第八課期權(quán)定價(jià)模型

第八課期權(quán)定價(jià)模型?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002期權(quán)定價(jià)中的難點(diǎn)債券和股票的估價(jià)：貼現(xiàn)現(xiàn)金流期權(quán)的估價(jià)-

DCF不適用-給定到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的分布，可以很

容易地計(jì)算期權(quán)在到期日的收益-難于估計(jì)折現(xiàn)率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型要對(duì)期權(quán)進(jìn)展定價(jià)，我們需求知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢如何變動(dòng)簡(jiǎn)單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型-

在每個(gè)〔很短〕的時(shí)間間隔期末，股票價(jià)錢只能

有兩個(gè)能夠的取值-

當(dāng)時(shí)間間隔足夠短，這是很好的近似-

有利于解釋期權(quán)定價(jià)模型背后所包含的原理-

可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)展定價(jià)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期二項(xiàng)式模型收益率被定義為價(jià)錢的相對(duì)數(shù)期望收益率=1.1期望方差=0.09$140$80$100今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002經(jīng)過復(fù)制來給期權(quán)定價(jià)為了給衍生證券定價(jià)，可以構(gòu)造一個(gè)股票和無風(fēng)險(xiǎn)投資的組合來復(fù)制該衍生證券在到期日的收益這個(gè)組合稱為合成的衍生證券要使無套利成立，這個(gè)組合的價(jià)值必需等于買賣的衍生證券的價(jià)錢組合的合成等同于對(duì)沖?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002無套利原那么與

對(duì)衍生證券的定價(jià)今日到期日買賣的

衍生證券合成的

衍生證券收益一樣買賣的衍生證券的價(jià)值=合成的衍生證券〔組合〕的價(jià)值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期：給歐式看漲期權(quán)定價(jià)歐式看漲期權(quán)：

$40今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002組合(合成看漲期權(quán))=股票+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合復(fù)制了該期權(quán)在到期日的收益1.10=今天的$1投資在1年后的財(cái)富解方程組得到的負(fù)號(hào)意味者借入?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002

無套利要求 含義：p的值從未運(yùn)用過期望收益率無關(guān)緊要!?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)的普通化

今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002該組合復(fù)制了該看漲期權(quán)在到期日的收益解方程組得到： ，和無套利要求：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)很自然可以被解釋為是股票價(jià)錢上漲的概率(風(fēng)險(xiǎn)中性概率或等價(jià)鞅測(cè)度)可以被解釋為是該看漲期權(quán)在到期日的收益該期權(quán)的價(jià)值是它在到期日的期望收益按無風(fēng)險(xiǎn)利率折成的現(xiàn)值在下,?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Delta對(duì)沖組合

的符號(hào)為正，意味著投資由股股票和一個(gè)看漲期權(quán)空頭構(gòu)成的組合等價(jià)于無風(fēng)險(xiǎn)投資該組合經(jīng)常被稱為無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合，(delta)被稱為套頭比〔hedgeratio〕?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)價(jià)錢和股票價(jià)錢依賴于同一種不確定性來源無風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖組合可以用股票和期權(quán)來構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合必然獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率這導(dǎo)致了Black-Scholes偏微分方程(PDE)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes模型的假設(shè)完美的資本市場(chǎng)，沒有套利時(shí)機(jī)價(jià)錢的瞬間變動(dòng)服從動(dòng)搖率為常數(shù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)短期利率知，并且不隨時(shí)間發(fā)生變化在期權(quán)的有效期內(nèi)，標(biāo)的股票不發(fā)放股利?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票價(jià)錢的動(dòng)態(tài)過程延續(xù)時(shí)間模型假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)〔GBM〕其中：：期望收益率：動(dòng)搖率(假設(shè)為常數(shù))：規(guī)范Wiener過程?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002離散時(shí)間近似Z為Wiener過程，那么－其中是n(0,1)分布的一個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)－恣意互不重疊的兩期的的取值相互獨(dú)

立?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Wiener過程的特征的均值為0的方差為T-t的規(guī)范差為

?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票收益率的特征從時(shí)間t到T收益率的均值為從時(shí)間t到T收益率的方差為從時(shí)間t到T收益率的規(guī)范差為收益率的分布：，其中?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票收益率的分布股票價(jià)錢服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes偏微分方程

的導(dǎo)出

構(gòu)造一個(gè)組合，該組合的構(gòu)成如下：－1單位衍生證券的空頭－股股票多頭?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002組合的價(jià)值為：在跨度為的短期內(nèi)，它的價(jià)值的變動(dòng)為：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002由于該組合的收益率沒有不確定性，一切它必需等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。因此從上述兩個(gè)方程，就可以得到Black-Scholes偏微分方程：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002該偏微分方程不包括！投資者的偏好不起作用！任何其價(jià)錢依賴于標(biāo)的股票價(jià)錢的衍生證券都滿足上述偏微分方程不同的衍生證券，其價(jià)值取決于上述微分方程的邊境條件對(duì)于歐式看漲期權(quán)，邊境條件為對(duì)歐式期權(quán)解上述偏微分方程，就得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes公式

式中，

是規(guī)范正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes模型

在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)下的導(dǎo)出利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出期權(quán)在到期日的期望收益用無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期望收益進(jìn)展折現(xiàn)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002歐式看漲期權(quán)的價(jià)值由下式給出：由下式給出進(jìn)展一些簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就可以得到Black-Scholes公式?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002期權(quán)價(jià)錢的決議要素正的變化看漲期權(quán)看跌期權(quán)股票價(jià)錢,S

執(zhí)行價(jià)錢,X

動(dòng)搖率,

間隔到期日的時(shí)間,

無風(fēng)險(xiǎn)利率,r

現(xiàn)金股利,d

?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes公式的運(yùn)用,,年,〔按延續(xù)復(fù)利計(jì)息〕

以及 ?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002那么?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Delta對(duì)沖Delta()：期權(quán)價(jià)錢對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的變化比率對(duì)于歐式看漲期權(quán) ,對(duì)于歐式看跌期權(quán) ,?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002估計(jì)歷史動(dòng)搖率在間隔為年的期間觀測(cè)到計(jì)算延續(xù)復(fù)利估計(jì)動(dòng)搖率(規(guī)范差)每年的動(dòng)搖率：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002隱含動(dòng)搖率期權(quán)的隱含動(dòng)搖率是指讓根據(jù)公式計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)錢與市場(chǎng)價(jià)錢相等的動(dòng)搖率，即期權(quán)價(jià)錢與隱含動(dòng)搖率之間存在著一一對(duì)應(yīng)在柜臺(tái)市場(chǎng)〔OTC〕，買賣者和經(jīng)紀(jì)商經(jīng)常不是報(bào)貨幣價(jià)錢而是報(bào)隱含的收益率隱含動(dòng)搖率給出了市場(chǎng)總體對(duì)未來標(biāo)的股票在期權(quán)有效期內(nèi)的平價(jià)動(dòng)搖率的一致估計(jì)〔預(yù)期〕隱含動(dòng)搖率是前瞻性的?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002公司負(fù)債與股東權(quán)益股東權(quán)益相當(dāng)于擁有一個(gè)以D為執(zhí)行價(jià)錢的對(duì)于公司價(jià)值V的看漲期權(quán)EVD?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002公司負(fù)債與股東權(quán)益公司債務(wù)人相當(dāng)于擁有一個(gè)面值為D的無風(fēng)險(xiǎn)債券和同時(shí)出賣一個(gè)執(zhí)行價(jià)錢為D的看跌期權(quán)VDVD?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實(shí)物期權(quán)投資：有權(quán)選擇投資時(shí)機(jī)，獲得投資報(bào)答，但是沒有必需投資的義務(wù)。初始投資額就是執(zhí)行價(jià)錢，投資在未來產(chǎn)生的現(xiàn)金流就是資產(chǎn)價(jià)錢與傳統(tǒng)NPV分析的關(guān)鍵區(qū)別：-不確定性〔風(fēng)險(xiǎn)〕是有價(jià)值的！-管理彈性〔Managerialflexibility〕 戰(zhàn)略工具，但是大多數(shù)情況下難以準(zhǔn)確估價(jià)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實(shí)物期權(quán)的主要類型等待以在未來投資〔看漲期權(quán)〕放棄〔看跌期權(quán)〕彈性〔看漲期權(quán)〕后續(xù)投資〔看漲期權(quán)〕?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(1)傳統(tǒng)的NPV：要么如今投資，要么永不投資但第三種選擇是等待以在未來投資期權(quán)價(jià)值內(nèi)在價(jià)值(IV)+時(shí)間價(jià)值(TV)TV=可以等待的價(jià)值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(2)決策法那么傳統(tǒng)的NPV接受工程，假設(shè)NPV>0，即IV>0實(shí)物期權(quán)接受工程，假設(shè)NPV>期權(quán)價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)更大的工程期權(quán)價(jià)值更高?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(3)：例子石油公司獲得某區(qū)塊的5年期開采權(quán)NPV<0回絕但是假設(shè)石油價(jià)錢上漲，或者隨著技術(shù)的提高可以提高石油產(chǎn)量，那么應(yīng)該推遲到未來再投資?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002撤資期權(quán)撤資：封鎖企業(yè)的權(quán)益，即以出賣價(jià)錢為執(zhí)行價(jià)錢的看跌期權(quán)公司情愿接受暫時(shí)的損失來謀求在未來可以抓住盈利的時(shí)機(jī)決策法那么：NPV(撤資)>期權(quán)價(jià)值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002彈性期權(quán)汽車制造商在數(shù)個(gè)國(guó)家都有消費(fèi)設(shè)備雙燃料鍋爐，可以選擇燒油還是燒煤比較一家大型電廠與兩家或更多的小型電廠?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002后續(xù)期權(quán)初始投資產(chǎn)生了后續(xù)工程的投資時(shí)機(jī)例子：R&D,在新興市場(chǎng)特別是開展中國(guó)家的投資決策法那么:NPV+后續(xù)期權(quán)的價(jià)值>0?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實(shí)物期權(quán)與金融期權(quán)

之間的對(duì)應(yīng)實(shí)物期權(quán)

金融期權(quán)

期望現(xiàn)金流的現(xiàn)值

股票價(jià)錢獲得工程資產(chǎn)所需的投資

執(zhí)行價(jià)錢決策可以延遲的時(shí)間長(zhǎng)度

距到期日的時(shí)間長(zhǎng)度貨幣的時(shí)間價(jià)值

無風(fēng)險(xiǎn)利率現(xiàn)金流的不確定性

收益率的動(dòng)搖率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002關(guān)于實(shí)物期權(quán)的進(jìn)一步閱讀資料MarthaAmramandNalinKulatilaka,RealOptions:ManagingStrategicInvestmentsinanUncertainWorld,HarvardB