人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第四單元：尋找不變量問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）

六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第四單元：尋找不變量問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）1．甲、乙兩人原有卡通圖片的比6∶5，后來(lái)甲又得180張，乙又得30張，這時(shí)甲、乙兩人的卡通圖片的比為18∶11，原來(lái)兩人各有多少?gòu)?？【答案】原?lái)甲有360張，乙有300張【分析】設(shè)甲原來(lái)有6x張，乙有5x張，于是依據(jù)“甲后來(lái)的張數(shù)∶乙后來(lái)的張數(shù)＝18∶11”，據(jù)此即可列比例求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)甲原來(lái)有6x張，乙有5x張，（6x＋180）∶（5x＋30）＝18∶1118×（5x＋30）＝11×（6x＋180）90x＋540＝66x＋198090x＋540－540＝66x＋1980－54090x＝66x＋144090x－66x＝66x＋1440－66x24x＝144024x÷24＝1440÷24x＝606×60＝360（張）5×60＝300（張）答：原來(lái)甲有360張，乙有300張?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是弄清楚題目中的數(shù)量關(guān)系，列比例即可求解。2．花園書屋和新苑書屋故事書的數(shù)量比是7∶11，周末他們各進(jìn)了39本故事書后，這時(shí)花園書屋的故事書數(shù)量是新苑書屋的?；▓@書屋、新苑書屋原來(lái)各有多少本故事書？（請(qǐng)用方程解答）【答案】花園書屋的故事書有91本，新苑書屋的故事書有143本【分析】由題意可知，設(shè)花園書屋的故事書有7x本，新苑書屋的故事書有11x本，根據(jù)等量關(guān)系式：花園書屋的故事書＋39＝（新苑書屋的故事書＋39）×，據(jù)此列方程解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)花園書屋的故事書有7x本，新苑書屋的故事書有11x本。7x＋39＝（11x＋39）×7x＋39＝x＋x＝x＝137×13＝91（本）11×13＝143（本）答：花園書屋的故事書有91本，新苑書屋的故事書有143本。【點(diǎn)睛】本題考查用方程解決問(wèn)題，明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。3．修路隊(duì)修一條路，已修的路程與剩下的路程比是2∶3，如果再修560米，已修路程正好是全長(zhǎng)的，這條路一共多長(zhǎng)？【答案】1600米【分析】把這條路的全長(zhǎng)看作單位“1”，已修的路程與剩下的路程比是2∶3，即已修的路程占全長(zhǎng)的；再修560米，已修路程正好是全長(zhǎng)的，得出560米占全長(zhǎng)的（－），根據(jù)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”，用除法計(jì)算，求出這條路的全長(zhǎng)?！驹斀狻?60÷（－）＝560÷（－）＝560÷（－）＝560÷＝560×＝1600（米）答：這條路一共長(zhǎng)1600米?！军c(diǎn)睛】把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)除法的意義列式計(jì)算，找出560米占全長(zhǎng)的幾分之幾是解題的關(guān)鍵。4．有A、B兩桶油，A桶油的質(zhì)量與B桶油的質(zhì)量比是3∶2，如果從A桶倒入B桶21千克的油，A桶油與B桶油的質(zhì)量比是4∶5。原來(lái)A、B兩桶油各多少千克？【答案】81千克；54千克【分析】將兩桶油的總質(zhì)量看作單位“1”，原來(lái)A桶油占總質(zhì)量的；倒入B桶21千克的油后，A桶油占總質(zhì)量的，A桶油減少了總質(zhì)量的（－），用A桶油減少的質(zhì)量÷對(duì)應(yīng)分率＝兩桶油的總質(zhì)量；總質(zhì)量÷原來(lái)總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘原來(lái)兩桶油的對(duì)應(yīng)份數(shù)，即可求出兩桶油的質(zhì)量?！驹斀狻?1÷（－）＝21÷（－）＝21÷＝135（千克）135÷（3＋2）＝135÷5＝27（千克）27×3＝81（千克）27×2＝54（千克）答：原來(lái)A、B兩桶油各81千克、54千克?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是確定單位“1”，理解比的意義，掌握按比分配問(wèn)題的解題方法。5．某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲、乙兩個(gè)車間職工人數(shù)的比是4∶3，把甲車間職工的調(diào)入乙車間，這時(shí)乙車間職工比甲車間多2人，原來(lái)甲、乙兩車間各有職工多少人？【答案】甲：24人；乙：18人【分析】結(jié)合題意，可把甲乙兩個(gè)車間的職工總?cè)藬?shù)看作單位“1”，則甲車間職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，乙車間職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的；因?yàn)榘鸭总囬g職工的調(diào)入乙車間，甲車間職工人數(shù)的就是：×＝；此時(shí)，甲車間職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的（－），乙車間職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的（＋）；又已知乙車間職工比甲車間多2人，則2人對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)是乙車間職工人數(shù)占比與甲車間職工人數(shù)占比之差，根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)用除法計(jì)算，可列式為：2÷[（＋）－（－）]，求得的結(jié)果是甲乙兩個(gè)車間職工總?cè)藬?shù)，再分別乘原來(lái)甲乙車間職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的分率，可得到原來(lái)甲、乙兩車間各有職工多少人。【詳解】4÷（4＋3）＝4÷7＝3÷（4＋3）＝3÷7＝×＝2÷[（＋）－（－）]＝2÷[－]＝2÷＝42（人）42×＝24（人）42×＝18（人）答：原來(lái)甲車間有職工24人，乙車間有職工18人。【點(diǎn)睛】綜合考查了有關(guān)比的應(yīng)用、分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，其中，分?jǐn)?shù)除法列式前，要先考慮單位“1”，以及把具體數(shù)量與分率相對(duì)應(yīng)。6．甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)比4∶3，從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲、乙兩個(gè)車間現(xiàn)有人數(shù)比2∶3，甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)各多少人？【答案】甲車間160人；乙車間120人【分析】從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲乙兩車間的總?cè)藬?shù)不變，原來(lái)甲占兩車間總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在甲占兩車間總?cè)藬?shù)的，兩個(gè)分率之差對(duì)應(yīng)從甲車間調(diào)去乙車間的人數(shù)，根據(jù)“量÷對(duì)應(yīng)的分率”求出兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)比的應(yīng)用求出甲、乙兩車間原有的人數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?8÷（－）＝48÷（－）＝48÷＝280（人）甲：280×＝160（人）乙：280×＝120（人）答：甲車間原有160人，乙車間原有120人。【點(diǎn)睛】抓住題中的不變量，并利用分?jǐn)?shù)除法求出兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)是解答題目的關(guān)鍵。7．甲乙兩桶汽油，汽油重量之比為3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，則甲乙汽油重量之比變?yōu)?∶7，則原來(lái)兩桶汽油一共有多少千克？【答案】75千克【分析】設(shè)原來(lái)兩桶汽油一共有x千克，汽油從甲桶倒向乙桶，總質(zhì)量沒(méi)變，汽油總質(zhì)量÷原來(lái)總份數(shù)×原來(lái)甲桶對(duì)應(yīng)份數(shù)－汽油總質(zhì)量÷現(xiàn)在總份數(shù)×現(xiàn)在甲桶對(duì)應(yīng)份數(shù)＝5千克，據(jù)此列出方程解答即可。【詳解】解：設(shè)原來(lái)兩桶汽油一共有x千克。x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5x÷5×3－x÷15×8＝5x－x＝5x×15＝5×15x＝75答：原來(lái)兩桶汽油一共有75千克?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵理解比的意義，明白總質(zhì)量不變，找到等量關(guān)系列出方程解答即可。8．未未和萊拉原有圖書數(shù)量的比是2∶3，未未又買來(lái)24本書后，未未和萊拉現(xiàn)在圖書數(shù)量的比是6∶7，則原來(lái)未未有多少本書？萊拉有多少本書？【答案】84本；126本【分析】設(shè)原來(lái)共有x本書，未未又買來(lái)24本書后，現(xiàn)在共有（x＋24）本，萊拉的圖書數(shù)量沒(méi)變，根據(jù)原來(lái)總本數(shù)÷原來(lái)總份數(shù)×原來(lái)萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)＝現(xiàn)在總本數(shù)÷現(xiàn)在總份數(shù)×現(xiàn)在萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)，列出方程，求出x的值是原來(lái)總本數(shù)，原來(lái)總本數(shù)÷原來(lái)總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘原來(lái)未未和萊拉的對(duì)應(yīng)份數(shù)即可求出他們?cè)瓉?lái)的本數(shù)?！驹斀狻?＋3＝5（份）6＋7＝13（份）解：設(shè)原來(lái)共有x本書。x÷5×3＝（x＋24）÷13×7x＝（x＋24）x＝x＋x－x＝x＋－xx×＝×x＝210210÷（2＋3）＝210÷5＝42（本）42×2＝84（本）42×3＝126（本）答：原來(lái)未未有84本書，萊拉有126本書。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，用方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。9．大寶和小寶一起喝湯圓，本來(lái)大寶碗里的和小寶碗里的個(gè)數(shù)之比為2∶3，后來(lái)大寶想要減肥，又夾了4個(gè)湯圓到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里湯圓之比為1∶2，求兩人一共有多少個(gè)湯圓？【答案】60個(gè)【分析】?jī)扇说臏珗A總數(shù)不變，開(kāi)始時(shí)總數(shù)為5份，當(dāng)大寶想要減肥，又夾了4個(gè)湯圓到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里湯圓之比為1∶2，總數(shù)為3份，進(jìn)行份數(shù)統(tǒng)一，找3和5的最小公倍數(shù)15，則假設(shè)湯圓總數(shù)為15份，則原來(lái)兩人湯圓數(shù)量之比為，現(xiàn)在兩人湯圓數(shù)量之比為，大寶湯圓數(shù)量由原來(lái)的6份變?yōu)?份，減少1份，這一份是4個(gè)湯圓，據(jù)此解答即可?！驹斀狻看髮殰珗A數(shù)量由原來(lái)的6份變?yōu)?份，減少1份，這1份是4個(gè)湯圓一共有：（個(gè)）答：兩人一共有60個(gè)湯圓。【點(diǎn)睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握兩人湯圓總量不變。10．甲、乙兩袋淀粉的質(zhì)量比是5∶2，從甲袋中取出130g放入乙袋中，甲乙兩袋淀粉的質(zhì)量比是6∶5，原來(lái)甲袋中有淀粉多少g？【答案】550g【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩袋淀粉的總質(zhì)量不變，把兩袋淀粉的總質(zhì)量看作單位“1”；原來(lái)甲袋淀粉占總質(zhì)量的，從甲袋中取出130g放入乙袋中，則后來(lái)甲袋淀粉占總質(zhì)量的；取出的130g淀粉所對(duì)應(yīng)的分率是（－），用除法計(jì)算，求出單位“1”的量，即兩袋淀粉的總質(zhì)量，再乘，即可求出原來(lái)甲袋的淀粉質(zhì)量?！驹斀狻考住⒁覂纱矸鄣目傎|(zhì)量：130÷（－）＝130÷（－）＝130÷（－）＝130÷＝130×＝770（g）甲袋原有淀粉：770×＝770×＝550（g）答：原來(lái)甲袋中有淀粉550g?！军c(diǎn)睛】抓住甲、乙兩袋淀粉的總質(zhì)量不變，以及求出130g淀粉所對(duì)應(yīng)的分率是解題的關(guān)鍵。11．六年級(jí)學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)興趣小組，參加的同學(xué)是六年級(jí)總?cè)藬?shù)的，后來(lái)又有20人參加，這時(shí)參加的同學(xué)與未參加同學(xué)的人數(shù)比是3∶4。六年級(jí)一共有多少人？【答案】210人【分析】把六年級(jí)的學(xué)生總數(shù)看作單位“1”，原來(lái)參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，后來(lái)又參加的20人對(duì)應(yīng)的分率為兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分率之差，利用“量÷對(duì)應(yīng)的分率”即可求得六年級(jí)的總?cè)藬?shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝210（人）答：六年級(jí)一共有210人?！军c(diǎn)睛】題中六年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)不變，找出后來(lái)又參加人數(shù)對(duì)應(yīng)的分率是解答題目的關(guān)鍵。12．湖濱新區(qū)兩個(gè)學(xué)校教師流動(dòng)，甲乙兩學(xué)校教師人數(shù)之比為7∶3，如果從甲學(xué)校調(diào)出30人到乙學(xué)校，那么甲、乙兩學(xué)校教師人數(shù)之比為3∶2，問(wèn)這兩個(gè)學(xué)校原來(lái)教師人數(shù)共多少人？【答案】300人【分析】把兩個(gè)學(xué)校教師的總?cè)藬?shù)看作單位“1”，兩個(gè)學(xué)校教師的總?cè)藬?shù)不變，原來(lái)甲學(xué)校老師人數(shù)占兩個(gè)學(xué)校教師總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在甲學(xué)校老師人數(shù)占兩個(gè)學(xué)校教師總?cè)藬?shù)的，兩個(gè)分率之差對(duì)應(yīng)甲學(xué)校調(diào)出的教師人數(shù)，根據(jù)“量÷對(duì)應(yīng)的分率”即可求得兩個(gè)學(xué)校教師的總?cè)藬?shù)?！驹斀狻?0÷（－）＝30÷（－）＝30÷＝300（人）答：這兩個(gè)學(xué)校原來(lái)教師人數(shù)共300人?！军c(diǎn)睛】抓住題中的不變量并找出甲學(xué)校調(diào)出人數(shù)占總?cè)藬?shù)的分率是解答題目的關(guān)鍵。13．甲、乙兩瓶藥液質(zhì)量的比是4∶1，如果從甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙兩瓶藥液質(zhì)量的比變成了7∶5，甲、乙兩瓶藥液原來(lái)各有多少克？【答案】甲液原來(lái)有48克、乙藥液原來(lái)有12克?！痉治觥考滓覂善克幰旱馁|(zhì)量之和沒(méi)有發(fā)生變化，則原先甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做5份，現(xiàn)在甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做12份，統(tǒng)一成60份后，甲藥液由原來(lái)的48份，變成現(xiàn)在的35份，少了13份，每一份是1克，據(jù)此求出甲、乙兩瓶藥液原來(lái)各有多少克即可?！驹斀狻?∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶127∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶2513÷（48－35）＝13÷13＝1（克）甲：1×48＝48（克）乙：1×12＝12（克）答：甲液原來(lái)有48克、乙藥液原來(lái)有12克?！军c(diǎn)睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握按比分配解決問(wèn)題的方法。14．學(xué)校圖書室故事書占總數(shù)的，再買進(jìn)400本故事書，這時(shí)故事書與其他書本數(shù)比是4∶5，原來(lái)有多少本書？【答案】5000本【分析】學(xué)校圖書室故事書占總數(shù)的，把故事書看作2份，其他書本數(shù)是5－2＝3份，把其他書本數(shù)看作單位“1”，故事書占其他書本數(shù)的，再買進(jìn)400本故事書，這時(shí)故事書占其他書本數(shù)的，400所對(duì)應(yīng)的分率是（－），用400除以其所對(duì)應(yīng)的分率就是其他書的本數(shù)，其他書的本數(shù)×＝故事書的本書，最后相加就是原來(lái)有多少本書?！驹斀狻科渌麜緮?shù)：400÷（－）＝400÷（－）＝400÷＝3000（本）原來(lái)故事書本數(shù)：3000×＝2000（本）3000＋2000＝5000（本）答：原來(lái)有5000本書?！军c(diǎn)睛】把其他書本數(shù)看作單位“1”，進(jìn)而找出“再買進(jìn)400本故事書”所對(duì)應(yīng)的分率是解題的關(guān)鍵。15．某學(xué)校六年級(jí)加入公益活動(dòng)和沒(méi)加入公益活動(dòng)的人數(shù)之比是8∶5，后來(lái)又有20名學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，這時(shí)參與公益活動(dòng)與沒(méi)參與的人數(shù)之比是10∶3，這個(gè)年級(jí)有多少名學(xué)生？【答案】130名【分析】總?cè)藬?shù)沒(méi)變，即單位“1”沒(méi)變，用20名學(xué)生÷對(duì)應(yīng)分率＝總?cè)藬?shù)，據(jù)此列式解答。【詳解】20÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝130（名）答：這個(gè)年級(jí)有130名學(xué)生?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是確定單位“1”，理解分?jǐn)?shù)除法和比的意義。16．張麗同學(xué)看一本童話書，已看頁(yè)數(shù)與未看頁(yè)數(shù)的比是1∶5，如果再看60頁(yè)，已看的頁(yè)數(shù)就占總頁(yè)數(shù)的一半。這本童話書共多少頁(yè)？【答案】180頁(yè)【分析】把這本書的總頁(yè)數(shù)看成單位“1”，原來(lái)已看的頁(yè)數(shù)與未看的頁(yè)數(shù)比是1：5，那么原來(lái)已看的頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的，后來(lái)已經(jīng)看得頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的，它們的差對(duì)應(yīng)的數(shù)量是60頁(yè)，用除法求出總頁(yè)數(shù)?！驹斀狻浚剑剑剑剑?yè)）答：這本童話書共180頁(yè)?！军c(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是找出單位“1”，并找出單位“1”的幾分之幾對(duì)應(yīng)的數(shù)量，用除法就可以求出單位“1”的量。17．甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是。若從甲筐取放入乙筐，則甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是。甲筐原來(lái)有蘋果多少千克？【答案】【分析】因甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是，可知乙筐蘋果是總質(zhì)量的，從甲筐取放入乙筐，則甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是，這時(shí)乙筐蘋果是總質(zhì)量的，也就是20公斤對(duì)應(yīng)著（－），用除法求出蘋果的總質(zhì)量，據(jù)此解答?！驹斀狻?/p>

＝20÷＝90（kg）答：甲筐原來(lái)有蘋果?！军c(diǎn)睛】理解從甲筐中取中20千克放入乙筐后，乙筐蘋果的質(zhì)量由占總質(zhì)量的變成占質(zhì)量的，從而求出蘋果的總質(zhì)量是解答此題的關(guān)鍵。18．甲、乙兩箱粉筆盒數(shù)的比是5∶1，如果從甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙兩箱粉筆盒數(shù)的比是7∶5。甲箱原來(lái)有多少盒粉筆？【答案】40盒【分析】先將前后兩個(gè)比的總份數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，再求出前后兩個(gè)比的份數(shù)差，通過(guò)兩個(gè)比份數(shù)差的變化，求出從甲箱取走的份數(shù)，求出一份數(shù)，用一份數(shù)×原來(lái)甲的份數(shù)即可。【詳解】5∶1＝10∶210－2＝8（份）7－