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文檔簡介

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.2空間向量的數(shù)量積運算學習目標

素養(yǎng)要求1.能夠說出空間向量夾角和模的概念及表示方法數(shù)學抽象2.會靈活運用兩個向量的數(shù)量積的計算方法數(shù)學運算3.能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題數(shù)學運算、直觀想象|自學導引|兩個向量的夾角〈a,b〉互相垂直a⊥b

〈a,b〉=〈b,a〉嗎?〈a,b〉與〈-a,b〉有什么關(guān)系?【答案】提示:〈a,b〉=〈b,a〉,〈-a,b〉=〈a,-b〉=π-〈a,b〉.微思考【預習自測】兩個向量的數(shù)量積1.定義:已知兩個非零向量a,b,則________________叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=________________.2.數(shù)量積的運算律:|a||b|cos〈a,b〉|a||b|cos〈a,b〉數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λa·b=a·(______)交換律a·b=______分配律a·(b+c)=____________λb

b·a

a·b+a·c

3.空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì):|a||a|cos〈a,a〉【答案】(1)×

(2)×【解析】(1)不一定.可能是α,也可能是π-α.(2)a·b=a·c?a·(b-c)=0,所以可能只是a與(b-c)垂直.【預習自測】2.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,則〈a,b〉=________.已知向量a,b,對于|a·b|=|a||b|成立嗎?【答案】提示:|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|≤|a||b|,所以當a與b共線時,|a·b|=|a||b|,否則不成立.

微思考空間向量的投影1.向量a向向量b(直線l)的投影如圖1,先將向量a和向量b平移到同一個平面α內(nèi),進而利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c,c=________,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地,可以將向量a向直線l投影(如圖2).平面β【預習自測】已知空間向量|a|=6,e為單位向量,當空間向量a、e的夾角等于45°時,則空間向量a在向量e方向上的投影向量是________.空間向量a在b上的投影向量是一個模等于|acosθ|(θ是a與b的夾角)、方向與b相同或相反的一個向量嗎?【答案】提示:是.微思考|課堂互動|【答案】C

求數(shù)量積的方法已知向量的模和夾角,利用a·b=|a||b|·cos〈a,b〉并結(jié)合運算律進行計算.【答案】A

題型2用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系

如圖,在四面體OABC中,OB=OC,AB=AC,求證:OA⊥BC.(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)用已知向量表示所證向量.(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0.(4)將向量問題回歸到幾何問題.2.已知在四面體OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分別是OA,BC的中點,G是MN的中點,求證:OG⊥BC.題型3用數(shù)量積求角與距離探究1用數(shù)量積求角已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,四邊形ABB1A1和BB1C1C都是正方形,若AB=a,求異面直線BA1與AC所成的角.探究2用數(shù)量積求距離如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時B,D間的距離.1.利用向量求異面直線夾角的步驟3.(1)如圖,在四面體OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,則異面直線OA與BC的夾角的余弦值為________.規(guī)范解答利用空間向量數(shù)量積求向量的模和夾角如圖,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)棱AM的長為b,且AM和AB,AD的夾角都等于60°,N是CM的中點.|素養(yǎng)達成|1.空間向量夾角定義的三個關(guān)注點(1)任意兩個空間向量都是共面的,故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣.(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起.(3)兩個空間向量的夾角是唯一的,且〈a,b〉=〈b,a〉.3.對空間向量的數(shù)量積的兩點說明(1)運算結(jié)果:空間向量數(shù)量積的結(jié)果是個實數(shù),而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積.(2)運算符“·”:其中a·b中的圓點是數(shù)量積運算的符號,不能省略也不能用“×”代替.【答案】D

2.(題型3)若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),則 (

)A.m∥nB.m⊥nC.m既不平行于n,也不垂直于nD.以上三種情況都有可能【答案】B

【解析】由已知得m·a=0,m·b=0,所以m·n=m·(λa+μb)=λma+μmb=0,故m⊥n.故選B.【答案】D

4.(題型2,3)設(shè)向量a與b互相垂直,向量c與它們構(gòu)成的角都是60°,且|a|=5

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