2023屆山東省濟(jì)南一中等四校高三年級下冊第四次校內(nèi)診斷考試數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省濟(jì)南一中等四校高三下學(xué)期第四次校內(nèi)診斷考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處〃。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（x-'+l）5展開項中的常數(shù)項為

X

A.1B.11C.-19D.51

22

2.過雙曲線C:=-2=1（〃>0,〃>0）的右焦點F作雙曲線C的一條弦45,且￡4+/8=0,若以AB為直徑的圓經(jīng)

a2b~

過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）

A.y[2B.6C.2D.V5

3,若函數(shù)/（x）=e國-〃1尸有且只有4個不同的零點，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

、(9\

e1、-00：

—,+00,+00C.IV

4)7

兀

4.已知非零向量班滿足〃.八⑷=3,且〃與的夾角為“則|昨（）

A.6B.3亞C.272D.3

3—x

5.已知集合4={1€2|---->0},5={yeN|y=x-1,x^A},則AU5=()

x+2

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.(0,1,2}D.{x-lSr<2}

x

6.設(shè)尸={y,=—3+1,XGR},Q={y\y=2,xGR},貝Ij

A.PQQB.QGP

C.CRP^QD.QfP

7.已知數(shù)列｛《,｝是公比為q的等比數(shù)列，且卬，的，成等差數(shù)列，則公比q的值為（）

1-1-1

A.一一B.-2C.-1或一D.1或一一

222

8.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為（）

|正促間于L不閥處

O＞z

A.7九B.6萬C.5乃D.44

9.如圖，雙曲線C:Y0~—去V'=1（。＞0力〉0）的左，右焦點分別是6（—。,0），6（。,0）,直線）=村he與雙曲線。的兩

條漸近線分別相交于A8兩點,若NB46=三TT,則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.亞1

3

C.0D.正

3

10.若復(fù)數(shù)二滿足（l+i）z=i（i是虛數(shù)單位），貝!|z的虛部為（)

111.

A.-B.--C.-1D.--i

2222

22

11已知圓/+丫2-4》+2丫+1=0關(guān)于雙曲線。：［一4=1（。＞0,。＞0）的一條漸近線對稱，則雙曲線。的離心率

a2b2I

為()

5

A.V5B.5C.也D.-

24

若忖=*且2。一目=6},

12.已知非零向量a、b，則向量方在向量a方向上的投影為（)

郛B.

A.軸c?-郛D.-軸

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若(2—x)=4+q(1+x)+a2(1+x)-++a7(l+x)，則/+囚+出++4+%三__，a°=___.

14.已知x,yeA,i為虛數(shù)單位，且*一2?一丁=-l+i,則x+y=.

15.給出下列四個命題，其中正確命題的序號是.(寫出所有正確命題的序號)

①因為"x+1上sinx,所以!不是函數(shù)y=sinx的周期；

②對于定義在R上的函數(shù)/(x),若/(-2)。/(2),則函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)；

③“〃>N”是“/。82〃>/。82%”成立的充分必要條件；

④若實數(shù)。滿足/44,則aV2.

16.已知|《=W=2,(a+2b)-(a-4=-2,則a與》的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐E-A8CD的側(cè)棱OE與四棱錐F-ABCD的側(cè)棱8F都與底面ABC。垂直，ADVCD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF=3y/2.

(1)證明：。尸〃平面3CE.

(2)設(shè)平面A3尸與平面car所成的二面角為〃，求cos26.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln(ar)-a,(a>0).

(1)若函數(shù)〃(x)="/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)”的值；

(2)定義：若直線/：y=Ax+人與曲線G：/(x,y)=()、。2：6(%》)=。都相切，我們稱直線/為曲線G、C2的公

切線，證明:曲線/(x)=ln(ar)-a,(a>0)與g(x)=a/,(a>0)總存在公切線.

19.(12分)設(shè)P(〃，=Q5,〃?)=€1；:，其中“，?eN\

(1)當(dāng)加=1時，求P5，1)Q(〃，D的值;

⑵對TmeN*,證明：「(〃，機(jī))，。(〃，M恒為定值.

20.（12分）已知a>0,證明:

21.（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年

學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績（單位:

分）統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下：

男女

647

3579

038656

1471356

5818

（I）試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù)；

（II）從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組（每組人數(shù)不少于5000）,并在每組中隨機(jī)選取，〃個人作

為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作

為概率，給出團(tuán)的最小值.（結(jié)論不要求證明）

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=(a-x)e*+Zu-clnx.

（1）若a=3,c=0時，/（x）在（0,+吟上單調(diào)遞減，求。的取值范圍;

(2)若a=2,Z?=4?c=4,求證：當(dāng)x>l時，/W<16—8In2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.

【詳解】

展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：

(1)5個括號都出1,即7=1；

(2)兩個括號出x,兩個括號出(-工)，一個括號出1,即7=仁52.仁.(一32」=30；

XX

(3)一個括號出x,一個括號出(—,)，三個括號出1,即7=。卜力。：<一!)-1=一20；

xx

所以展開項中的常數(shù)項為7=1+30-20=11,故選B.

【點睛】

本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.

2、C

【解析】

由E4+EB=0得尸是弦48的中點.進(jìn)而得A8垂直于x軸，得￡=。+/再結(jié)合仇c關(guān)系求解即可

a

【詳解】

因為E4+EB=0,所以尸是弦AB的中點.且A5垂直于x軸.因為以A5為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以

川//r

一-a+c,即-------=a+c,貝！Jc-a=a,故e=—=2.

aaa

故選：C

【點睛】

本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

由/(力=即-加？是偶函數(shù)，則只需/(x)=陰-蛆2在x?0,”)上有且只有兩個零點即可.

【詳解】

解：顯然/(x)=*-〃1是偶函數(shù)

所以只需X€(0,+8)時，32="一如2有且只有2個零點即可

令e*-iwc=0>貝!I根=二

X'

令g(x)喙，g'(x)=，(:[2)

xw(O,2),g<x)<O,g(x)遞減，且xf(T,g(x)f+oo

x￡(2,+◎，/(%)>O,g(x)遞增，且xf+oo,g(x)f-

,2

g(x)>g(2)=—

XG(0,+8)時，/(?￥)=川-初/=，一初￡有且只有2個零點，

e?

只需加〉一

4

故選：B

【點睛】

考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.

4,D

【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】

兀

解：非零向量(7，匕滿足4.0=0，可知兩個向量垂直，Ia1=3,且a與a+人的夾角為一，

4

說明以向量“，。為鄰邊，a+6為對角線的平行四邊形是正方形，所以則|切=3.

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

解出集合A和5即可求得兩個集合的并集.

【詳解】

3—X

?.?集合Au&wZI2——>0}={x￡Z|-2<x<3}={-1,0,L2,3),

x+2

B={j￡N[y=x-LxGA}={-2,-1,0,L2},

AAUB={-2,-1,0,1,2,3}.

故選：A.

【點睛】

此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準(zhǔn)確寫出集合中的元素.

6、C

【解析】

解：因為P={y|y=-x2+LxSR)={y|y<1},Q={y|y=2x,xGR}={y|y>0},因此選C

7、D

【解析】

由a,a3,a2成等差數(shù)列得2a3=a1+a?,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.

【詳解】

由題意2a3=a1+a?,2a?q2=a,q+a?,AZq^q+l,...q=l或q=-^

故選：D.

【點睛】

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.

8、C

【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

12

—x3x2乃+2?xl~=5%.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.

9、A

【解析】

c877t

易得8（-小?。?，過5作x軸的垂線，垂足為T,在中，利用Wi=tanw即可得到a*,c的方程.

22a4/3

【詳解】

由已知，得8（，,如），過B作x軸的垂線，垂足為T,故丹丁=:，

22a2

兒

五

匕

又所以7t否BT=nrr即一--=

tan§=J3,Ca

2一

所以雙曲線C的離心率e=Jl+§）2=2.

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關(guān)鍵的是找到a/,c的方程或不等式，本題屬于容易題.

10、A

【解析】

由(1+i)z=/?得z='，然后分子分母同時乘以分母的共軌復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù)-，從而可得-的虛部.

1+1

【詳解】

因為(l+i)z=i,

…ii(l-z)i-i2z+111.

所以z=----=-----------=-—----=—I—i,

1+z(l+z)(l-z)1-Z21+122

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為!.

2

故選A.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化

為乘法運算.

11,C

【解析】

將圓Y+尸-4x+2y+1=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為(2,—1).根據(jù)圓V+V一4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線

。:￡一。1(?！?/>())的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，,=再根據(jù)e=￡=Jl+(2j求解.

【詳解】

已知圓Y+>2_4x+2y+1=0,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—2)2+(y+l『=4,

所以圓心為(2,-1).

22

因為雙曲線。：+-方=1(。>0力>0),

b

所以其漸近線方程為y=±-x,

22

）廣

又因為圓好+丫2-?+2丫+1=0關(guān)于雙曲線C：3=1(。>0/>0)的一條漸近線對稱,

優(yōu)

則圓心在漸近線上,

故選:c

【點睛】

本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

12、D

【解析】

設(shè)非零向量。與〃的夾角為6,在等式囚-。|=6慟兩邊平方，求出cos。的值，進(jìn)而可求得向量在向量a方向上

的投影為“cos。，即可得解.

【詳解】

忖=2卜|,由|2。一。|=百忖得"一,=3上『，整理得2/一2。g_/=0，

二.2加一2,卜2Hcos0-4,|=0,解得cos0=-；,

因此，向量力在向量a方向上的投影為忖以九6=-；忖.

故選：D.

【點睛】

本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、12821

【解析】

令x=0,求得/+%+4++/+%的值?利用[3-(1+*)]展開式的通項公式，求得牝的值.

【詳解】

令x=0,得4+q++%=27=128.[3—(1+x)了展開式的通項公式為G3"[-(l+x)]'，當(dāng)r=6時，為

C^3'(1+X)6=21(1+X)6,即4=21.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.

14、4

【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由x-2=l,y=l有x+y=4.

15、?(2)@

【解析】

對①,根據(jù)周期的定義判定即可.

對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.

對③,舉出反例判定即可.

對④，求解不等式a2<4,再判定即可.

【詳解】

解：因為當(dāng)尸?時，?卜s?,

所以由周期函數(shù)的定義知g不是函數(shù)的周期，

故①正確；

對于定義在R上的函數(shù)/(x),

若/(-2)=42),由偶函數(shù)的定義知函數(shù)"》)不是偶函數(shù)，

故②正確；

當(dāng)M=1,N=0時不滿足log2M>log2N,

貝!J"M>N”不是“l(fā)og2M>log?N,”成立的充分不必要條件,

故③錯誤；

若實數(shù)”滿足。244,

則-2Ka42,

所以aW2成立，

故④正確.

正確命題的序號是①?④.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.

16、60°

【解析】

根據(jù)已知條件(a+2b)?(4-/?)=-2,去括號得：網(wǎng)=4+2x2xcos8-2x4=-2,

=cos。=±6=60"

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7

17、(1)證明見解析(2)-一

25

【解析】

(D根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF,然后根據(jù)勾股定理計算可得BF=QE,最后利用線面平行的判定定理,

可得結(jié)果.

(2)利用建系的方法，可得平面A5尸的一個法向量為〃，平面COf的法向量為相，然后利用向量的夾角公式以及

平方關(guān)系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)因為OEJ_平面A8CO,所以O(shè)E14D,

因為40=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,

又OE_L平面ABCD,8尸_L平面ABCD,

所以DE//BF,XBF=DE,

所以平行四邊形BED尸，故DFHBE,

因為3Eu平面BCE,。歹Z平面3CE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

設(shè)平面CDF的法向量為m=Cx,y,z),

m?DC=4j=0

由｝,令x=3,得加=(3,0,4),

DF=4x+3y-3z=0

易知平面ABF的一個法向量為n=(1,0,0),

所以cosV〃z,n>=—,

7

故cos26=2cos20-1=----.

25

【點睛】

本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.

18、(1)〃=1；(2)見解析.

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為〃’(X)..O在(0,+8)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出例外=111(a1)+2-。的最小值即可求解

x

(2)分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為不馬，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足

,1

cicA-——

%有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.

X1X2

ln(o￥])—Q—1=ae-ax2e

【詳解】

(1)h(x)=ex[)n(ax)-a],x>0,

r.h'(x)-e'[ln(<ix)4----a]

x

函數(shù)〃(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增等價于"(九)..0在(0,+8)上恒成立.

令夕(x)=ln(ax)+'-a,得°(x)=，--1=土」，

xXXX'

所以火幻在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,”)單調(diào)遞增,則夕(x)1nsl,=奴1).

因為產(chǎn)>o,則//(x)..o在(0,m)上恒成立等價于e(x)..o在(0,田)上恒成立；

又。(3=0,

a

。(，)=。⑴=o，

a

所以，=1,即“=1.

a

(2)設(shè)/3=山30-。,(。>())的切點橫坐標(biāo)為％=玉，貝！|/'(X|)=一

X

切線方程為y-InCarJ+a=—(%-%))...①

%

設(shè)g(x)=a",(a〉())的切點橫坐標(biāo)為》=尤2，則g'(X2)=ae*,

切線方程為丫一。*=4/(工一工2)...②

■X1

ae2=—

若存在內(nèi)，/，使①②成為同一條直線，則曲線/(幻與g(X)存在公切線，由①②得王消

X2X1

ln(6ZXj)-?-1=ae-ax2e

去玉得一X)-Q—1—CIC'_CLX-2C2

口1*(工1)_12*+1

即一二一J---二，2--------

ax2+1x2+1

令t(x)=e'-2e+1,則t(x)=":+:，+1>o

x+1(x+1)-

所以，函數(shù)y=，(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，

r⑴力2)<0，加G(1,2),使得心°)=。

二.XG(尤0，+00)時總有，(X)>*%)=0

又???％—>+x)時，心)一>+00

：.-=°'（曰二1在（0,+8）上總有解

ax+1

綜上，函數(shù)/（x）=ln（ar）-?,（?>（））與g（x）=ae',（a>0）總存在公切線.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.

19、（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）當(dāng)加=1時可得外〃］）=占,2（〃,1）=〃+1,可得P（”,1）-Q（〃,1）=L（2）先得到關(guān)系式

P{n,m）=-^--P^n-\,m）,累乘可得產(chǎn)（〃,加）=宣嬴P（。，加）=/,從而可得”）=1,即為

定值.

詳解：（1）當(dāng)加=1時，「（〃］）=力（—1）C；777=7TI￡（—I）&：：=-，

k=01十長〃十,k=0〃十1

又Q（〃，i）=C：+i=〃+1,

所以P（〃,1〉Q（〃,1）=1.

⑵仆）吃（可&3

=理（一以?3+雷）^+（-1）"

“一19“

k=\m十KJt=i1

mi加理㈠公:^

n笈m+k

7九

=P（n-l,zn）4——P（n,m\

n

?7

即P（〃,m）=一——P（n-l,/n）,

由累乘可得產(chǎn)（〃，加）=（:北）!尸（°，加）

m

又Qgn)=C：+m，

所以P（〃,租）加）=1.

即P（〃，m）?Q（〃，m）恒為定值1.

點睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運算，解題時要注意所給出的P（〃,加）和。（〃,加）的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由

于運算量較大，解題時要注意運算的準(zhǔn)確性，避免出現(xiàn)錯誤.

20、證明見解析

【解析】

利用分析法，證明。+—1>弓3即可.

a2

【詳解】

證明：:>0,a-\—21,

a

?----1,

a

只要證明〃(a+—)1-4(a+—)+4,

a'aa

13

只要證明：a+->-,

a2

13

-：a+->l>~,

2

，原不等式成立.

【點睛】

本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運用，考查推理論證能力，屬于中檔題.

3

21、（1）5萬；（II）分布列見解析，E（X）=-;（0）4

【解析】

（I）根據(jù)比例關(guān)系直接計算得到答案.

（IDX的可能取值為0,1，2,計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.

101（Y"

（in）英語測試成績在70分以上的概率為，=方=/,故忖\<1-90%,解得答案.

【詳解】

2

(I)樣本中女生英語成績在80分以上的有2人，故人數(shù)為：