南通市如皋市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

如皋市2022—2023學(xué)年度高二年級(jí)第一學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t可得，且，，則可得，解得故選:C2.若直角三角形三條邊長(zhǎng)組成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形外接圓的半徑是（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)中間的邊為，由等差數(shù)列的定義，結(jié)合勾股定理即可得到的值，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)中間的邊為，則三邊依次為由勾股定理可得，解得或（舍）即斜邊為，所以外接圓的半徑為故選:C3.已知為雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立方程組并求解判斷作答.【詳解】依題意，，則由解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故選：A4.若直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線(xiàn)與圓相切可得，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由圓可得，表示圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，即，解得或，即實(shí)數(shù)取值的集合為故選:B5.已知數(shù)列首項(xiàng)為2，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數(shù)列通項(xiàng).【詳解】由已知得，，則當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也符合該式．∴.故選：D6.如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.//平面C. D.//平面【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)可以利用三線(xiàn)合一證明垂直關(guān)系，B選項(xiàng)可利用“線(xiàn)面平行時(shí)，直線(xiàn)無(wú)論怎么平移不會(huì)和平面相交”性質(zhì)來(lái)判斷.C選項(xiàng)先通過(guò)類(lèi)似A選項(xiàng)的證明得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，結(jié)合AC的結(jié)論得到線(xiàn)面垂直后判斷，D選項(xiàng)可以構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定證明，【詳解】不妨設(shè)棱柱的高為，.B選項(xiàng)，根據(jù)棱柱性質(zhì)，//，而平面，若//平面，無(wú)論怎樣平移直線(xiàn)，都不會(huì)和平面只有一個(gè)交點(diǎn)，于是得到矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線(xiàn)合一），A選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，過(guò)，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線(xiàn)合一），結(jié)合A選項(xiàng)，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側(cè)棱//，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，結(jié)合為的中點(diǎn)可知，為中位線(xiàn)，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項(xiàng)正確.故選：B7.在數(shù)列中，若存在不小于2的正整數(shù)使得且，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.下列數(shù)列中為“數(shù)列”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“數(shù)列”定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)于函數(shù)，令，，因?yàn)?，所以，，所以，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，令，，因?yàn)?，所以，，所以，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，存在使得數(shù)列是“數(shù)列”，故C正確；對(duì)于D，，時(shí)，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以不存在不小于2的正整數(shù)使得且，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，是拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則斜率的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.已知正四面體的棱長(zhǎng)均為1，分別以四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，在這些向量中兩兩的數(shù)量積可能是（）A.0 B. C.2 D.【答案】AB【解析】【分析】由，排除C、D；取，求出；取，求出.即可判斷A、B.【詳解】在正四面體中，棱長(zhǎng)均為1.任意以四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，得到的向量的模長(zhǎng)為1.任取兩個(gè)向量，則.所以.故C、D錯(cuò)誤；取.設(shè)中點(diǎn)為,連接.因?yàn)闉檎拿骟w，所以.因?yàn)?面，面，所以面.因?yàn)槊妫?，所?所以.故A正確；取，則所以.故B正確.故選：AB10.已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)），且的周長(zhǎng)為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦距為1 B.橢圓的短軸長(zhǎng)為C.面積的最大值為 D.橢圓上存在點(diǎn)，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，解得可判斷AB；設(shè)，由知當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，設(shè)，求出、，可看作方程，求出判別式可判斷D.【詳解】由已知得，，解得，，對(duì)于A，橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積的最大，此時(shí)，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，所以，，，所以是方程，其判別式，所以方程無(wú)解，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線(xiàn)與所成角的為B.異面直線(xiàn)與所成角的為C.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為D.二面角的大小為【答案】ACD【解析】【分析】利用異面直線(xiàn)所成角的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用線(xiàn)面角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，，則與所成的角為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，，，，則，所以，，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，平面，故直線(xiàn)與平面所成角為，平面，則，所以，，因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，平面，、平面，則，，所以，二面角的平面角為，D對(duì).故選：ACD.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，將數(shù)列和中的項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成新的數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列中與之間共有項(xiàng)C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意可得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】由題意可知：數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也滿(mǎn)足，所以；又因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以.則數(shù)列為：，所以，故選項(xiàng)正確；數(shù)列是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，都是偶數(shù)，所以與之間包含的奇數(shù)個(gè)數(shù)為，故選項(xiàng)正確；因?yàn)椋瑒t為偶數(shù)，但為奇數(shù)，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，前面相鄰的一個(gè)奇數(shù)為，令，解得：，所以數(shù)列從1到共有，也即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為6，前6項(xiàng)的和為21，則其前12項(xiàng)的和為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后求得前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以前項(xiàng)的和為.故答案為：14.以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)叫做原雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn).已知雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率公式可得出，進(jìn)而可求得雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則，可得，所以，雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，因此，雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為：.15.已知軸截面為正三角形的圓錐頂點(diǎn)與底面均在一個(gè)球面上，則該圓錐與球的體積之比為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圓錐、球的體積公式求得正確答案.【詳解】畫(huà)出軸截面如下圖所示，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)球心為，圓錐底面圓心為，球的半徑為，則圓錐的高為，底面半徑為，所以圓錐與球的體積之比為.故答案為：16.擺線(xiàn)是一類(lèi)重要的曲線(xiàn)，許多機(jī)器零件的輪廓線(xiàn)都是擺線(xiàn)，擺線(xiàn)的實(shí)用價(jià)值與橢圓、拋物線(xiàn)相比毫不遜色.擺線(xiàn)是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線(xiàn)（基線(xiàn)）上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡.由于采用不同類(lèi)型的曲線(xiàn)作為基線(xiàn)，產(chǎn)生了擺線(xiàn)族的大家庭.當(dāng)基線(xiàn)是圓且動(dòng)圓內(nèi)切于定圓作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，切點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡就得到內(nèi)擺線(xiàn).已知基線(xiàn)圓的方程為，半徑為1的動(dòng)圓內(nèi)切于定圓作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，切點(diǎn)的初始位置為.若，則的最小值為_(kāi)_____；若，且已知線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡為橢圓，則該橢圓的方程為_(kāi)_____.【答案】①2②.【解析】【分析】根據(jù)圓、擺線(xiàn)、橢圓的知識(shí)求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，的最小值為.當(dāng)時(shí)，初始位置為，圓的四分之一弧長(zhǎng)為，圓的半周長(zhǎng)為，所以的軌跡過(guò)點(diǎn)，所以，橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為.故答案為：；四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，是三棱錐的高，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且，.（1）證明：平面；（2）求到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，，由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理即可證明.（2）法一：在平面中，過(guò)點(diǎn)作，證明平面，再求值即可；法二：到平面的距離，是三棱錐的高，利用等體積法求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋€(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以.因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面【小?wèn)2詳解】法一：（綜合法）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示，因平面，平面，所以.因?yàn)?，平面，平面，，所以平?在中，.所以在中，，所以，所以到平面的距離為.法二：（等體積法）設(shè)到平面的距離為，則在中，.在中，.因?yàn)槭侨忮F的高，所以，，解得，所以到平面的距離為.18.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)和為，且.（1）求；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由可得公比，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以，……①所以，……②①-②，得，所以.19.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)到的距離為.（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為2可得，再利用右焦點(diǎn)到的距離為可得，即可求得雙曲線(xiàn)的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)方程容易解出，兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以，解得.因?yàn)橛医裹c(diǎn)到的距離為，所以，解得或.因?yàn)?，所?可得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)可得，即，或不妨設(shè)，，所以.所以.即的面積為20.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足______.①，；②；③.從上述三個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線(xiàn)上，并解決以下問(wèn)題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)選①時(shí)，分為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)，分別計(jì)算即可得到結(jié)果；當(dāng)選②時(shí)，根據(jù)與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；當(dāng)選③時(shí)，根據(jù)條件得到是常數(shù)數(shù)列，從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】選①因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以.選②因?yàn)椋?）所以當(dāng)時(shí)，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，所以.選③因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，所以，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，也符合上式.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以21.三棱柱中，，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由、根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面；（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】三棱柱中，，在中，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以，所以；因?yàn)?，平面，平面，，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】做交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，解得，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的平面角的余弦值為.22.已知為橢圓上一點(diǎn)，上、下頂點(diǎn)分別為、，右頂點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程