專題16 因式分解分類總復習（原卷版）

專題16《因式分解》單元分類總復習考點一因式分解【知識點睛】因式分解與整式乘法的關系：互為逆運算（故：將因式分解的結(jié)果乘出來可以用來檢驗因式分解的正誤）因式分解基本步驟：一“提”→提取公因式（公因式可以是單獨數(shù)字、單獨字母、數(shù)字與字母乘積類的單項式；也可以是一個整體的多項式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（兩項想平方差公式、三項想完全平方公式）分解因式時，一定要按照步驟，先觀察能否提取公因式，再考慮用公式法分解，對于結(jié)果，一定要進行檢查，看是否已分解徹底?。?！【類題訓練】1．下列變形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1 C．4x2y＝2x?2xy D．a(chǎn)x+x+ay+y＝（a+1）（x+y）2．下列分解因式正確的是（）A．4x3﹣x＝x（4x+1）（4x﹣1） B．﹣x2+xy+x＝﹣x（x﹣y+1） C．x3+2x2+x＝x（x+1）2 D．x2﹣3x+9＝（x+3）（x﹣3）3．下列多項式可以用平方差公式進行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．下列多項式中，不能用公式法因式分解的是（）A．﹣x2+16y2 B．81（a2﹣2ab+b2）﹣（a+b）2 C． D．﹣x2﹣y25．若多項式4x2﹣6mx+9能用完全平方公式分解因式，則m的值是（）A．m＝±2 B．m＝±1 C．m＝2 D．m＝﹣26．下列多項式中，不能在有理數(shù)范圍進行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a(chǎn)3﹣3a2+2aD．a(chǎn)2﹣2ab+b2﹣17．如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一個梯形（如圖2），利用這兩幅圖形面積，可以驗證的公式是（）A．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b28．將下列多項式因式分解，結(jié)果中不含有因式a+1的是（）A．a(chǎn)2﹣1B．a(chǎn)2+aC．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+19．因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常數(shù)，則a+b＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．410．因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．11．因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．12．分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．考點二因式分解方法拓展【知識點睛】分組分解因式：當多項式有四項及以上時常需要分組。先分組，分別因式分解，再利用“一提”、“二套”的步驟組合在一起。十字相乘法：應用公式→添項、拆項法：當以上因式分解的方法都不足以解決問題時，有時我們需要將某一項拆開使用，或者添加上某一項，再減去。但需要注意的是：每一步的變形都必須是恒等變形?！绢愵}訓練】13．用分組分解法將x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分組不恰當?shù)氖牵ǎ〢．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）14．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝．15．先閱讀下面材料，再完成后面的問題：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成組，并提出a，再把它的后兩項分成組，并提出b，從而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）這時，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（請你完成分解因式下面的過程）＝．（2）m2﹣mn+mx﹣nx．（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．16．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．17．因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．18．閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解，過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說，無論x，y取何實數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請說明理由．19．【閱讀理解】如何將x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我們知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆變形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述過程還可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項的系數(shù)，如圖：這樣，我們可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【遷移運用】利用上述的十字相乘法，將下列多項式分解因式：（1）x2+7x+12．（2）﹣2x2﹣2x+12．20．若二次三項式x2+mx﹣8可分解為（x﹣4）（x+2），則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．221．甲、乙兩個同學分解因式2x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（2x+3）（x﹣2）；乙看錯了a分解結(jié)果為（x+3）（2x+2），則a+b＝．22．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請仿照上面的方法，解答下列問題：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；（2）若x2+px+6可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．23．若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），則p+q的值為（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣824．對于二次三項式a2+6a+9，可以用公式法將它分解成（a+3）2的形式，但對于二次三項式a2+6a+8，就不能直接應用完全平方式了，我們可以在二次三項式中先加上一項9，使其成為完全平方式，再減去9這項，使整個式子的值保持不變，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）請仿照上面的做法，將下列各式因式分解：（1）x2﹣6x﹣16；（2）x2+2ax﹣3a2．考點三因式分解的應用【知識點睛】因式分解也可以用于代數(shù)式類問題，方程類問題。比如代數(shù)式類問題，有時需要把式子的部分進行因式分解或者部分因式分解，再根據(jù)因式分解的結(jié)果解決后續(xù)問題?！绢愵}訓練】1．若多項式x2+bx+c因式分解后的一個因式是x+1，b﹣c的值是（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．12．當m為自然數(shù)時，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪個數(shù)整除（）A．5 B．6 C．7 D．83．若s+t＝4，則s2﹣t2+8t的值是（）A．8 B．12 C．16 D．324．已知x1，x2，…，x2016均為正數(shù)，且滿足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），則M，N的大小關系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N5．若＝8×10×12，則k＝．6．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝．7．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8時，x﹣y﹣z＝．8．已知x2+x+1＝0，則x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．29．現(xiàn)在生活中很多地方都需要安全又能記住的密碼，但很多人還是直接用生日來設計密碼，這存在極大的安全隱患．小涵的生日是12月3日，他想用剛學的因式分解來設計家中的電腦密碼．若對于多項式（x4﹣y4），因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若x＝10，y＝6，則（x﹣y）＝4，（x+y）＝16，（x2+y2）＝136，于是可將“416136”作為密碼．對于多項式9x3﹣xy2，小涵用自己的生日月份作為x的值，用生日日期作為y的值，則產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．123933 B．339321 C．333912 D．39123310．已知a+b＝4，ab＝1，則a3b+2a2b2+ab3的值為．11．已知2a﹣b＝2，那么4a2﹣b2﹣4b+5的值為．12．若x2+x﹣2＝0，則x3+2x2﹣x+2020＝．13．已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于．14．小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分別對應下列六個字：華，我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛游15．觀察下列分解因式的過程：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法，已知a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，則以a，b，c為三條線段首尾順次連接圍成一個三角形，下列描述正確的是（）A．圍成一個等腰三角形 B．圍成一個直角三角形 C．圍成一個銳角三角形 D．以上選項都不正確16．如圖可以通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學等式．這個大正方形邊長為a+b+c，用（a+b+c）2可求得其面積．同時，大正方形的面積也等于6個長方形和3個正方形的面積之和；已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，則ab+bc+ac的值是（）A．34 B．23 C．20 D．1917．如果x2+x﹣1＝0，那么代數(shù)式x3+2x2+2020的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202318．教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝．（2）當x為何值時，多項式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出這個最大值．（3）利用配方法，嘗試解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．19．如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法計算這個邊長為（a+b+c）的正方形面積，就可以得到一個等式，這個等式可以為（只要寫出一個即可）；（2）請利用（1）中的等式解答下列問題：①若三個實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三個實數(shù)x，y，z滿足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的