位置的花，有種選擇，共有種選擇，若選用四種顏色的花，則有種選擇，綜上：共有種選擇.故選：D16．口袋里有紅黃藍(lán)綠的小球各四個(gè)，這些球除了顏色之外完全相同，現(xiàn)在從口袋里任意取出四個(gè)小球，則不同的方法有（

）種.A．48 B．77 C．35 D．39【答案】C【分析】根據(jù)題意可將取出的球分為有一種、二種、三種、四種顏色分類，然后再求出各種情況有多少種，分類相加即可求解.【詳解】根據(jù)條件，取出的四個(gè)球可以分為一種，兩種，三種，四種顏色，當(dāng)取出的球只有一種顏色時(shí)：有種；當(dāng)取出的球只有二種顏色時(shí)：有種；當(dāng)取出的球只有三種顏色時(shí)：有種；當(dāng)取出的球只有四種顏色時(shí)：有種；共有：種.故C項(xiàng)正確.故選：C.17．在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù).小明打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求2不排第一個(gè)，兩個(gè)8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．36 C．32 D．30【答案】B【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在第一位；②不排在第一位

.由加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①排在第一位，則第二位也是，再?gòu)氖Ｏ聜€(gè)位置選出個(gè)，安排兩個(gè)，最后安排和，此時(shí)有個(gè)不同的密碼；②不排成第一位，則第一位安排或，將兩個(gè)看成一個(gè)整體，與兩個(gè)和7或中剩下的數(shù)排列，此時(shí)有個(gè)不同的密碼；則一有個(gè)不同的密碼.故選：二、多選題18．從1，2，3，4，6中任取若干數(shù)字組成新的數(shù)字，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為125B．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為375C．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為70D．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為72【答案】ABD【分析】AB選項(xiàng)利用分步乘法原理計(jì)算即可，CD選項(xiàng)利用排列組合和特殊優(yōu)先的原則計(jì)算即可.【詳解】A選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B正確；C選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：ABD.19．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則()A．課程“射”“御”排在前兩周，共有24種排法B．某學(xué)生從中選5門，共有6種選法C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在后三周，共有36種排法D．課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先法，判斷ACD；利用組合的應(yīng)用判段；【詳解】先把課程“射”“御”排在前兩周共種，再排其他四門共，所以共種排法，故A錯(cuò)誤；6門中選5門共有種，故B正確；課程“禮”“書”“數(shù)”排在后三周，共有種排法，故C正確；課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確.故選：BCD.20．現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的有（

）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，分步乘法計(jì)數(shù)原理即可判斷.對(duì)于B、C，利用排列組合的應(yīng)用，即可判斷.對(duì)于D，利用分組分配知識(shí)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，根據(jù)題意，分2種情況需要討論：①?gòu)谋?丁?戊中選出2人開(kāi)車，②從丙?丁?戊中選出1人開(kāi)車，則有種安排方法，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于D，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種安排方法，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.21．某校計(jì)劃安排五位老師（包含甲、乙）擔(dān)任周一至周四的值班工作，每天都有老師值班，且每人最多值班一天，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若周一必須安排兩位老師，則不同的安排方法共有60種B．若甲、乙均值班且必須排在同一天值班，則不同的安排方法共有48種C．若五位老師都值班一天，則不同的安排方法共有240種D．若每天恰有一位老師值班，且如果甲乙均值班，則甲必須在乙之前值班的不同的安排方法共有84種【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用排列、組合，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理逐項(xiàng)列式求解作答.【詳解】對(duì)于A，周一必須安排兩位老師，從5位老師中取兩位周一值班，余下3位全排列，不同的安排方法有種，A正確；對(duì)于B，甲、乙均值班且在同一天，與余下3位一起的4個(gè)元素全排列，不同的安排方法共有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，五位老師都值班一天，則有兩位老師在同一天值班，不同的安排方法有種，C正確；對(duì)于D，顯然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外還有兩位老師各值班一天，甲必須在乙之前值班的不同安排方法有種，D錯(cuò)誤.故選：AC22．現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子和4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球，要求把4個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沒(méi)有空盒子的方法共有24種B．可以有空盒子的方法共有128種C．恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有144種D．沒(méi)有空盒子且恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒子的方法有8種【答案】ACD【分析】對(duì)于A：沒(méi)有空盒則全排列，求解即可；對(duì)于B：有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法，此時(shí)隨意放，盒子可以空也可以全用完，求解即可；對(duì)于C：恰有1個(gè)空盒，說(shuō)明另外3個(gè)盒子都有球，而球共4個(gè)，必然有一個(gè)盒子中放了2個(gè)球，求解即可；對(duì)于D：沒(méi)有空盒子且恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，從4個(gè)盒4個(gè)球中選定一組標(biāo)號(hào)相同的球和盒，另外3個(gè)球3個(gè)盒標(biāo)號(hào)不能對(duì)應(yīng)