專題29 圓錐曲線的軌跡問題5種常見考法歸類（解析版）

專題29圓錐曲線的軌跡問題5種常見考法歸類一、求動點軌跡方程的一般步驟——“五步到位法”建（建立適當?shù)淖鴺讼担?；設（設軌跡上的動點為）；列（列出動點所滿足的條件式）；代（依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為的方程式）；化（化簡所得的方程）．這就是通常所說的“建系、設點、列式、代換、化簡”等步聚．從理論上講，我們還應證明所得軌跡的完備性及純粹性，其實推導方程的過程便是完備性的證明，而純粹性的證明常略去，值得強調(diào)的是：既然論證略去了，那么我們必須考慮曲線上哪些點不合條件應除掉，通常運用限制方程中的取值范圍的方法，還要指出的是，如果所求軌跡曲線不完備，那么也要運用條件分析、挖掘將其補上．二、解軌跡問題注意：（1）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗證曲線上的點是否都滿足方程，以方程解為坐標點是否都在曲線上，補上在曲線上而不滿足方程解得點，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點.三、求動點軌跡方程的基本方法求動點軌跡方程的基本思想方法是，藉助于坐標法．使幾何的點集與代數(shù)的方程對應起來．因此它的實質是形數(shù)對應、形數(shù)結合與轉化的思想方法的一個具體的應用．求軌跡方程的方法比較多，但從宏觀上說不外乎兩個途徑：一是利用平面幾何知識和圓錐曲線的定義，這類題目對計算的要求不髙，主要考查觀察、聯(lián)想的能力；二是利用代數(shù)的方法通過消參數(shù)得出軌跡方程，計算、對式子的變形是解決問題的關鍵．根據(jù)動點的不同的運動性質和規(guī)律，常用的解題方法有：1、直接法求動點的軌跡方程（1）定義如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．（2）直接法求動點軌跡方程的一般步驟為：①建系,建立適當?shù)淖鴺讼?；②設點,設軌跡上的任一點P(x，y)；③列式,列出動點P所滿足的關系式；④代換,依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.2、定義法求曲線軌跡方程若某動點的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓、圓錐曲線的定義，則可以利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義等直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．注：常見情形（1）到線段兩端點相等的點的軌跡是該線段的垂直平分線．（2）到角的兩邊相等的點的軌跡是該角的平分線及外角平分線．（3）平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑．（4）平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：①若a>c,則集合P為橢圓；②若a＝c,則集合P為線段；③若a<c,則集合P為空集．（5）平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當2a<|F1F2|時,P點的軌跡是雙曲線；②當2a＝|F1F2|時,P點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線；③當2a>|F1F2|時,P點不存在．（6）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．注意：①定直線l不經(jīng)過定點F.②定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.（7）一般涉及到動圓與兩定圓相切問題(包括內(nèi)切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動圓半徑r。（8）如圖，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O、A為焦點，r為長軸長的橢圓。（9）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線和直線OP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O、A為焦點，r為實軸長的雙曲線。(10)已知定點F和定直線，F(xiàn)不在直線上，動圓M過F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。(11)平面內(nèi)與一定點和一條定直線（不經(jīng)過點）距離之比對于常數(shù)的動點的軌跡是圓錐曲線．當時為橢圓；當時為雙曲線；當時為拋物線．其中，定點叫做圓錐曲線的焦點，定直線叫做圓錐曲線的準線．3、相關點法求曲線軌跡方程若動點的變動依賴于另一動點，而在某已知曲線（或具有某種規(guī)律的圖形）上（這時把從動點叫做軌跡動點，主動點叫做點的相關點），求出關系式（*），并代入方程，得所求軌跡（或軌跡所在曲線）方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法，又叫代入法、代換法或轉移法．這是求軌跡方程的一種常用的重要方法．此法的關鍵是，構建用軌跡動點的坐標表示其相關點的坐標（即向的轉移）的關系式（*）．注：“相關點法”求軌跡方程的基本步驟一般分為三步：第一步，設所求軌跡的點，曲線上的動點；第二步，找出與的關系，由表示，即；第三步，滿足已知的曲線方程，將代人，消去參數(shù)．對于不符合條件的點要注意取舍．而從動點的坐標來表達主動點的坐標的方法較多，一般采用以下幾種方法進行轉移：①利用定義；②利用參數(shù)；③利用向量；④利用相關公式；⑤利用對稱知識等．下面舉例說明．4、參數(shù)法求曲線軌跡方程有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點的橫縱坐標等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響．注：1、參數(shù)法求動點的軌跡方程一般步驟（1）選擇坐標系，設動點坐標；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．2、參數(shù)法求動點的軌跡方程應用舉例利用參數(shù)求動點軌跡方程，關鍵是如何合理地選擇參數(shù)，以及使用參數(shù)求動點軌跡方程還應注意哪些問題題．（1）如何選擇參數(shù)求動點軌邊方程利用參數(shù)是求動點軌跡的重要方法，而參數(shù)選擇的恰當與否，直接影響著解題速度和解題質量．若考察軌跡上點的變動因素，通?？扇↑c的坐標或角度或有向線段作為參數(shù)；若所求的軌跡上的點可看作經(jīng)過某定點的直線束上的點，常以直線束的斜率為參數(shù)．（2）選擇參數(shù)的幾點注意事項：①點的坐標、角、直線斜率等均可選作參數(shù)，且選擇的參數(shù)越少越好；②所選參數(shù)最好能表示所有與動點有關的點的坐標或直線方程；③若選擇了一個參數(shù)，則必須且只需列兩個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點軌跡方程；若選擇了兩個參數(shù)，則必須且只需列三個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點軌跡方程；也就是說，若選擇了個參數(shù)，則必須且只需列個方程，然后消去這個參數(shù)，即可得到動點軌跡方程．5、交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點是兩曲線的交點,可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點坐標的參數(shù)方程,再化為普通方程.注：（1）求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法運用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程，關鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去．怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？如果動點影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動點為參數(shù)．如果動直線的斜率影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線的斜率為參數(shù)．如果動直線在軸上的截距影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線在軸上的截距為參數(shù)．如果動直線的傾斜角影響動點成跡，起制約作用，那么就選取動直線的傾斜角為參數(shù)考點一直接法求曲線軌跡方程考點二定義法求曲線軌跡方程考點三相關點法求曲線軌跡方程考點四參數(shù)法求曲線軌跡方程考點五交軌法求曲線軌跡方程考點一直接法求曲線軌跡方程1．（2023·廣東廣州·高二期末）已知的周長為，頂點、的坐標分別為、，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.2．2023·湖北黃岡·高二期末）在平面直角坐標系中，點B與點關于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于，求動點P的軌跡方程.【答案】【分析】求得點坐標，設出點坐標，根據(jù)直線與的斜率之積等于列方程，化簡后求得動點P的軌跡方程.【詳解】點B與點關于原點O對稱，所以.設點P的坐標為.由題意得，化簡得，故動點P的軌跡方程為.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查點關于原點對稱點的求法，屬于基礎題.3．（2023·貴州貴陽·高二期末（文））平面直角坐標系內(nèi)動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點M的軌跡是___________．【解析】動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得．所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓．故答案為：．4．（2023·河北邯鄲·高二期末）已知動點Q到點的距離與到直線的距離之比為，Q點的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知，，A，B為曲線C上異于M，N的兩點，直線，相交于點T，點T在直線上，問直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標：若不過定點，請說明理由.【解析】(1)設，則，化簡，得，∴曲線C的方程為.(2)設，，則，，∴，，，.①當直線垂直于y軸時，由對稱性可知，直線，交于y軸，不合題意，舍去.②當直線不垂直于y軸時，設直線的方程為.聯(lián)立，得.依題意，，.∴，，∴.又，，∴直線的方程為，直線的方程為.依題意，設.∵點T為直線，的交點，∴，∴，即，，又∵，∴，化簡，得.又滿足，直線的方程為，∴直線過定點.5．（2023·吉林·吉化第一高級中學校高二期末）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，，求點的軌跡方程.【答案】．【分析】設，由，得，再由，得到，即可求解點的軌跡方程.【詳解】設，則，……①，…②由①②可知，點的軌跡方程為.6．（2023·山東臨沂·高二期末）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】（1）設P（x，y），M（）,則N（），由得.因為M（）在C上，所以.因此點P的軌跡為.由題意知F（1,0），設Q（3，t），P（m，n），則，.由得3m+tn=1，又由（1）知，故3+3mtn=0.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.點睛:定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).7．（2023·江蘇常州·高二期中）在平面直角坐標系中，已知點，直線：，動點P到點F的距離是到直線的距離的，點P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點M是曲線C上異于A、B的任意一點，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設直線AM與直線交于點N，求證：.【解析】（1）設，因為動點P到點F的距離是到直線的距離的，故可得，化簡得，即，故曲線的方程為.（2）①設，則，即故.②設，且在軸的上方時，若，不妨取，滿足曲線的方程，則方程為，則，此時，又，故；若不垂直于，設，，則由，得，又直線的方程為：，聯(lián)立可得：，故，則，又，則，又，，故即；當點在軸的下方時，根據(jù)對稱性，顯然也滿足；綜上：得證.考點二定義法求曲線軌跡方程8．（2023·四川·高二期末（文））若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A9．（2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知圓：，：，動圓C與圓，都相切，則動圓C的圓心軌跡E的方程為；斜率為的直線l與曲線E僅有三個公共點，依次為P，Q，R，則的值為.【答案】，【分析】根據(jù)動圓與圓，的位置關系，分情況討論可知動圓C的圓心軌跡為橢圓，然后計算即可，然后假設直線方程，根據(jù)直線于曲線E的位置關系以及弦長公式，可得結果.【詳解】設動圓的半徑為由題可知：當動圓C與圓外切，與圓內(nèi)切時則所以可知動圓圓心軌跡為橢圓所以，故所以動圓C的圓心軌跡E的方程為當動圓C與圓內(nèi)切，與圓內(nèi)切時則所以可知動圓圓心軌跡為橢圓所以，故所以動圓C的圓心軌跡E的方程為所以動圓C的圓心軌跡E的方程為，設直線l方程為，由直線l與曲線E僅有三個公共點則直線l與相切于點Q，與相交于點P,R所以則則則，把代入可得故答案為：，；【點睛】本題考查橢圓的定義，以及弦長公式，考驗分析問題能力以及計算能力，屬中檔題.10．（2023·福建福州·高二期末）動圓M與圓：，圓：，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【解析】圓：，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.設，半徑為，因為動圓與圓，都外切，所以，所以的軌跡為以為焦點，的雙曲線左支.所以，，解得，即的軌跡方程為：.故選：D11．（2023·天津河北·高二期末）已知圓：，圓：，動圓C與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程(2)點（）為軌跡E上的點，過點P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意得，.設動圓圓心C的坐標為，半徑為r，則，.從而.∴動圓圓心C的軌跡E是焦點為，，長軸長等于4的橢圓，且，.又，得，∴動圓圓心C的軌跡E的方程為.(2)由（1）可得.設直線PA的方程為則直線PB的方程為.設，.由消去y，整理得，則，即.（1）同理可得.（2）∴.將（1）（2）代入上式，化簡得.故直線AB的斜率為定值.12．（2023·山東聊城·高二期末）已知為圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，過點作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點，過點作直線的垂線，垂足為點，是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意得：圓，則圓心，半徑；設中點為，則為線段的垂直平分線，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，，點軌跡方程為：；(2)①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設直線，由得：，設直線與曲線交于，，則，，；，直線，同理可得：，，設直線與軸交于點，則當直線斜率存在時，由得：，，即直線恒過點；當直線斜率不存在時，由得：，則，則直線恒過點；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過；綜上所述：直線恒過點；，在以中點為圓心，為直徑的圓上，若，則為定值；存在點，使得為定值.13．（2023·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】如圖設與圓的切點分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．14．（2023·山東·日照青山學校高二期末）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.求的方程；【解析】因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.15.（2023·全國·高二專題練習）已知曲線上的點到點的距離比它到直線的方程；【解析】解法一：設為曲線上任意一點，依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.解法二：設為曲線上任意一點，則，依題意，點只能在直線的上方，所以，所以，化簡得，曲線的方程為.16.（2023·全國·高二專題練習）在直角坐標系中，已知點A，B分別是定直線和上的動點，若的面積為定值S，則線段的中點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】設，由于的面積為定值，可得出為定值，設，設線段的中點為M，因為，即可得出線段的中點的軌跡為雙曲線.【詳解】設，則.由于的面積為定值且為定值，從而為定值，設.設線段的中點為M，則，，故為定值，從而線段的中點的軌跡為雙曲線.故選：C.考點三相關點法求曲線軌跡方程17．（2023·遼寧沈陽·高二期末）已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______．【解析】設，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：18．（2023·湖北·十堰市教育科學研究院高二期末）已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足，動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點作動直線的平行線交軌跡于兩點，則是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.【答案】（1）

（2）為定值，定值為1【解析】（1）利用平面向量坐標的線性運算化簡.結合列方程，化簡后求得動點的軌跡方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和，寫出判別式和韋達定理，利用弦長公式求得.求得直線的方程，與聯(lián)立，由此求得.由此計算出為定值.【詳解】（1）因為，即，所以，，則，又，所以，即，所以動點的軌跡方程為.（2）易知直線不與軸重合，可設直線的方程為，由，得，，設，則有，，，即，由，可知直線的方程為，由，得，則，故，綜上，為定值，且定值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19．（2023·云南普洱·高二期末（理））設動點是圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，若點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.【解析】(1)解：依題意，由知，點是線段的中點，設，則，，又點在圓上，所以，即，所以點的軌跡的方程為：；(2)解：由題意，設直線的方程為，，，由，得，即，所以，則，所以，所以，而到的距離，所以，設，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為1，此時直線的方程為或，即或.20.（2023·全國·高二專題練習）曲線關于點對稱的曲線方程為．【答案】【分析】設為曲線上的點，其關于點對稱的點為，進而得，再代入即可得答案.【詳解】解：設為曲線上的點，其關于點對稱的點為，所以，，即，由于，所以，，即.故答案為：21.（2023·全國·高二專題練習）已知的頂點，，頂點A在拋物線上運動，則的重心G的軌跡方程為．【答案】【分析】先設出，的坐標，，根據(jù)重心坐標公式可得出關系式，再利用頂點A在拋物線上運動，代入即可得到軌跡方程。【詳解】設，．由點G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．故答案為：考點四參數(shù)法求曲線軌跡方程22．（2023·全國·高二專題練習）如圖，設點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【解析】設，的斜率分別為．所以由，得由點在上，得直線方程由，得直線方程設點，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因為是原點以外的兩點，所以．所以點M的軌跡方程為，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標原點．23．（2023·全國·高二專題練習）過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程．【解析】設直線的斜率為，則直線的斜率為．∵直線OA的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，同理可得．由中點坐標公式得，即，消去得∴點的軌跡方程為24.（2023·全國·高二專題練習）已知定點和拋物線，若過點P的直線l與拋物線有兩個不同的交點A、B，求線段AB的中點M的軌跡方程．【答案】（或）【分析】由題意，設出點的坐標以及直線方程，聯(lián)立方程，由根的判別式以及韋達定理，表示出中點坐標，消去斜率，可得答案.【詳解】設點M的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為．顯然，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為，由，得：，，解得：或，則，，而，因此點M的坐標為，，消去參數(shù)k，得：．由或，得：或．綜上，點M的軌跡方程（或）．25.（2023·全國·高二專題練習）已知點，，為直線上的兩個動點，且，動點滿足，（其中為坐標原點），求動點的軌跡的方程．【答案】【分析】根據(jù)題意將動點的坐標設出，垂直轉化為對應的向量數(shù)量積為0，再轉化平行條件從而得到動點的軌跡方程.【詳解】