2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的性質(zhì) 學(xué)案

核心考點(diǎn)3函數(shù)的性質(zhì)核心知識(shí)·精歸納1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)．(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù))．2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性牢記“同增異減”．3.奇函數(shù)在其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性，即“奇同偶反”．4.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．(3)常見結(jié)論：若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a；若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則T＝2a.5.函數(shù)的對(duì)稱性(1)①若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．(2)兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱①函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱；②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；③函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(3)對(duì)稱性的3個(gè)常用結(jié)論①若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．②若對(duì)于R的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．③若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．多維題組·明技法角度1：函數(shù)的單調(diào)性與最值1.(2023·池州期中)當(dāng)s≥0時(shí)，函數(shù)y＝seq\r(1－s)的最大值為(A)A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(4,27)C．0 D．1【解析】由題意，0≤s≤1，則y＝seq\r(1－s)＝eq\r(s21－s)，令g(s)＝s2(1－s)，則g′(s)＝2s(1－s)－s2＝－3s2＋2s＝－s(3s－2)，則當(dāng)s∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))時(shí)，g′(s)>0，g(s)單調(diào)遞增，當(dāng)s∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))時(shí)，g′(s)<0，g(s)單調(diào)遞減，∴g(s)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(4,27)，得函數(shù)y＝seq\r(1－s)的最大值為eq\f(2\r(3),9).故選A．2.(2023·河西區(qū)校級(jí)模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)，記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(\f(1,3))))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(7,2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do10(\f(1,3))5))，則a，b，c的大小關(guān)系為(A)A．c>b>a B．a(chǎn)>b>cC．b>a>c D．c>a>b【解析】根據(jù)題意，f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do10(\f(1,3))5))＝f(log35)，又由0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(\f(1,3))<1<log3eq\f(7,2)<log35，而f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)，故c>b>a.故選A．3.(2023·古冶區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x>a，,|x－a－1|，x≤a，))若f(x)的最小值為1，則a的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[2eq\r(2)，＋∞) D．[4eq\r(2)，＋∞)【解析】由x≤a，則x－a－1≤－1，僅當(dāng)x＝a時(shí)等號(hào)成立，所以|x－a－1|＝a＋1－x≥1，在(－∞，a]上遞減，且最小值為1，對(duì)于y＝x2－1在(a，＋∞)上，當(dāng)a<0時(shí)ymin＝－1；當(dāng)a≥0時(shí)y>a2－1，無最小值；顯然，a<0時(shí)f(x)的最小值不為1，不符合題意；所以a≥0，此時(shí)必有a2－1≥1，可得a≥eq\r(2).故選B．角度2：函數(shù)的奇偶性與周期性4.(2023·沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x－1)是偶函數(shù)，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f(x)＝2x＋eq\f(1,4)，則f(log240)＝(C)A．eq\f(5,2) B．eq\f(9,4)C．eq\f(11,4) D．3【解析】根據(jù)題意，由f(x－1)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，故f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱，f(－2＋x)＝f(－x)，由f(1－x)＝f(1＋x)可得f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱，f(2＋x)＝f(－x)，則f(－2＋x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，函數(shù)f(x)周期為4.因?yàn)?<log240<6，則有1<－4＋log240<2，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f(x)＝2x＋eq\f(1,4)，則f(log240)＝2－4＋log240＋eq\f(1,4)＝eq\f(40,16)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,4).故選C．5.(2023·洛陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，f(－x－1)＝f(－x＋1)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝4x－3，則f(log480)＝(D)A．eq\f(1,5) B．－eq\f(4,5)C．1 D．－eq\f(1,5)【解析】∵定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．∵f(－x－1)＝f(－x＋1)，∴－f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)．log480＝log4(16×5)＝2＋log45.∵當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝4x－3，∴f(log480)＝f(log45＋2)＝f(log45－2)＝－f(2－log45)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(16,5)))＝－eq\f(16,5)＋3＝－eq\f(1,5).故選D．角度3：函數(shù)基本性質(zhì)的綜合6.(2023·林芝市二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞減，且f(x＋2)為偶函數(shù)，則不等式f(x－1)>f(2x)的解集為(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(6，＋∞)B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3)))【解析】∵函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又∵函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,3))).故選D．7.(2023·九江三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則f(x)(C)A．在[2020,2022]上單調(diào)遞減B．在[2021,2023]上單調(diào)遞增C．在[2022,2024]上單調(diào)遞減D．在[2023,2025]上單調(diào)遞增【解析】∵f(x＋1)是奇函數(shù)，∴f(x＋1)＝－f(－x＋1)，即f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，又∵f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，即f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，可得f(2－x)＝－f(x)，由f(x－1)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱可知f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減，∴f(2－x)＝f(x－2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為4，∵2022＝4×505＋2,2024＝4×505＋4，∴f(x)在[2022,2024]上的單調(diào)性和在[2,4]上的單調(diào)性相同，∴f(x)在[2022，2024]上單調(diào)遞減．故選C．方法技巧·精提煉1.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型和解題策略(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決；(2)在求解抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”脫掉，將其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域；(3)利用單調(diào)性求解最值問題，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求解；(4)利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常把參數(shù)視為已知數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖象和單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將其轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．2.利用奇偶性及周期性的解題策略利用函數(shù)奇偶性求值，先利用奇偶性將所求的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，代入解析式即可求出函數(shù)值．當(dāng)函數(shù)既具有奇偶性又具有對(duì)稱性時(shí)，先利用奇偶性和對(duì)稱性確定函數(shù)的周期，再利用奇偶性和周期性進(jìn)行變換，將所求得函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)的定義域內(nèi)求解．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·東城區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))若f(x)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．(0,4] B．[2,4]C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y＝2x，與y＝x2的圖象如下圖，由圖可知，要使函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤a，,x2，x>a，))為增函數(shù)，則2≤a≤4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,4]．故選B．2.(多選)(2023·韶關(guān)二模)已知f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,2－x，1<x≤2.))設(shè)F(x)＝f(x)＋f(x－1)，則(BCD)A．函數(shù)y＝F(x)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B．函數(shù)y＝F(x)的最大值為1C．函數(shù)y＝F(x)在區(qū)間(2022,2023)上單調(diào)遞減D．函數(shù)y＝F(x)的圖象有對(duì)稱中心也有對(duì)稱軸【解析】根據(jù)題意，f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,2－x，1<x≤2，))當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，－1≤x<0，,－2－x，－2≤x<－1，))而F(x)＝f(x)＋f(x－1)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有0≤x－1≤1，此時(shí)F(x)＝2－x＋x－1＝1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有－1≤x－1≤0，此時(shí)F(x)＝f(x)＋f(x－1)＝2x－1，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，有－2≤x－1≤－1，此時(shí)F(x)＝x＋[－2－(x－1)]＝－1，當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，有－3≤x－1≤－2，此時(shí)F(x)＝－2－x－1－x＝－2x－3，則F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－3，－2≤x≤－1，,－1，－1≤x≤0，,2x－1，0≤x≤1，,1，1≤x≤2))其函數(shù)圖象在[－2,2]上的草圖如下圖，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f(x)是周期為4的奇函數(shù)，則F(x＋4)＝f(x＋4)＋f(x＋3)＝f(x)＋f(x－1)＝F(x)，則F(x)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)F(0)＝f(0)＋f(－1)＝f(0)－f(1)＝－1≠0，F(xiàn)(x)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，結(jié)合F(x)的草圖，F(xiàn)(x)在[－2,2]上的最大值為1，f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\