專題29 圓錐曲線的軌跡問題5種常見考法歸類（解析版）

專題29圓錐曲線的軌跡問題5種常見考法歸類一、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟——“五步到位法”建（建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系）；設(shè)（設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為）；列（列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件式）；代（依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式）；化（化簡所得的方程）．這就是通常所說的“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡”等步聚．從理論上講，我們還應(yīng)證明所得軌跡的完備性及純粹性，其實(shí)推導(dǎo)方程的過程便是完備性的證明，而純粹性的證明常略去，值得強(qiáng)調(diào)的是：既然論證略去了，那么我們必須考慮曲線上哪些點(diǎn)不合條件應(yīng)除掉，通常運(yùn)用限制方程中的取值范圍的方法，還要指出的是，如果所求軌跡曲線不完備，那么也要運(yùn)用條件分析、挖掘?qū)⑵溲a(bǔ)上．二、解軌跡問題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).三、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本思想方法是，藉助于坐標(biāo)法．使幾何的點(diǎn)集與代數(shù)的方程對(duì)應(yīng)起來．因此它的實(shí)質(zhì)是形數(shù)對(duì)應(yīng)、形數(shù)結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法的一個(gè)具體的應(yīng)用．求軌跡方程的方法比較多，但從宏觀上說不外乎兩個(gè)途徑：一是利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線的定義，這類題目對(duì)計(jì)算的要求不髙，主要考查觀察、聯(lián)想的能力；二是利用代數(shù)的方法通過消參數(shù)得出軌跡方程，計(jì)算、對(duì)式子的變形是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的不同的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和規(guī)律，常用的解題方法有：1、直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（1）定義如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．（2）直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟為：①建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；③列式,列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；④代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.2、定義法求曲線軌跡方程若某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓、圓錐曲線的定義，則可以利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義等直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．注：常見情形（1）到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線．（2）到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線．（3）平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑．（4）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：①若a>c,則集合P為橢圓；②若a＝c,則集合P為線段；③若a<c,則集合P為空集．（5）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在．（6）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：①定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.②定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.（7）一般涉及到動(dòng)圓與兩定圓相切問題(包括內(nèi)切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動(dòng)圓半徑r。（8）如圖，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓。（9）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和直線OP交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線。(10)已知定點(diǎn)F和定直線，F(xiàn)不在直線上，動(dòng)圓M過F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。(11)平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）距離之比對(duì)于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．當(dāng)時(shí)為橢圓；當(dāng)時(shí)為雙曲線；當(dāng)時(shí)為拋物線．其中，定點(diǎn)叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做圓錐曲線的準(zhǔn)線．3、相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程若動(dòng)點(diǎn)的變動(dòng)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)，而在某已知曲線（或具有某種規(guī)律的圖形）上（這時(shí)把從動(dòng)點(diǎn)叫做軌跡動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)叫做點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)），求出關(guān)系式（*），并代入方程，得所求軌跡（或軌跡所在曲線）方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法，又叫代入法、代換法或轉(zhuǎn)移法．這是求軌跡方程的一種常用的重要方法．此法的關(guān)鍵是，構(gòu)建用軌跡動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示其相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（即向的轉(zhuǎn)移）的關(guān)系式（*）．注：“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟一般分為三步：第一步，設(shè)所求軌跡的點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)；第二步，找出與的關(guān)系，由表示，即；第三步，滿足已知的曲線方程，將代人，消去參數(shù)．對(duì)于不符合條件的點(diǎn)要注意取舍．而從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法較多，一般采用以下幾種方法進(jìn)行轉(zhuǎn)移：①利用定義；②利用參數(shù)；③利用向量；④利用相關(guān)公式；⑤利用對(duì)稱知識(shí)等．下面舉例說明．4、參數(shù)法求曲線軌跡方程有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，解距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時(shí)，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響．注：1、參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一般步驟（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時(shí)要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．2、參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)用舉例利用參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，關(guān)鍵是如何合理地選擇參數(shù)，以及使用參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程還應(yīng)注意哪些問題題．（1）如何選擇參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌邊方程利用參數(shù)是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法，而參數(shù)選擇的恰當(dāng)與否，直接影響著解題速度和解題質(zhì)量．若考察軌跡上點(diǎn)的變動(dòng)因素，通?？扇↑c(diǎn)的坐標(biāo)或角度或有向線段作為參數(shù)；若所求的軌跡上的點(diǎn)可看作經(jīng)過某定點(diǎn)的直線束上的點(diǎn)，常以直線束的斜率為參數(shù)．（2）選擇參數(shù)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：①點(diǎn)的坐標(biāo)、角、直線斜率等均可選作參數(shù)，且選擇的參數(shù)越少越好；②所選參數(shù)最好能表示所有與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程；③若選擇了一個(gè)參數(shù)，則必須且只需列兩個(gè)方程，然后消去參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；若選擇了兩個(gè)參數(shù)，則必須且只需列三個(gè)方程，然后消去參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；也就是說，若選擇了個(gè)參數(shù)，則必須且只需列個(gè)方程，然后消去這個(gè)參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．5、交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.注：（1）求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動(dòng)曲線方程，關(guān)鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去．怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動(dòng)曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？如果動(dòng)點(diǎn)影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)點(diǎn)為參數(shù)．如果動(dòng)直線的斜率影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的斜率為參數(shù)．如果動(dòng)直線在軸上的截距影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線在軸上的截距為參數(shù)．如果動(dòng)直線的傾斜角影響動(dòng)點(diǎn)成跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的傾斜角為參數(shù)考點(diǎn)一直接法求曲線軌跡方程考點(diǎn)二定義法求曲線軌跡方程考點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程考點(diǎn)四參數(shù)法求曲線軌跡方程考點(diǎn)五交軌法求曲線軌跡方程考點(diǎn)一直接法求曲線軌跡方程1．（2023·廣東廣州·高二期末）已知的周長為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.2．2023·湖北黃岡·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】【分析】求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線與的斜率之積等于列方程，化簡后求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意得，化簡得，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題.3．（2023·貴州貴陽·高二期末（文））平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是___________．【解析】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點(diǎn)的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得．所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓．故答案為：．4．（2023·河北邯鄲·高二期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，Q點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知，，A，B為曲線C上異于M，N的兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)T，點(diǎn)T在直線上，問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)設(shè)，則，化簡，得，∴曲線C的方程為.(2)設(shè)，，則，，∴，，，.①當(dāng)直線垂直于y軸時(shí)，由對(duì)稱性可知，直線，交于y軸，不合題意，舍去.②當(dāng)直線不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，得.依題意，，.∴，，∴.又，，∴直線的方程為，直線的方程為.依題意，設(shè).∵點(diǎn)T為直線，的交點(diǎn)，∴，∴，即，，又∵，∴，化簡，得.又滿足，直線的方程為，∴直線過定點(diǎn).5．（2023·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】．【分析】設(shè)，由，得，再由，得到，即可求解點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，……①，…②由①②可知，點(diǎn)的軌跡方程為.6．（2023·山東臨沂·高二期末）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因?yàn)镸（）在C上，所以.因此點(diǎn)P的軌跡為.由題意知F（1,0），設(shè)Q（3，t），P（m，n），則，.由得3m+tn=1，又由（1）知，故3+3mtn=0.所以，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).7．（2023·江蘇常州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點(diǎn)M是曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設(shè)直線AM與直線交于點(diǎn)N，求證：.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，故可得，化簡得，即，故曲線的方程為.（2）①設(shè)，則，即故.②設(shè)，且在軸的上方時(shí)，若，不妨取，滿足曲線的方程，則方程為，則，此時(shí)，又，故；若不垂直于，設(shè)，，則由，得，又直線的方程為：，聯(lián)立可得：，故，則，又，則，又，，故即；當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，顯然也滿足；綜上：得證.考點(diǎn)二定義法求曲線軌跡方程8．（2023·四川·高二期末（文））若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A9．（2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知圓：，：，動(dòng)圓C與圓，都相切，則動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為；斜率為的直線l與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為P，Q，R，則的值為.【答案】，【分析】根據(jù)動(dòng)圓與圓，的位置關(guān)系，分情況討論可知?jiǎng)訄AC的圓心軌跡為橢圓，然后計(jì)算即可，然后假設(shè)直線方程，根據(jù)直線于曲線E的位置關(guān)系以及弦長公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為由題可知：當(dāng)動(dòng)圓C與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)則所以可知?jiǎng)訄A圓心軌跡為橢圓所以，故所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為當(dāng)動(dòng)圓C與圓內(nèi)切，與圓內(nèi)切時(shí)則所以可知?jiǎng)訄A圓心軌跡為橢圓所以，故所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為，設(shè)直線l方程為，由直線l與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)則直線l與相切于點(diǎn)Q，與相交于點(diǎn)P,R所以則則則，把代入可得故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，以及弦長公式，考驗(yàn)分析問題能力以及計(jì)算能力，屬中檔題.10．（2023·福建福州·高二期末）動(dòng)圓M與圓：，圓：，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【解析】圓：，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.設(shè)，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓，都外切，所以，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，的雙曲線左支.所以，，解得，即的軌跡方程為：.故選：D11．（2023·天津河北·高二期末）已知圓：，圓：，動(dòng)圓C與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程(2)點(diǎn)（）為軌跡E上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由題意得，.設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，則，.從而.∴動(dòng)圓圓心C的軌跡E是焦點(diǎn)為，，長軸長等于4的橢圓，且，.又，得，∴動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程為.(2)由（1）可得.設(shè)直線PA的方程為則直線PB的方程為.設(shè)，.由消去y，整理得，則，即.（1）同理可得.（2）∴.將（1）（2）代入上式，化簡得.故直線AB的斜率為定值.12．（2023·山東聊城·高二期末）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由題意得：圓，則圓心，半徑；設(shè)中點(diǎn)為，則為線段的垂直平分線，，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即，，，點(diǎn)軌跡方程為：；(2)①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線，由得：，設(shè)直線與曲線交于，，則，，；，直線，同理可得：，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由得：，，即直線恒過點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由得：，則，則直線恒過點(diǎn)；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過；綜上所述：直線恒過點(diǎn)；，在以中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，若，則為定值；存在點(diǎn)，使得為定值.13．（2023·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】如圖設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．14．（2023·山東·日照青山學(xué)校高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；【解析】因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.15.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的方程；【解析】解法一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.解法二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則，依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，所以，化簡得，曲線的方程為.16.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B分別是定直線和上的動(dòng)點(diǎn)，若的面積為定值S，則線段的中點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】設(shè)，由于的面積為定值，可得出為定值，設(shè)，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，因?yàn)?，即可得出線段的中點(diǎn)的軌跡為雙曲線.【詳解】設(shè)，則.由于的面積為定值且為定值，從而為定值，設(shè).設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則，，故為定值，從而線段的中點(diǎn)的軌跡為雙曲線.故選：C.考點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程17．（2023·遼寧沈陽·高二期末）已知線段AB的長度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為______．【解析】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.故答案為：18．（2023·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作動(dòng)直線的平行線交軌跡于兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.【答案】（1）

（2）為定值，定值為1【解析】（1）利用平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算化簡.結(jié)合列方程，化簡后求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和，寫出判別式和韋達(dá)定理，利用弦長公式求得.求得直線的方程，與聯(lián)立，由此求得.由此計(jì)算出為定值.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以，，則，又，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）易知直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，由，得，，設(shè)，則有，，，即，由，可知直線的方程為，由，得，則，故，綜上，為定值，且定值為1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19．（2023·云南普洱·高二期末（理））設(shè)動(dòng)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，若點(diǎn)在線段上，且滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.【解析】(1)解：依題意，由知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，又點(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡的方程為：；(2)解：由題意，設(shè)直線的方程為，，，由，得，即，所以，則，所以，所以，而到的距離，所以，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為或，即或.20.（2023·全國·高二專題練習(xí)）曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程為．【答案】【分析】設(shè)為曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，進(jìn)而得，再代入即可得答案.【詳解】解：設(shè)為曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，，即，由于，所以，，即.故答案為：21.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則的重心G的軌跡方程為．【答案】【分析】先設(shè)出，的坐標(biāo)，，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得出關(guān)系式，再利用頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，代入即可得到軌跡方程?！驹斀狻吭O(shè)，．由點(diǎn)G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點(diǎn)A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．故答案為：考點(diǎn)四參數(shù)法求曲線軌跡方程22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【解析】設(shè)，的斜率分別為．所以由，得由點(diǎn)在上，得直線方程由，得直線方程設(shè)點(diǎn)，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時(shí)乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因?yàn)槭窃c(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以．所以點(diǎn)M的軌跡方程為，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為．∵直線OA的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，同理可得．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，消去得∴點(diǎn)的軌跡方程為24.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)和拋物線，若過點(diǎn)P的直線l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】（或）【分析】由題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線方程，聯(lián)立方程，由根的判別式以及韋達(dá)定理，表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去斜率，可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為，由，得：，，解得：或，則，，而，因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，消去參數(shù)k，得：．由或，得：或．綜上，點(diǎn)M的軌跡方程（或）．25.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．【答案】【分析】根據(jù)題意將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，垂直轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積為0，再轉(zhuǎn)化平行條件從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】