電路分析基礎(chǔ)第七章

第二篇?jiǎng)討B(tài)電路的時(shí)域分析第五章電容元件與電感元件第六章一階電路第七章二階電路包含一個(gè)電容和一個(gè)電感、或兩個(gè)電容、或兩個(gè)電感的動(dòng)態(tài)電路稱(chēng)為二階電路。二階電路一般用一個(gè)二階微分方程或兩個(gè)聯(lián)立的一階微分方程來(lái)描述。二階電路中可包含任意數(shù)目的電阻、獨(dú)立源和受控源。二階電路仍然可運(yùn)用分解方法進(jìn)行分析。本章只分析含電感和電容的二階電路。第七章二階電路§7.1LC電路中的正弦振蕩§7.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)§7.3RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)§7.4GCL并聯(lián)電路的分析上一章只涉及到一個(gè)儲(chǔ)能元件，儲(chǔ)能形式為電場(chǎng)能量或磁場(chǎng)能量。本章由于涉及到電感和電容兩個(gè)儲(chǔ)能元件，且它們分別儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量和電場(chǎng)能量，那么，這樣的電路又具有什么特點(diǎn)？為了突出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從研究一個(gè)只由電容和電感組成的電路的零輸入響應(yīng)開(kāi)始，且設(shè)電容的初始電壓為U0，電感的初始電流為零。顯然，初始時(shí)刻，能量全部?jī)?chǔ)于電容中，電感中沒(méi)有儲(chǔ)能。這時(shí)，電路中的電流雖然為零，但電流的變化率不為零。為什么？這是因?yàn)殡姼械碾妷罕仨毜扔陔娙蓦妷?即U0。根據(jù)uL=LdiL/dt,則意味著diL/dt≠0。因此，電感中的電流開(kāi)始增長(zhǎng)，原來(lái)存儲(chǔ)于電容中的能量就開(kāi)始發(fā)生轉(zhuǎn)移。隨著電容放電、電流增長(zhǎng)，能量逐漸轉(zhuǎn)移到電感的磁場(chǎng)中。當(dāng)電容電壓下降到零的瞬間，電感電壓也為零，因而，diL/dt=0，電流達(dá)到最大值I，此時(shí)，電容的儲(chǔ)能全部轉(zhuǎn)化到電感中。上述變化見(jiàn)下頁(yè)圖(a)和(b)。電容電壓為零時(shí)，其變化率并不為零，因?yàn)殡娙葜械碾娏鞅仨毜扔陔姼兄械碾娏鳎译姼兄械碾娏鞑荒芡蛔?，因而，電容在此電流作用下又被充電，但極性與以前不同。當(dāng)電感中電流下降到零的瞬間，能量又再度全部?jī)?chǔ)于電容中，電容電壓又達(dá)到了U0，只是極性相反，如前圖(c)所示。以后，電容又開(kāi)始放電，只是電流方向與第一次相反，重復(fù)上述過(guò)程。到圖(e)循環(huán)一個(gè)周期，回到初始狀態(tài)。由此可見(jiàn)，在由電容和電感兩種不同儲(chǔ)能元件構(gòu)成的電路中，隨著儲(chǔ)能在電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的往返轉(zhuǎn)移，電路中的電流和電壓將不斷地改變大小和極性，形成周而復(fù)始的振蕩。這種由初始儲(chǔ)能維持的振蕩是一種等幅振蕩。如果電路中存在電阻，儲(chǔ)能終將被電阻消耗殆盡，振蕩不可能是等幅的，且幅度將逐漸衰減而趨于零。這種振蕩稱(chēng)為阻尼振蕩或衰減振蕩。如果電阻較大，儲(chǔ)能在初次轉(zhuǎn)移時(shí)其大部分就可能被電阻所消耗，因而不可能發(fā)生儲(chǔ)能在電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的往返轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，電流、電壓終將衰減為零，但不產(chǎn)生振蕩。下面對(duì)LC回路中振蕩的變化方式作進(jìn)一步分析。設(shè)LC回路如圖所示，且設(shè)L=1H，C=1F，uC(0)=1V，iL(0)=0。根據(jù)元件的VCR可得：

這是描述該二階電路的兩個(gè)聯(lián)立的一階微分方程。

該兩式表明：電流的存在要求有電壓的變化；電壓的存在也要求有電流的變化。因此，電壓、電流都必須處于不斷的變化狀態(tài)之中。結(jié)合初始條件：

因此，LC回路中的等幅振蕩是按正弦方式隨時(shí)間變化的。第七章二階電路§7.1LC電路中的正弦振蕩§7.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)§7.3RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)§7.4GCL并聯(lián)電路的分析設(shè)含有電感和電容的二階電路如圖(a)所示，運(yùn)用戴維南定理可得圖(b)所示的RLC串聯(lián)電路。寫(xiě)出每一個(gè)元件的VCR如下：這是一個(gè)線(xiàn)性二階常系數(shù)微分方程，未知量為uC(t)。為求出解答，需要兩個(gè)初始條件，即uC(0)和duC/dtt=0。uC(0)是其中一個(gè)初始狀態(tài)，另一個(gè)初始狀態(tài)可通過(guò)下式得到，即：而i(0)就是iL(0)，即電感的初始狀態(tài)。因此，根據(jù)電路的初始狀態(tài)uC(0)、iL(0)和t≥0時(shí)電路的激勵(lì)就可完全確定t≥0時(shí)的響應(yīng)uC(t)。對(duì)于零輸入響應(yīng)，則有uOC(t)=0，微分方程變成：

特征方程如下：

根據(jù)特征根公式：解得特征根為：特征根又稱(chēng)為固有頻率。而特征根根據(jù)R、L、C數(shù)值不同具有四種不同的情況：1、當(dāng)時(shí)，即

時(shí)，S1、S2

為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，其響應(yīng)形式為：稱(chēng)為過(guò)阻尼2、當(dāng)時(shí),S1、S2

為兩相等的負(fù)實(shí)根，其響應(yīng)為：稱(chēng)為臨界阻尼稱(chēng)為臨界電阻3、當(dāng)時(shí)，即

時(shí)，S1、S2

為一對(duì)共軛復(fù)根：稱(chēng)為欠阻尼。響應(yīng)形式為：式中：；;4、當(dāng)R=0時(shí)，即＝0時(shí)，S1、S2

為一對(duì)共軛虛根：稱(chēng)為無(wú)阻尼。則響應(yīng)形式為第七章二階電路§7.1LC電路中的正弦振蕩§7.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)§7.3RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)§7.4GCL并聯(lián)電路的分析如果在下圖所示電路中，uOC(t)=US(t≥0)，則可得如下微分方程：該方程右端不為零，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為非齊次方程。非齊次方程的解由兩部分組成。其一是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，即前面給出的零輸入響應(yīng)，一般稱(chēng)為固有響應(yīng)或瞬態(tài)響應(yīng)；其二為非齊次方程的特解，又稱(chēng)為強(qiáng)迫響應(yīng)或穩(wěn)態(tài)解。齊次解的形式隨特征根性質(zhì)而定，而特解的形式一般與方程右端的函數(shù)有關(guān)。對(duì)于滿(mǎn)足的特解是uCp=US(t≥0)。因此，若特征根是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，則電路的全響應(yīng)可表示為：第七章二階電路§7.1LC電路中的正弦振蕩§7.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)§7.3RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)§7.4GCL并聯(lián)電路的分析把該式與上節(jié)的RLC串聯(lián)電路方程進(jìn)行對(duì)比：可以發(fā)現(xiàn)：把串聯(lián)電路方程中的uC換成iL，L換成C，C換成L，R換成G，uOC換成iSC，就會(huì)得到并聯(lián)電路方程。也就是說(shuō)，RLC串聯(lián)電路與G