期末典例專練15：比的應(yīng)用綜合“奧數(shù)思維訓(xùn)練版”-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（解析版）蘇教版

第第頁2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列期末典例專練15：比的應(yīng)用綜合“奧數(shù)思維訓(xùn)練版”[]一、填空題。1．葉平和王軍一共有1020元。若葉平的錢數(shù)增加，王軍的錢數(shù)增加，則兩個(gè)人擁有的錢數(shù)相等。葉平有()元，王軍有()元?！敬鸢浮?80540【分析】先把葉平的錢數(shù)、王軍的錢數(shù)分別看作單位“1”，若葉平的錢數(shù)增加，即現(xiàn)在葉平的錢數(shù)是原來的（1＋）；王軍的錢數(shù)增加，即現(xiàn)在王軍的錢數(shù)是原來的（1＋）；此時(shí)兩人擁有的錢數(shù)相等，即葉平的錢數(shù)×（1＋）＝王軍的錢數(shù)×（1＋），由此得出葉平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)＝（1＋）∶（1＋），化簡(jiǎn)比，求出葉平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)＝8∶9；那么葉平的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的，王軍的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的；把兩人的總錢數(shù)看作單位“1”，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，分別求出兩人各自的錢數(shù)。【詳解】葉平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)＝（1＋）∶（1＋）＝∶＝（×36）∶（×36）＝40∶45＝（40÷5）∶（45÷5）＝8∶9葉平的錢數(shù)：1020×＝480（元）王軍的錢數(shù)：1020×＝540（元）葉平有480元，王軍有540元?！军c(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是先求出兩人的錢數(shù)之比，再根據(jù)按比分配的解題方法，把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義解答。2．圖書館買回一批新圖書，分別放在甲、乙兩個(gè)書架上，甲書架放了這批書的。如果從甲書架拿出150本放到乙書架，那么甲、乙兩個(gè)書架所放書本數(shù)的比是2∶3，這批圖書共有()本?！敬鸢浮?000【分析】把這批書的總本數(shù)看作單位“1”，甲書架放了這批書的，如果從甲書架拿出150本放到乙書架，那么甲、乙兩個(gè)書架所放本書的比是2∶3，即現(xiàn)在甲書架上書的本數(shù)占這批書的；由此可知150本占這批書的（－），單位“1”未知，用除法計(jì)算，即可求出這本批書的總本數(shù)?！驹斀狻?50÷（－）＝150÷（－）＝150÷（－）＝150÷＝150×＝1000（本）這批圖書共有1000本。【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)除法與比的實(shí)際應(yīng)用，把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，找出單位“1”，分析出150本占總本數(shù)的幾分之幾，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義解答。3．有兩塊同樣重的合金，一塊合金中銅與鋅的比是1：5，另一塊合金中銅與鋅的比是2：3，現(xiàn)將兩塊合金合成一塊，新合金中銅與鋅的比是()?！敬鸢浮?7：43【詳解】試題分析：假設(shè)每塊合金重30，那么第一塊中銅占合金的，根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，則銅有30×=5，鋅有30﹣5=25；第二塊中銅占合金的，根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，則銅有30×=12，鋅有30﹣12=18；則合成一塊，銅5+12=17，鋅25+18=43，進(jìn)而求比即可．解：假設(shè)每塊合金重30，1+5=6，2+3=5，（30×+30×）：（30×+30×），=（5+12）：（25+18），=17：43；答：新合金中銅與鋅的比是17：43．故答案為17：43．點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵：先假設(shè)每塊合金重30，進(jìn)而根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，分別求出兩塊合金中鋅和銅的重量，然后求出新合金中鋅和銅的重量，再求比即可．4．有兩組數(shù)，第一組數(shù)的平均數(shù)是13.6，第二組數(shù)的平均數(shù)是10.8，而這兩組數(shù)總的平均數(shù)是12.4，那么，第一組數(shù)的個(gè)數(shù)與第二組數(shù)的個(gè)數(shù)的比值是()?！敬鸢浮?：3【詳解】試題分析：根據(jù)本題中所給的數(shù)量關(guān)系，如果第一組數(shù)和第二組數(shù)的總個(gè)數(shù)為“1”的話，可設(shè)第一組為x，那么第二組就為（1﹣x），由此可得方程：13.6x+10.8×（1﹣x）=12.4．解：把總個(gè)數(shù)當(dāng)做“1”，可設(shè)第一組為x則：13.6x+10.8×（1﹣x）=12.4，13.6x+10.8﹣10.8x=12.4，2.8x=1.6，x=；則第二組為：1﹣=，它們的比為：=4：3．故答案為4：3．點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是把總個(gè)數(shù)看做“1”．5．小剛，小強(qiáng)兩人騎車的速度之比是15：13，如果小剛，小強(qiáng)分別由甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，半小時(shí)后相遇；如果他們同向而行，那么小剛追上小強(qiáng)需要()小時(shí)?！敬鸢浮?【詳解】試題分析：根據(jù)題干可令小剛和小強(qiáng)的速度分別為15和13，由此求得兩地距離即：小強(qiáng)和小剛之間的距離差為14，由此即可解決問題．解：令小剛和小強(qiáng)的速度分別是15，13，則甲乙兩地的距離是：（15+13）×0.5=14，14÷（15﹣13）=14÷2=7（小時(shí)）；答：小剛追上小強(qiáng)需要7小時(shí)．故答案為7．點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是得出小強(qiáng)和小剛的速度從而求得二者的距離差．6．兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比是10；9，第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比是7：3，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比是5：4．這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比是()。【答案】21：20【詳解】試題分析：根據(jù)題干“兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比是10；9”，則周長(zhǎng)的一半，即它們的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比也是10：9，設(shè)第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是10a，則第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是9a，由此根據(jù)它們的長(zhǎng)與寬的比分別求出長(zhǎng)與寬，再利用長(zhǎng)方形的面積公式即可解答．解：根據(jù)題干分析可得：這兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比是10：9，設(shè)第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是10a，則長(zhǎng)是：10a×=7a，寬是10a﹣7a=3a；第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是9a，則長(zhǎng)是：9a×=5a，寬是9a﹣5a=4a，所以這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比是：（7a×3a）：（5a×4a）=21：20，答：兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之比是21：20．故答案為21：20．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題干得出這兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比是10：9，再利用長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比分別表示出它們的長(zhǎng)與寬，即可解答．7．三批貨物共值2250元．按質(zhì)量，第一批和第二批的比是1：2，第二批和第三批的比是1：2.5；按單價(jià)，第一批和第二批的比是3：1，第二批和第三批的比是7：3．則第一批貨物值()元?！敬鸢浮?45【詳解】試題分析：按照質(zhì)量比第一批和第二批的比是1：2，第二批和第三批的比是1：2.5，以及比的基本性質(zhì)可得：第一批：第二批：第三批=1：2：5，按照單價(jià)比第一批和第二批的比是3：1，第二批和第三批的比是7：3，以及比的基本性質(zhì)可得：第一批：第二批：第三批=21：7：3，然后依據(jù)總價(jià)=數(shù)量×單價(jià)，求出三批貨物的總價(jià)比，最后按比例分配即可解答．解：三批貨物質(zhì)量比：1×2=2，2.5×2=5，第一批：第二批：第三批=1：2：5，三批貨物單價(jià)比：3×7=21，1×7=7，第一批：第二批：第三批=21：7：3，三批貨物總價(jià)比：1×21=21，2×7=14，5×3=15，第一批：第二批：第三批=21：14：15，2250×，=2250×，=945（元），答：第一批貨物值945元，故答案為945．點(diǎn)評(píng)：解答本題的依據(jù)是數(shù)量關(guān)系式：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，關(guān)鍵是求出三批貨物的質(zhì)量和單價(jià)比．8．某大型超市共有收銀員若干名，其中男女人數(shù)的比是5：3，收銀部的主管將所有收銀員按8：7：5分成早班組、中班組和晚班組．早班組中男女人數(shù)比是3：1，晚班組中男女人數(shù)比是4：3，中班組中男女人數(shù)比是()?！敬鸢浮?1：47【詳解】試題分析：由題意可知：男女人數(shù)的比是5：3，這樣看，男女一共是8份，所以男員工占，女員工占；收銀部的主管將所有收銀員按8：7：5分成早中晚班組，一共是20份，早班，中班，晚班，即：早班，中班，晚班；根據(jù)：早班組中男女人數(shù)的比是3：1，所以早班人員中男員工占，女員工占；根據(jù)：晚班組中男女人數(shù)的比是4：3，所以晚班員中男員工占，女員工占；男員工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；女員工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；剩下的男女員工就是安排在中班的，它們的比為：：=51：47；據(jù)此解答即可．解：男女人數(shù)的比是5：3，這樣看，男女一共是8份，所以男員工占，女員工占；收銀部的主管將所有收銀員按8：7：5分成早中晚班組，一共是20份，早班，中班，晚班，即：早班，中班，晚班；根據(jù)：早班組中男女人數(shù)的比是3：1，所以早班人員中男員工占，女員工占；根據(jù)：晚班組中男女人數(shù)的比是4：3，所以晚班員中男員工占，女員工占；男員工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；女員工除掉安排早、晚班以后：﹣×﹣×=；剩下的男女員工就是安排在中班的，它們的比為：：=51：47；故答案為51：47．點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是：先求出早班組和晚班組中男女的人數(shù)占總數(shù)的幾分之幾，進(jìn)而求出中班組中男女的人數(shù)占總數(shù)的幾分之幾，于是問題得解．9．如圖，4個(gè)相同的直角三角形圍成了一個(gè)正方形，已知a∶b＝1∶2，陰影部分的面積占大正方形面積的()?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)題意可知，陰影部分的邊長(zhǎng)等于直角三角形的斜邊的長(zhǎng)，已知直角三角形兩條直角邊的比是1∶2，大正方形的邊長(zhǎng)等于兩條直角邊的和，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，先求出大正方形的面積，把大正方形的面積看作單位“1”，再求出四個(gè)直角三角形占大正方形的幾分之幾，再用單位“1”減去四個(gè)直角三角形占大正方形的幾分之幾，就求出了中間的正方形的面積占大正方形面積的幾分之幾?！驹斀狻看笳叫蔚倪呴L(zhǎng)等于兩條直角邊的和，即1＋2＝3；1－1×2÷2×4÷32，＝1－4÷9，＝1，＝【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形面積的計(jì)算，解答關(guān)鍵是求出大正方形的面積，把它看作單位“1”，再求出4個(gè)三角形的面積正方形的面積占大正方形面積的幾分之幾，用單位“1”減4個(gè)三角形占大正方形的幾分之幾即可。由此解決問題。10．如圖所示為一個(gè)污水凈化塔內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等腰直角三角形的凈化材料表面，流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同，經(jīng)過四層凈化后流入底部的5個(gè)出口中的一個(gè)，則第3、4兩個(gè)出水口的出水量之比為()。【答案】3∶2【分析】根據(jù)題意，假設(shè)第一次分流的出水量是16，然后根據(jù)每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同，分別求出下一次分流的水量，并求出每個(gè)出水口最后的出水量是多少，再用第3個(gè)出水口的出水量比第4個(gè)出水口的出水量即可?！驹斀狻考僭O(shè)第一次分流的出水量是16，每次分流的出水量如圖：1號(hào)出水口的出水量是：1，2號(hào)出水口的出水量是：1＋3＝4，3號(hào)出水口的出水量是：3＋3＝6，4號(hào)出水口的出水量是：3＋1＝4，5號(hào)出水口的出水量是：1。所以，第3、4兩個(gè)出水口的出水量之比為6∶4＝3∶2?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是設(shè)第一次分流的出水量是16，進(jìn)而分別求出每個(gè)出水口最后的出水量是多少。二、解答題。11．五（一）班原計(jì)劃抽的人參加大掃除，臨時(shí)又有個(gè)同學(xué)主動(dòng)參加，實(shí)際參加掃除的人數(shù)是其余人數(shù)的。原計(jì)劃抽多少個(gè)同學(xué)參加大掃除？【答案】8人【分析】把全班的總?cè)藬?shù)看作單位“1”，“實(shí)際參加的人數(shù)是沒參加的”轉(zhuǎn)化為“實(shí)際參加的是總數(shù)的”，找2對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)（），據(jù)除法的意義求出全班的人數(shù)，全班人數(shù)乘得出原來參加大掃除的人數(shù)?！驹斀狻?÷（）×＝2÷×＝40×＝8（人）答：原計(jì)劃有8位同學(xué)參加大掃除?！军c(diǎn)睛】這道題關(guān)鍵在于統(tǒng)一單位“1”，“實(shí)際參加的人數(shù)是沒參加的”轉(zhuǎn)化為“實(shí)際參加的是總數(shù)的”。12．小明是從昨天開始看這本書的，昨天讀完以后，小明已經(jīng)讀完的頁數(shù)是還沒讀的頁數(shù)，他今天比昨天多讀了頁，這時(shí)已經(jīng)讀完的頁數(shù)是還沒讀的頁數(shù)的，問題是，這本書共有多少頁？【答案】280頁【分析】首先，可以直接運(yùn)算得出，第一天小明讀了全書的，而前二天小明一共讀了全書的，所以第二天比第一天多讀的頁對(duì)應(yīng)全書的。所以整本書一共有（頁）。【詳解】第一天讀了全書的：前兩天小明一共讀了全書的：第二天比第一天多讀的頁對(duì)應(yīng)全書的（頁）答：這本書共有280頁。【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)除法的意義，將全書看成單位“1”，那么將每個(gè)量占全書頁數(shù)的分?jǐn)?shù)求出來。13．小莉和小剛分別有一些玻璃球，如果小莉給小剛24個(gè)，則小莉的玻璃球比小剛少；如果小剛給小莉24個(gè)，則小剛的玻璃球比小莉少，小莉和小剛原來共有玻璃球多少個(gè)？【答案】132個(gè)【分析】小莉給小剛24個(gè)時(shí)，小莉是小剛的（＝1一），即兩人球數(shù)和的；小剛給小莉24個(gè)時(shí)，小莉是兩人球數(shù)和的（＝），因此24＋24是兩人球數(shù)和的＝。從而，和是（24＋24）÷＝132（個(gè)）?！驹斀狻浚?4＋24）÷（1－）＝48÷（1－）＝48÷＝48×＝132（個(gè)）答：小莉和小剛原來共有玻璃球132個(gè)?！军c(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算應(yīng)用，關(guān)鍵要找到單位“1”，并且找到量和對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)用除法來解出單位“1”。14．甲、乙、丙三堆棋子總共有100多枚．先從甲堆分一些棋子給另外兩堆，使得乙、丙兩堆的棋子數(shù)增加1倍；接著，從乙堆分一些棋子給另外兩堆，使得甲、丙兩堆各增加2倍；最后，從丙堆分一些棋子給另外兩堆，使得甲、乙兩堆各增加3倍，此時(shí)甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1：2：3．請(qǐng)問：原來三堆棋子各有多少枚？【答案】甲、乙、丙原來各有73、50和21枚．【詳解】試題分析：首先由丙分之后甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1：2：3，根據(jù)比的基本性質(zhì)變形，進(jìn)一步得到丙分之前，乙分之前，甲分之前甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比，再根據(jù)甲、乙、丙三堆棋子總共有100多枚即可求解．解：丙分之后甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1：2：3=4：8：124÷（3+1）=18÷（3+1）=212+（4﹣1）+（8﹣2）=21丙分之前是1：2：21=3：6：633÷（2+1）=163÷（2+1）=216+（3﹣1）+（63﹣21）=50乙分之前是1：50：21=2：100：42100÷（1+1）=5042÷（1+1）=212+（100﹣50）+（42﹣21）=73甲分之前是73：50：21又因?yàn)榧住⒁?、丙三堆棋子總共?00多枚，73+50+21=144（枚），所以甲、乙、丙原來各有73、50和21枚．點(diǎn)評(píng)：考查了按比例分配應(yīng)用題和逆推問題，解題的關(guān)鍵是得到甲分之前甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是73：50：21．15．某工地用三種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方．已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10：7：6，速度比為3：4：5，運(yùn)送土方的路程之比為15：14：14，三種車的輛數(shù)之比為10：5：7．工程開始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，又干了15天才完成任務(wù)．求甲種車完成的工作量與總工作量之比．【答案】16：41．【詳解】試題分析：甲種車的一半干25天，另一半干15天，相當(dāng)于所有甲種車都干20天，所以甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比為20：25：25=4：5：5，相同時(shí)間內(nèi)，三種車各一輛完成的工作量之比為：：=14：14：15，甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）=112：70：105．進(jìn)而求得甲種車完成的工作量與總工作量之比．解：甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比為20：25：25=4：5：5三種車各一輛完成的工作量之比為：：=14：14：15甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）=112：70：105．甲種車完成的工作量與總工作量之比為112：（112+70+105）=112：287=16：41答：甲種車完成的工作量與總工作量之比是16：41．點(diǎn)評(píng)：題的關(guān)鍵是求出甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比以及甲、乙、丙三種車完成的工作量之比．16．往返于A、B兩地的甲、乙兩輛公共汽車分別從A、B兩城同時(shí)相向出發(fā)，各自到達(dá)終點(diǎn)停車5分鐘便返回出發(fā)地，并同時(shí)到達(dá)C站．已知C站距A、B的中點(diǎn)6千米，甲、乙兩輛汽車的速度比是6：5，求AB兩城相距多少千米？【答案】44千米【詳解】試題分析：設(shè)AB兩城相距s千米，從開始到到達(dá)C站所用時(shí)間為t，到達(dá)C站時(shí)，甲走的路程為（1.5s+6）千米，乙走的路程為（1.5s﹣6）千米，根據(jù)甲、乙兩輛汽車的速度比是6：5，列式解答即可．解：設(shè)AB兩城相距s千米，從開始到到達(dá)C站所用時(shí)間為t，5（1.5s+6）=6（1.5s﹣6）7.5s+30=9s﹣3630+36=9s﹣7.5s66=1.5ss=44，答：AB兩城相距44千米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的行程問題以及比的應(yīng)用．關(guān)鍵是得出到達(dá)C站時(shí)，甲走的路程為（1.5s+6）千米，乙走的路程為（1.5s﹣6）千米．17．甲、乙、丙三人合作生產(chǎn)一批機(jī)器零件，甲生產(chǎn)的零件數(shù)量的一半與乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的五分之三相等，又等于丙生產(chǎn)的零件數(shù)量的四分之三，已知乙比丙多生產(chǎn)50個(gè)零件，問：這批零件共有多少個(gè)？【答案】750個(gè)【分析】解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于將甲生產(chǎn)零件數(shù)量的一半等于乙生產(chǎn)零件數(shù)量的五分之三等于丙生產(chǎn)零件數(shù)量的四分之三轉(zhuǎn)化為同一基準(zhǔn)，由于知道乙比丙多生產(chǎn)50個(gè)零件，不妨以乙生產(chǎn)的零件數(shù)量為單位“1”?！驹斀狻糠椒?：根據(jù)已知條件可得：因?yàn)榧咨a(chǎn)的零件數(shù)×＝乙生產(chǎn)零件數(shù)量×，所以甲生產(chǎn)的零件數(shù)＝乙生產(chǎn)的零件數(shù)×，即，甲生產(chǎn)的零件數(shù)量是乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的。因?yàn)楸a(chǎn)的零件數(shù)量×＝甲生產(chǎn)的零件數(shù)量×，所以丙生產(chǎn)的零件數(shù)量＝甲生產(chǎn)的零件數(shù)量×，所以丙生產(chǎn)的零件數(shù)量是乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的×＝由于乙比丙多生產(chǎn)了50個(gè)零件，所以乙生產(chǎn)的零件數(shù)量為：50×（1－）＝250（個(gè)），甲生產(chǎn)的零件數(shù)量為：250×＝300（個(gè)），丙生產(chǎn)的零件數(shù)量為300×＝200（個(gè)）。甲、乙、丙共生產(chǎn)零件250＋300＋200＝750（個(gè)）答：這批零件共750個(gè)。方法2：因?yàn)椋杭咨a(chǎn)的零件數(shù)∶乙生產(chǎn)的零件數(shù)＝甲生產(chǎn)的零件數(shù)∶丙生產(chǎn)的零件數(shù)所以：丙的數(shù)量∶乙的數(shù)量＝4∶5；可得：甲∶乙∶丙＝6∶5∶4總份數(shù)：6＋5＋4＝15（份）共生產(chǎn)零件數(shù)量為：50÷（－）＝750（個(gè)）答：