數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.什么是數(shù)學(xué)歸納法?用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩者缺一不可.證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性.在這一步中,只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了,沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立.(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒(méi)有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒(méi)有第二步,就可能得出不正確的結(jié)論,因?yàn)閱慰康谝徊?我們無(wú)法遞推下去,所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n0+1,n0+2,…,是否正確.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,n=k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.

完成一,二步后,最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論.(1)在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無(wú)效.證明中的幾個(gè)注意問(wèn)題：(2)在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況而定.例:欲用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2,試問(wèn)n的第一個(gè)取值應(yīng)是多少?答:對(duì)n=1,2,3,…,逐一嘗試,可知初始值為n=5.例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:證:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.例2、證明不等式:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.例3、求證:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,由于

故不等式成立.(2)假設(shè)n=k()時(shí)命題成立,即

則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.例4、已知x>

1，且x

0，n

N，n

2．求證：(1+x)n>1+nx.（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤>

1，所以1+x>0，于是左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊=1+(k+1)x．因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立.證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x

0，∴1+2x+x2>1+2x=右∴n=1時(shí)不等式成立例5、已知求證:.證:(1)當(dāng)n=2時(shí),,

不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)