制定合理的保姆招聘計劃

數(shù)學(xué)建模課堂討論題——如何制定合理的保姆招聘計劃討論組成員：2009級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班高江妮40912156廖宗國梓貴華40912024如何制定合理的保姆招聘計劃摘要本文主要討論如何制定合理的保姆招聘計劃以滿足公司對市場的需求，同時公司的支出盡量最小化，從而獲得最大的利潤。針對問題一，在不解雇保姆的前提下，尋求最優(yōu)的的招聘計劃，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，這樣就要求在以滿足市場需求為前提下盡量少招聘保姆。設(shè)出每個季度開始的保姆數(shù)、招聘的保姆數(shù)，建立以四個季度保姆總數(shù)為變量的目標函數(shù)，然后列出滿足四個季度需要的約束條件。在滿足約束條件的前提下，依次求出每個季度需要招聘的保姆數(shù)量，從而制定合理的招聘計劃，進一步確定哪些季度招聘人數(shù)增加對招聘計劃的影響，并計算出增加的數(shù)量。針對問題二，在公司允許解雇保姆的情況下，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，進一步確定要求的優(yōu)化解。設(shè)出每個季度開始的保姆數(shù)、招聘的保姆數(shù)以及每個季度結(jié)束后解雇的保姆數(shù)，建立以四個季度保姆總數(shù)為變量的目標函數(shù)，并列出滿足四個季度需要的約束條件。在約束條件下求解最優(yōu)解，由于在求解的過程中，不能直接求出優(yōu)化解，只能采用近似簡化的方法來求解。首先求出每個季度的平均每日工作人數(shù)，并把它作為一個列約束條件的標準，然后根據(jù)題目所給的條件，求出每個季度解雇人數(shù)的最大值，依次求出每個季度保姆人數(shù)的最小值，從而求出保姆總數(shù)的最小值。關(guān)鍵詞：保姆招聘計劃優(yōu)化模型最優(yōu)解近似簡化。一、問題的重述與分析保姆公司為顧主提供保姆服務(wù)，為了既要滿足市場的需求，又要達到公司贏利的目的，必須制定合理的保姆招聘計劃。不同季度的市場保姆需求量不同，以及不同情況下，公司對保姆的招聘數(shù)量需要計劃，同時也要優(yōu)化，從而達到雙贏。市場每個季度的需求量是一定的，作為公司的一方，人力資源必須做到充分而又合理的利用，既不要浪費又要滿足市場的需求。所以在不允許解雇的情況下，同時又能滿足市場需求而盡量少招聘保姆。根據(jù)題目所給條件以及所求目標，確定這是一個優(yōu)化問題，進而需要建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，確定目標函數(shù)，在約束條件下求最優(yōu)解。在公司不允許解雇保姆的情況下，制定合理的招聘計劃，不但要公司付出的報酬最少，而且要確定哪些季度需求的增加不會影響招聘計劃，進一步求出需求增加的量；在公司允許在每個季度結(jié)束時解雇保姆的情況下，制定一個合理的計劃，使得公司付出的報酬最少。二、基本假設(shè)由于影響公司制定招聘計劃的因素很多，在這里忽略那些次要的因素，主要只考慮滿足每個季度的需要和公司付出的報酬；假設(shè)市場需求不會突然改變，國家的宏觀調(diào)控政策穩(wěn)定，公司經(jīng)營理念不變；假設(shè)公司在每個季度開始時招聘保姆，在每個季度結(jié)束時解雇保姆。三、符號的約定和名詞解釋：春季的保姆數(shù)量；：夏季的保姆數(shù)量；：秋季的保姆數(shù)量；：冬季的保姆數(shù)量；：春季公司招聘的保姆數(shù)量；：夏季公司招聘的保姆數(shù)量；：秋季公司招聘的保姆數(shù)量；冬季公司招聘的保姆數(shù)量；春季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：夏季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：春季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：每個季度初始需求量；每個季度的需求量（i=1，2，3，4）；：季度需求增加量；：四個季度保姆總數(shù)的最小值；：一年四個季度公司最終付出的報酬；：每個季度平均每日所需的人數(shù)（i=1，2，3，4）。四、模型的建立為公司制定一個合理的保姆招聘計劃，不但要考慮到滿足各個季度的需求，還要使公司付出的報酬最少，由于每個月保姆的工資是相等的，所以只需要使四個季度保姆的總數(shù)最少即可，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求保姆總數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解。對保姆總數(shù)的優(yōu)化問題，我們可以根據(jù)題目要求，分為下面兩種情況來討論。4.1模型一：公司不允許解雇保姆，請為公司制定下一年的招聘計劃，哪些季度增加不影響招聘計劃，增加多少？建立目標函數(shù)：，滿足季度需求的約束條件：，，，，，，，，那么，進一步分析出哪些季度的增加不影響公司招聘計劃以及增加的量，公司一年付出的最小報酬：.4.2公司允許解雇保姆，請為公司制定合理的招聘計劃補充假設(shè)假設(shè)公司的經(jīng)營理念穩(wěn)定，每個季度結(jié)束以后，總是先讓保姆自愿離職，然后公司再進行對保姆的解雇，而不考慮自動離職和被解雇對象之間形成的重復(fù)現(xiàn)象；假設(shè)公司在每個季度開始時，開始招聘新保姆，而且這些保姆需要進行5天的培訓(xùn)；假設(shè)一個季度以90天計算。建立模型建立目標函數(shù)：，滿足公司經(jīng)營方式和季度需求的約束條件：，，，，那么，公司一年付出的最小報酬為.五、模型的求解根據(jù)上述所建立的模型，針對題目中的兩個問題，進一步對所建立的模型求解，分別求出相應(yīng)的量和最優(yōu)解，解答兩個問題。5.1求解模型一要使最小，那么只要使取得最小值，下面分別對各個變量進行求解。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，.，，即，春季的需求量可以增加，可以增加1800.，但是等春季結(jié)束后要有的保姆自動離職，所以夏季開始時，公司必須招人。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，取.那么，，，即，秋季的需求量可以增加，增加的量為1000.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，.5.2求解模型二要使最小，那么只要使取得最小值，下面分別對各個變量進行求解。但是，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型二，不能直接解出各個量，所以在求解模型的過程中，要對模型進行合理的分析簡化，下面首先對模型的進行簡化。模型的簡化公司在每個季度結(jié)束時，都會解雇一部分保姆，但是在每個季度開始的時候，上個季度留下的保姆必須在前5天能夠滿足該季度市場的需求。那么，我們以每個季度每天需要人數(shù)的平均值為標準，進行對解雇人數(shù)的近似計算。每個季度平均每日所需的人數(shù)：春季：，夏季：，秋季：，冬季：.那么，夏季，秋季，冬季前5天必須滿足約束條件：.模型的求解對模型而進行簡化以后，現(xiàn)在對模型進行求解。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.六、模型的結(jié)果及分析根據(jù)以上模型的建立與求解，分別以表格的形式給出問題一、二的結(jié)果，進一步對所建模型的合理性與結(jié)果分析。6.1模型的求解結(jié)果針對題目要求，要分別對兩個問題進行解答，根據(jù)模型的求解，給出求解之后兩個模型的結(jié)果，并針對性的給出兩個問題的答案。6.1.1模型一的求解結(jié)果表1——問題一的結(jié)果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人數(shù)（）120117100143計劃招聘人數(shù)（）015058需求量增加是否影響招聘計劃（是/否）否是否是最大可增加需求量（）18001000公司一年付出的最小報酬（/元）根據(jù)表1給出的數(shù)據(jù)，可以看出春季和秋季需求的增加不影響招聘計劃；春季需求量可以增加1800人日，秋季需求量可以增加1000人日；在公司被允許解雇保姆的情況下，公司一年付出的最小報酬為4608000元。6.1.2模型二的求解結(jié)果表2——問題二的結(jié)果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人數(shù)（）12011887144計劃招聘人數(shù)（）0342670季度末解雇人數(shù)（）18390每個季度平均每日所需的人數(shù)（）678462100公司一年付出的最小報酬（/元）在公司允許解雇保姆的情況下以及作出的合理假設(shè)和制定每個季度每天需要人數(shù)的平均值為標準，計算得出表2的結(jié)果。根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，為公司制定的招聘計劃如下：春季、夏季、秋季、冬季招聘的人數(shù)分別為0、34、26、70；春季、夏季、秋季季度末解雇的人數(shù)分別為18、39、0；公司一年付出的最小報酬為3984000元。6.2模型的分析首先，對模型的可行性分析，建立的模型能夠滿足市場的需求，同時基本能夠保證公司付出的報酬最少，是一個優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，所以模型的建立是可行。其次，從經(jīng)濟效益對所建立模型進行分析，基本能夠同時滿足市場的需求和公司獲得最大利潤，即能夠?qū)崿F(xiàn)公司與市場的雙贏。最后，對所面臨的風(fēng)險進行分析，模型是在假設(shè)市場需求不會突然改變，國家的宏觀調(diào)控政策穩(wěn)定，公司經(jīng)營理念不變的情況下進行的，所以所建立的數(shù)學(xué)模型基本上把風(fēng)險降到最低。此外，在模型的求解過程中，運用了很多的數(shù)學(xué)近似取舍思想，但是都是合乎實際，這樣使模型進一步得到簡化，從而也優(yōu)化了模型。七、模型的評價和改進所建立的數(shù)學(xué)模型，是在所給題目的背景下，通過合理的邏輯推理并簡化得到的，具有一定的可行性，合理性，也符合實際生活的情景。因此，所建立的數(shù)學(xué)模型對公司的招聘計劃、市場的需求以及公司的利潤值具有一定的預(yù)見性，合理性和價值。但是，所建立的數(shù)學(xué)模型也存在很多的不足。在模型的建立過程中，有些地方模型的建立過于簡單，在模型的求解中，沒有應(yīng)用任何數(shù)學(xué)軟件，也沒有應(yīng)用程序來解題，而是根據(jù)推理運算得到結(jié)果，這樣是最終的