專題5.1 任意角與弧度制（重點題型解題技巧）（解析版）2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點題型秒殺秘籍與滿分必刷（人教A版2019必修第一冊）

第第頁專題5.1任意角與弧度制（重點題型解題技巧）【題型1角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化及象限判斷】【題型2確定n分角所在象限】【題型3扇形周長、弧長及面積的求算】【題型4根據(jù)圖形寫出角的范圍】題型1角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化及象限判斷1．角的概念(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角．(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．(4)象限角的集合表示方法：弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．(2)角度制和弧度制的互化：,,．1．的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】應(yīng)用終邊相同的角即可求解.【詳解】的終邊與相同，則終邊在第一象限.故選：A．2．已知角，那么的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用角終邊相同公式得到的終邊與的終邊相同，從而得到的終邊所在象限．【詳解】因為，又，所以的終邊在第三象限．故選：C．3．若，則角終邊在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】找內(nèi)與角終邊相同的角，即可判斷.【詳解】與終邊相同，在第三象限.故選：C4．終邊在直線上的角的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可表示.【詳解】終邊在直線上的角可表示為，故角的取值集合是.故選：C.5．與角終邊相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用終邊相同的角的關(guān)系，求得與角終邊相同的最小正角.【詳解】與角終邊相同的最小正角為.故選：C【點睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.6．與終邊相同的角是A． B． C． D．【答案】D【詳解】與終邊相同的角是.當(dāng)1時，故選D7．與角終邊相同的角是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用終邊相同角的關(guān)系，根據(jù)k的取值進行求解.【詳解】與角終邊相同的角是當(dāng)k=-4時，，所以與角終邊相同的角是210°.故答案為B【點睛】本題主要考查終邊相同的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8．在直角坐標系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【答案】D【分析】根據(jù)終邊關(guān)系直接可得.【詳解】∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°+k?360°（k∈Z）．故選：D．9．與角終邊相同的角是A． B．C． D．【答案】C【詳解】分析：根據(jù)表示終邊相同角，即可判斷．詳解：因為周期為，所以與終邊相同的角是所以選C點睛：本題考查了終邊相同角的表示方法，考查基本的概念，屬于基礎(chǔ)題．10．與405°角終邊相同的角是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的概念，簡單計算即可.【詳解】由于，故與405°終邊相同的角應(yīng)為．故選：C【點睛】本題考查終邊相同的角的概念，屬基礎(chǔ)題.11．若與的終邊相同，則終邊與相同的角所在的集合為A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可得到結(jié)果.【詳解】與的終邊相同終邊與相同的角的集合為：本題正確選項：【點睛】本題考查終邊相同的角的概念，屬于基礎(chǔ)題.12．在0°~360°范圍內(nèi)，與－690°角的終邊相同的角是（

）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【分析】由終邊相同的角的定義，由求解.【詳解】令，則，令，得，故選：C13．角的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由于，所以由終邊相同的定義可得結(jié)論【詳解】因為，所以角的終邊與角的終邊相同，所以角的終邊落在第一象限角．故選：A．14．下列角中，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)終邊相同的角的知識確定正確選項.【詳解】與角終邊相同的角是，令，得.故選：C15．與角終邊相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出與角終邊相同的角的集合，即可得出結(jié)論.【詳解】與角終邊相同角的集合為，當(dāng)時，取得最小正角為.故選：D.16．下列各角中，與終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出與終邊相同的角的集合，取k值即可得出結(jié)果.【詳解】與終邊相同的角的集合為：，當(dāng)時，得.故選：B17．用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將化為弧度，利用終邊相同的角的定義可得結(jié)果.【詳解】因為，故與角的終邊相同的角的集合為.故選：D.題型2確定n分角所在象限角的終邊所在象限的判斷技巧總結(jié)結(jié)論1：《不等式法》遵循以下步驟 第一步：由角的范圍（用表示），求出角的范圍： 第二步：通過對進行分類討論，判斷角的終邊所在象限結(jié)論2：《幾何法》 遵循以下步驟 第一步：將直角坐標系每一象限平均分為等分并逆時針標明1、2、3第二步：找出與角的終邊所在象限標號一致的區(qū)域，即為所求.形如1、已知為第一項限角，求角所在的象限。解：《不等式法》第一步：由角的范圍（用表示），求出角的范圍：∵為第一項限角∴第二步：通過對進行分類討論，判斷角的終邊所在象限若,則∴角是第一象限角；若，則∴角是第三象限角；因此，角是第一項限或第三象限角方法二：《幾何法》第一步：因為要求角所在的象限，所以畫出直角坐標系，把每個象限等分二等份；第二步：標號，如圖所示，從靠近軸非負半軸的第一項限內(nèi)區(qū)域開始，按逆時針方向，在圖中一次標上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因為為第一項限角，所以在圖中將數(shù)字1的范圍畫出，可用陰影表示；第四步：定象限，陰影部分在哪一部分，角的終邊就在那個象限； 因此，角是第一項限或第三象限角形如2、已知為第二項限角，求角所在的象限。解：《不等式法》第一步：由角的范圍（用表示），求出角的范圍：∵為第二項限角∴第二步：通過對進行分類討論，判斷角的終邊所在象限若,則∴角是第一象限角；若，則∴角是第三象限角；因此，角是第一項限或第三象限角方法二：《幾何法》第一步：因為要求角所在的象限，所以畫出直角坐標系，把每個象限等分二等份；第二步：標號，如圖所示，從靠近軸非負半軸的第一項限內(nèi)區(qū)域開始，按逆時針方向，在圖中一次標上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因為為第二項限角，所以在圖中將數(shù)字1的范圍畫出，可用陰影表示；第四步：定象限，陰影部分在哪一部分，角的終邊就在那個象限； 因此，角是第一項限或第三象限角1．已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根據(jù)為第三象限角得到的取值范圍，進而可得的范圍，即可求解.【詳解】因為為第三象限角，所以所以當(dāng)為偶數(shù)時，記,所以所以為第二象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.2．已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，進而得到，，進而求解.【詳解】因為是第一象限角，所以，，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.3．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【分析】由象限角的定義可得出，求出的取值范圍，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，可得出的終邊所在的象限.【詳解】因為為第二象限角，則，所以，，①當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，即，此時為第三象限角；②當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，此時為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.4．若是第四象限角,則角的終邊在A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限【答案】D【解析】取滿足條件的角，計算得角，判斷角的終邊所在象限.【詳解】取,則,在第四象限;取,則,在第二象限.故選：D.【點睛】本題主要考查了由角所在的象限，確定的終邊所在象限，屬于容易題.5．下列說法正確的有（

）A．與的終邊相同 B．小于的角是銳角C．若為第二象限角，則為第一象限角 D．鈍角的終邊在第一象限【答案】A【分析】根據(jù)銳角的定義、第二象限角、終邊相同角的性質(zhì)、鈍角的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以與的終邊相同，因此本說法正確；B：顯然小于，而不是銳角，因此本說法不正確；C：因為為第二象限角，所以，所以為第一象限角或第三象限，因此本說法不正確；D：大于小于的角為鈍角，所以鈍角的終邊在第二象限，因此本說法不正確，故選：A6．已知是第二象限角，那么是（

）A．第一象限角 B．第一或第三象限角C．第二或第四象限角 D．第二象限角【答案】B【分析】先根據(jù)所在的象限確定的范圍，從而確定的范圍，討論為偶數(shù)和為奇數(shù)時所在的象限即可.【詳解】因為是第二象限角，所以，，則，，當(dāng)為偶數(shù)時，為第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，為第三象限角.故選：B.7．若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【分析】根據(jù)是第三象限角的范圍，可判斷所在的象限.【詳解】因為為第三象限角,即,所以,,當(dāng)為奇數(shù)時,是第四象限的角;當(dāng)為偶數(shù)時,是第二象限的角.故選:D.8．已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再對分類討論，即可得解.【詳解】解：因為角的終邊與的終邊重合，所以，，所以，，令，則，此時的終邊位于第二象限；令，則，此時的終邊位于第三象限；令，則，此時的終邊位于第四象限．所以的終邊不可能在第一象限，故選：A．9．若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)題意得，分為偶數(shù)和奇數(shù)求解即可.【詳解】因為是第三象限角，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，是第三象限角.故選：C．題型3扇形周長、弧長及面積的求算扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．扇形的周長求最值時需要將目標表示成二次函數(shù)的形式畫圖處理1．已知扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形周長，應(yīng)用扇形弧長公式列方程求半徑，再由面積公式求面積即可.【詳解】令扇形的半徑為，則，所以此扇形的面積為.故選：D2．已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把角度轉(zhuǎn)化為弧度，根據(jù)弧度制下扇形的面積公式即可求解.【詳解】因為，所以該扇形的面積為．故選：A3．已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】設(shè)扇形所在圓的半徑為，根據(jù)題意求得，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因為扇形弧長為，圓心角為，可得，可得，由扇形的面積公式，可得.故選：B.4．扇形的周長是12cm，面積是8cm2，則圓心角的弧度數(shù)是（）A．2或1 B．4或1 C．6或1 D．8或1【答案】B【分析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，根據(jù)扇形的弧長和面積公式列式求解.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，由題意可得，解得或，所以圓心角的弧度數(shù)是4或1.故選：B.5．已知一個扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為．【答案】【分析】利用扇形面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形半徑為，由題意可知，所以該扇形的面積為．故答案為：.6．已知扇形面積為半徑是1，則扇形的周長是.【答案】【分析】首先由扇形的面積公式求出圓心角，然后代入扇形弧長、周長公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)扇形的圓心角、半徑、弧長、面積、周長分別為，則由題意有，解得，由弧長公式有，所以扇形的周長為.故答案為：.7．扇形的圓心角為1，半徑為1，則扇形的面積為．【答案】/【分析】利用扇形的面積公式直接求解即可.【詳解】因為扇形的圓心角為1，半徑為1，所以該扇形的面積，故答案為：8．圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.【答案】1【分析】根據(jù)弧長公式結(jié)合面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.9．若扇形的半徑為2，弧長為3，則扇形的面積為.【答案】3【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運算求解.【詳解】由題意可得：扇形的面積為.故答案為：3.10．已知某個扇形的半徑為2，圓心角為，則該扇形的弧長為．【答案】【分析】根據(jù)扇形弧長公式計算即可.【詳解】由題意可知扇形的圓心角為，即，故扇形弧長為.故答案為：.11．已知一扇形的圓心角為，半徑為7，則該扇形的面積為．【答案】【分析】由扇形的弧長公式及面積公式即可求得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，面積為，由題意得，，所以，則，所以該扇形的面積為.故答案為：.12．若扇形的中心角為，半徑為，則此扇形的面積為.【答案】【分析】直接利用扇形面積公式即可求解.【詳解】依題意，由扇形的面積公式可得：.故答案為：.13．一個扇形的弧長和面積的數(shù)值都是5，求這個扇形圓心角的弧度數(shù)．【答案】【分析】利用弧長公式、扇形的面積計算公式列出方程，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)這個扇形圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，則，所以，解得，所以，即扇形圓心角的度數(shù)為.14．設(shè)扇形的弧長為18cm，半徑為12cm，求這個扇形的面積．【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，扇形的面積.15．如圖，設(shè)扇形的圓心角，半徑為，弧長為，扇形面積記為．

(1)用與表示扇形的面積；(2)用與表示扇形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)弧度的概念及圓的面積公式求解；（2）由（1）結(jié)合弧長公式求解.【詳解】（1）角的大小是周角的，所形成扇形的面積是整個圓的面積的，即.（2）由（1）可得，又因為，所以．16．已知扇形的周長為，圓心角為，求該扇形的面積.【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則有，解得.故扇形的面積為題型4根據(jù)圖形寫出角的范圍（區(qū)域角）區(qū)域角的求解技巧總結(jié)區(qū)域角的求解遵循以下步驟：第一步：在直角坐標系中標明兩個邊界（在范圍內(nèi)）第二步：按逆時針方向標出陰影部分區(qū)域第三步：若陰影區(qū)域為射線即： 若陰影區(qū)域為直線即：形如1、若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（）A．B．C． D．解：第一步：在直角坐標系中標明兩個邊界（在范圍內(nèi)）陰影部分的兩條邊界分別是角的終邊第二步：按逆時針方向標出陰影部分區(qū)域 故：第三步：若陰影區(qū)域為射線即： 所以的取值范圍是.秒殺：由于區(qū)域角的范圍都需要加上整圈的倍數(shù)，故答案為形如2、已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，求角的取值范圍.解：第一步：在直角坐標系中標明兩個邊界（在范圍內(nèi)）陰影部分的兩條邊界分別是角的終邊第二步：按逆時針方向標出陰影部分區(qū)域 故：第三步：若陰影區(qū)域為直線即： 所以的取值范圍是.形如3、函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．解：第一步：在直角坐標系中標明兩個邊界（在范圍內(nèi)）大于取右邊，陰影部分的兩條邊界分別是角的終邊第二步：按逆時針方向標出陰影部分區(qū)域 故：第三步：若陰影區(qū)域為射線即： 所以的取值范圍是.1．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．2．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，,所以選項C滿足題意.故選：C.3．集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)取偶數(shù)時，確定角的終邊所在的象限；當(dāng)取奇數(shù)時，確定角的終邊所在的象限，再根據(jù)選項即可確定結(jié)果．【詳解】集合中，當(dāng)為偶數(shù)時，此集合與表示終邊相同的角，位于第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時，此集合與表示終邊相同的角，位于第三象限.所以集合中角表示的范圍為選項B中陰影所示.故選：B.4．如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

【答案】．【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.【詳解】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：5．已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圖形先求出終邊在角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在角的終邊所在直線上的角的集合，從而可求出角的取值范圍，進而可求得的取值范圍【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：6．如圖所示，終邊落在陰影部分區(qū)域（包括邊界）的角的集合是．【答案】【分析】由已知，分別表示出射線OA和射線OB終邊所表示的角度，然后根據(jù)題意表示陰影部分的范圍即可.【詳解】因為終邊落在射線OA上的角的集合是為，終邊落在射線OB上的角的集合為．所以終邊落在陰影部分處（包括邊界）的角的集合是．故答案為：7．如圖所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是.【答案】【分析】寫出終邊落在邊界上的角，即可求出.【詳解】因為終邊落在y軸上的角為，終邊落在圖中直線上的角為；，即終邊在直線上的角為，，所以終邊落在陰影部分的角為，故答案為：8．如圖所示，寫出頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合．【答案】【分析】利用終邊相同的角的集合定義即可得出．【詳解】陰影部分內(nèi)的角的集合為故答案為：.9．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．【答案】（1）答案見解析；（2）；是第一象限角．【分析】（1）根據(jù)終邊相同的角及角的概念求解即可得；（2）根據(jù)弧度制與角度概念轉(zhuǎn)化書寫即可.【詳解】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以與終邊相同，是第一象限角．10．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫出角的范圍即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫出角的范圍即可；【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．11．寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個，即和，從而即可得答案；（2）求出終邊在直線上的角的集合，然后和終邊在直線上的角的集合取并集即可得答案.【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終