制定合理的保姆招聘計(jì)劃

數(shù)學(xué)建模課堂討論題——如何制定合理的保姆招聘計(jì)劃討論組成員：2009級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班高江妮40912156廖宗國(guó)梓貴華40912024如何制定合理的保姆招聘計(jì)劃摘要本文主要討論如何制定合理的保姆招聘計(jì)劃以滿足公司對(duì)市場(chǎng)的需求，同時(shí)公司的支出盡量最小化，從而獲得最大的利潤(rùn)。針對(duì)問(wèn)題一，在不解雇保姆的前提下，尋求最優(yōu)的的招聘計(jì)劃，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，這樣就要求在以滿足市場(chǎng)需求為前提下盡量少招聘保姆。設(shè)出每個(gè)季度開(kāi)始的保姆數(shù)、招聘的保姆數(shù)，建立以四個(gè)季度保姆總數(shù)為變量的目標(biāo)函數(shù)，然后列出滿足四個(gè)季度需要的約束條件。在滿足約束條件的前提下，依次求出每個(gè)季度需要招聘的保姆數(shù)量，從而制定合理的招聘計(jì)劃，進(jìn)一步確定哪些季度招聘人數(shù)增加對(duì)招聘計(jì)劃的影響，并計(jì)算出增加的數(shù)量。針對(duì)問(wèn)題二，在公司允許解雇保姆的情況下，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，進(jìn)一步確定要求的優(yōu)化解。設(shè)出每個(gè)季度開(kāi)始的保姆數(shù)、招聘的保姆數(shù)以及每個(gè)季度結(jié)束后解雇的保姆數(shù)，建立以四個(gè)季度保姆總數(shù)為變量的目標(biāo)函數(shù)，并列出滿足四個(gè)季度需要的約束條件。在約束條件下求解最優(yōu)解，由于在求解的過(guò)程中，不能直接求出優(yōu)化解，只能采用近似簡(jiǎn)化的方法來(lái)求解。首先求出每個(gè)季度的平均每日工作人數(shù)，并把它作為一個(gè)列約束條件的標(biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)題目所給的條件，求出每個(gè)季度解雇人數(shù)的最大值，依次求出每個(gè)季度保姆人數(shù)的最小值，從而求出保姆總數(shù)的最小值。關(guān)鍵詞：保姆招聘計(jì)劃優(yōu)化模型最優(yōu)解近似簡(jiǎn)化。一、問(wèn)題的重述與分析保姆公司為顧主提供保姆服務(wù)，為了既要滿足市場(chǎng)的需求，又要達(dá)到公司贏利的目的，必須制定合理的保姆招聘計(jì)劃。不同季度的市場(chǎng)保姆需求量不同，以及不同情況下，公司對(duì)保姆的招聘數(shù)量需要計(jì)劃，同時(shí)也要優(yōu)化，從而達(dá)到雙贏。市場(chǎng)每個(gè)季度的需求量是一定的，作為公司的一方，人力資源必須做到充分而又合理的利用，既不要浪費(fèi)又要滿足市場(chǎng)的需求。所以在不允許解雇的情況下，同時(shí)又能滿足市場(chǎng)需求而盡量少招聘保姆。根據(jù)題目所給條件以及所求目標(biāo)，確定這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而需要建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，確定目標(biāo)函數(shù)，在約束條件下求最優(yōu)解。在公司不允許解雇保姆的情況下，制定合理的招聘計(jì)劃，不但要公司付出的報(bào)酬最少，而且要確定哪些季度需求的增加不會(huì)影響招聘計(jì)劃，進(jìn)一步求出需求增加的量；在公司允許在每個(gè)季度結(jié)束時(shí)解雇保姆的情況下，制定一個(gè)合理的計(jì)劃，使得公司付出的報(bào)酬最少。二、基本假設(shè)由于影響公司制定招聘計(jì)劃的因素很多，在這里忽略那些次要的因素，主要只考慮滿足每個(gè)季度的需要和公司付出的報(bào)酬；假設(shè)市場(chǎng)需求不會(huì)突然改變，國(guó)家的宏觀調(diào)控政策穩(wěn)定，公司經(jīng)營(yíng)理念不變；假設(shè)公司在每個(gè)季度開(kāi)始時(shí)招聘保姆，在每個(gè)季度結(jié)束時(shí)解雇保姆。三、符號(hào)的約定和名詞解釋?zhuān)捍杭镜谋Ｄ窋?shù)量；：夏季的保姆數(shù)量；：秋季的保姆數(shù)量；：冬季的保姆數(shù)量；：春季公司招聘的保姆數(shù)量；：夏季公司招聘的保姆數(shù)量；：秋季公司招聘的保姆數(shù)量；冬季公司招聘的保姆數(shù)量；春季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：夏季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：春季結(jié)束后公司解雇的保姆數(shù)量；：每個(gè)季度初始需求量；每個(gè)季度的需求量（i=1，2，3，4）；：季度需求增加量；：四個(gè)季度保姆總數(shù)的最小值；：一年四個(gè)季度公司最終付出的報(bào)酬；：每個(gè)季度平均每日所需的人數(shù)（i=1，2，3，4）。四、模型的建立為公司制定一個(gè)合理的保姆招聘計(jì)劃，不但要考慮到滿足各個(gè)季度的需求，還要使公司付出的報(bào)酬最少，由于每個(gè)月保姆的工資是相等的，所以只需要使四個(gè)季度保姆的總數(shù)最少即可，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求保姆總數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解。對(duì)保姆總數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，我們可以根據(jù)題目要求，分為下面兩種情況來(lái)討論。4.1模型一：公司不允許解雇保姆，請(qǐng)為公司制定下一年的招聘計(jì)劃，哪些季度增加不影響招聘計(jì)劃，增加多少？建立目標(biāo)函數(shù)：，滿足季度需求的約束條件：，，，，，，，，那么，進(jìn)一步分析出哪些季度的增加不影響公司招聘計(jì)劃以及增加的量，公司一年付出的最小報(bào)酬：.4.2公司允許解雇保姆，請(qǐng)為公司制定合理的招聘計(jì)劃補(bǔ)充假設(shè)假設(shè)公司的經(jīng)營(yíng)理念穩(wěn)定，每個(gè)季度結(jié)束以后，總是先讓保姆自愿離職，然后公司再進(jìn)行對(duì)保姆的解雇，而不考慮自動(dòng)離職和被解雇對(duì)象之間形成的重復(fù)現(xiàn)象；假設(shè)公司在每個(gè)季度開(kāi)始時(shí)，開(kāi)始招聘新保姆，而且這些保姆需要進(jìn)行5天的培訓(xùn)；假設(shè)一個(gè)季度以90天計(jì)算。建立模型建立目標(biāo)函數(shù)：，滿足公司經(jīng)營(yíng)方式和季度需求的約束條件：，，，，那么，公司一年付出的最小報(bào)酬為.五、模型的求解根據(jù)上述所建立的模型，針對(duì)題目中的兩個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步對(duì)所建立的模型求解，分別求出相應(yīng)的量和最優(yōu)解，解答兩個(gè)問(wèn)題。5.1求解模型一要使最小，那么只要使取得最小值，下面分別對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行求解。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，.，，即，春季的需求量可以增加，可以增加1800.，但是等春季結(jié)束后要有的保姆自動(dòng)離職，所以夏季開(kāi)始時(shí)，公司必須招人。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，取.那么，，，即，秋季的需求量可以增加，增加的量為1000.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，所以取，，.5.2求解模型二要使最小，那么只要使取得最小值，下面分別對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行求解。但是，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型二，不能直接解出各個(gè)量，所以在求解模型的過(guò)程中，要對(duì)模型進(jìn)行合理的分析簡(jiǎn)化，下面首先對(duì)模型的進(jìn)行簡(jiǎn)化。模型的簡(jiǎn)化公司在每個(gè)季度結(jié)束時(shí)，都會(huì)解雇一部分保姆，但是在每個(gè)季度開(kāi)始的時(shí)候，上個(gè)季度留下的保姆必須在前5天能夠滿足該季度市場(chǎng)的需求。那么，我們以每個(gè)季度每天需要人數(shù)的平均值為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行對(duì)解雇人數(shù)的近似計(jì)算。每個(gè)季度平均每日所需的人數(shù)：春季：，夏季：，秋季：，冬季：.那么，夏季，秋季，冬季前5天必須滿足約束條件：.模型的求解對(duì)模型而進(jìn)行簡(jiǎn)化以后，現(xiàn)在對(duì)模型進(jìn)行求解。根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，解出，.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.根據(jù)約束條件，由于要最小那么也必須最小，求得.六、模型的結(jié)果及分析根據(jù)以上模型的建立與求解，分別以表格的形式給出問(wèn)題一、二的結(jié)果，進(jìn)一步對(duì)所建模型的合理性與結(jié)果分析。6.1模型的求解結(jié)果針對(duì)題目要求，要分別對(duì)兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答，根據(jù)模型的求解，給出求解之后兩個(gè)模型的結(jié)果，并針對(duì)性的給出兩個(gè)問(wèn)題的答案。6.1.1模型一的求解結(jié)果表1——問(wèn)題一的結(jié)果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人數(shù)（）120117100143計(jì)劃招聘人數(shù)（）015058需求量增加是否影響招聘計(jì)劃（是/否）否是否是最大可增加需求量（）18001000公司一年付出的最小報(bào)酬（/元）根據(jù)表1給出的數(shù)據(jù)，可以看出春季和秋季需求的增加不影響招聘計(jì)劃；春季需求量可以增加1800人日，秋季需求量可以增加1000人日；在公司被允許解雇保姆的情況下，公司一年付出的最小報(bào)酬為4608000元。6.1.2模型二的求解結(jié)果表2——問(wèn)題二的結(jié)果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人數(shù)（）12011887144計(jì)劃招聘人數(shù)（）0342670季度末解雇人數(shù)（）18390每個(gè)季度平均每日所需的人數(shù)（）678462100公司一年付出的最小報(bào)酬（/元）在公司允許解雇保姆的情況下以及作出的合理假設(shè)和制定每個(gè)季度每天需要人數(shù)的平均值為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算得出表2的結(jié)果。根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，為公司制定的招聘計(jì)劃如下：春季、夏季、秋季、冬季招聘的人數(shù)分別為0、34、26、70；春季、夏季、秋季季度末解雇的人數(shù)分別為18、39、0；公司一年付出的最小報(bào)酬為3984000元。6.2模型的分析首先，對(duì)模型的可行性分析，建立的模型能夠滿足市場(chǎng)的需求，同時(shí)基本能夠保證公司付出的報(bào)酬最少，是一個(gè)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，所以模型的建立是可行。其次，從經(jīng)濟(jì)效益對(duì)所建立模型進(jìn)行分析，基本能夠同時(shí)滿足市場(chǎng)的需求和公司獲得最大利潤(rùn)，即能夠?qū)崿F(xiàn)公司與市場(chǎng)的雙贏。最后，對(duì)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析，模型是在假設(shè)市場(chǎng)需求不會(huì)突然改變，國(guó)家的宏觀調(diào)控政策穩(wěn)定，公司經(jīng)營(yíng)理念不變的情況下進(jìn)行的，所以所建立的數(shù)學(xué)模型基本上把風(fēng)險(xiǎn)降到最低。此外，在模型的求解過(guò)程中，運(yùn)用了很多的數(shù)學(xué)近似取舍思想，但是都是合乎實(shí)際，這樣使模型進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化，從而也優(yōu)化了模型。七、模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)所建立的數(shù)學(xué)模型，是在所給題目的背景下，通過(guò)合理的邏輯推理并簡(jiǎn)化得到的，具有一定的可行性，合理性，也符合實(shí)際生活的情景。因此，所建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)公司的招聘計(jì)劃、市場(chǎng)的需求以及公司的利潤(rùn)值具有一定的預(yù)見(jiàn)性，合理性和價(jià)值。但是，所建立的數(shù)學(xué)模型也存在很多的不足。在模型的建立過(guò)程中，有些地方模型的建立過(guò)于簡(jiǎn)單，在模型的求解中，沒(méi)有應(yīng)用任何數(shù)學(xué)軟件，也沒(méi)有應(yīng)用程序來(lái)解題，而是根據(jù)推理運(yùn)算得到結(jié)果，這樣是最終的