鎮(zhèn)江市揚(yáng)中高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)2022-2023第一學(xué)期末高二數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可化為，即可得出斜率.【詳解】可化為，則故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知直線方程求斜率，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)z，再得到共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【詳解】依題意有，則，∴對應(yīng)的點(diǎn)為，位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限.故選：D3.若兩條直線與平行，則與間距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過平行的條件求出,然后利用平行線直接的距離公式求解即可.【詳解】兩條直線與:平行,可得,則與間的距離是:.故選:C.4.在數(shù)列中，已知且，則其前項(xiàng)和的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分組求和和等差數(shù)列求和公式即可求解．【詳解】依題意得．故選：B．5.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則線段的中垂線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)，然后分析出線段的中垂線就是直線，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出方程，化為一般式可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，，因?yàn)?，，所以直線是線段的垂直平分線，所以直線的方程為：，即.故選：A6.雙曲線的一條漸近線方程：，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程得出與的關(guān)系，即可求解出離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程：，，雙曲線的離心率為：，故選：A.7.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)值的定義即可求解.【詳解】設(shè)，則，，所以，所以.故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為.故選：D.8.已知數(shù)列滿足，若對任意正實(shí)數(shù)，總存在和相鄰兩項(xiàng)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系化簡可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及存在性問題，結(jié)合恒成立問題及解不等式即可求解.【詳解】由得，，即，于是有，所以，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由，得，所以，由于，則，所以，可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)榭偞嬖?，使得成立，即，所以，?又，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合存在性問題的處理辦法及恒成立問題的處理辦法即可求解.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若方程表示的曲線為，則下列說法正確的有（）A.若，則曲線為橢圓B.若曲線為雙曲線，則或C.若曲線為橢圓，則橢圓焦距為D.若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，即或，此時曲線為橢圓，故A錯；對于B，若曲線為雙曲線，則，即或，故B對；對于C，若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則橢圓的焦距為，若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則橢圓的焦距為，故C錯；對于D，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D對.故選：BD10.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu).化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接應(yīng)用，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件及數(shù)列的項(xiàng)的定義，結(jié)合數(shù)列的前和的定義即可求解.【詳解】對于A，由得，故A正確；對于B，，所以,故B正確；對于C，由，得，故C正確；對于D，,故D錯誤.故選：ABC.11.已知復(fù)數(shù)，（，，，均為實(shí)數(shù)），下列說法正確的是（）A.若，則 B.的虛部為C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念，判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對于A，復(fù)數(shù)不等比較大小，A項(xiàng)錯誤；對于B，復(fù)數(shù)，是實(shí)部，是虛部，B項(xiàng)正確；對于C，，所以，而，，不能得到，所以C項(xiàng)錯誤；對于D，，，，所以，D項(xiàng)正確；故選：BD.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為6B.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.若，則直線的方程為D.若,則面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A：利用拋物線定義，三角形三邊關(guān)系即可求解；對于B：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)性質(zhì)即可求解；對于C：聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理，利用給定條件即可求解；對于D：先求出直線所過的定點(diǎn)，利用面積公式即可求解.【詳解】對于A：如圖：設(shè)的中點(diǎn)為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，因?yàn)榈捷S的距離為2，所以，由拋物線的定義知，,所以，因?yàn)?，所以，所以的最大值?.故選項(xiàng)A正確；對于B：由題知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選項(xiàng)B錯誤；對于C：由得直線過點(diǎn)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，化簡得，則有.由于，所以，可得，解得，所以，所以，直線的方程為.故選項(xiàng)C正確；對于D：設(shè)，，由，得，又，所以，由題知，，所以，又，故直線的方程為，又，所以，則有直線恒過點(diǎn)，所以，所以面積的最小值為16.故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為______．【答案】【解析】【分析】先求,再求趨于0時，的值.【詳解】∵，∴，即平均變化率為.【點(diǎn)睛】本題考查平均變化率定義及其求法,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.14.若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則___________.【答案】或0【解析】【分析】先求得拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為，半徑，由于圓與準(zhǔn)線相切，所以，解得或0.故答案為：或015.有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：沒感染病毒但可能會感染病毒的S型；感染病毒尚未康復(fù)的I型；感染病毒后康復(fù)的R型（所有康復(fù)者都對病毒免疫）.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，每隔一周，S型人群有仍為S型，成為I型；I型人群中有仍為I型，成為R型；R型人群仍為R型，若人口數(shù)為A的人群在病毒爆發(fā)前全部是S型，記病毒爆發(fā)周后的S型人數(shù)為，I型人數(shù)為，則_____________（用和表示，其中）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，然后分別利用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：由題意得：，則是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，又，即，則，，所以是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：16.過雙曲線（）的左焦點(diǎn)作直線與雙曲線交兩點(diǎn)，使得，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】求出直線垂直于x軸時線段AB長，再根據(jù)這樣的直線有且僅有兩條列出不等式，求出的范圍作答.【詳解】令雙曲線半焦距為c，則，由解得，即雙曲線的通徑長為，而雙曲線實(shí)軸長為，由于過左焦點(diǎn)作直線與雙曲線交兩點(diǎn)，使得的直線有且僅有兩條，則當(dāng)直線與雙曲線兩支相交時，，解得，，當(dāng)直線與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)時，，解得，，所以離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四?解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且___________，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若選擇①，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，聯(lián)立方程，求和，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列首項(xiàng)和公差的方程組，即可求得通項(xiàng)公式；若選擇②，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，列式求首項(xiàng)和公式，即可求得通項(xiàng)公式；若選擇③，利用數(shù)列與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（1）若選擇①，由與解得：或（由于，舍去）設(shè)公差為，則，解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為若選擇②，設(shè)公差為，由，得；則，解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為若選擇③，因?yàn)榻獾盟詳?shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由題意得：所以18.已知圓，點(diǎn).（1）求過點(diǎn)的圓的切線方程；（2）求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法，利用直線的點(diǎn)斜式方程及直線與圓的相切的條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；（2）根據(jù)圓的方程求出范圍，利用代入法和不等式的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以,所以點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為，圓心到切線的距離為，所以，符合題意，當(dāng)切線的斜率為，則切線的方程為，即，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，得，解得，所以，故過點(diǎn)的圓的切線方程為或.【小問2詳解】由（1），得，即，解得，由，得，所以，因?yàn)?，所以，故的最小值?19.已知函數(shù).（1）求曲線在處切線方程；（2）若直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫切線方程即可；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，進(jìn)而得到直線的方程.【小問1詳解】，所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.【小問2詳解】，所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.20.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)和（點(diǎn)和都異于點(diǎn)），若滿足，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由漸近線方程和雙曲線過點(diǎn)，求出的值，求出雙曲線方程；（2）先考慮直線斜率存在時，設(shè)出其方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用得到或，排除不合要求的情況，求出所過定點(diǎn)，再考慮直線斜率不存在時，設(shè)，則，由求出或1，去掉不合要求的情況，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，漸近線方程為，故，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得：，則要滿足，且，解得：且，設(shè)，則，，，其中，即，所以，整理得：，解得：或，當(dāng)時，直線，此時過點(diǎn)，則兩點(diǎn)有一點(diǎn)與重合，不合題意，舍去；當(dāng)時，此時直線，恒過點(diǎn)，滿足要求，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，則，且，此時，解得：或1，因?yàn)辄c(diǎn)和都異于點(diǎn)，故時不合要求，舍去，故，此時直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上：直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).21.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.【答案】（1）證明見解析，（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明為常數(shù)，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，從而求得；（2）不等式即為，從而可確定的個數(shù)，即，然后由錯位相減法求得，結(jié)合是遞增數(shù)列，通過估值法得出不等式的最大正數(shù)解．【小問1詳解】由取倒數(shù)得，即，所以為公差為的等差數(shù)列，.【小問2詳解】當(dāng)時，，所以這樣有個,故，，，，兩式相減得：，所以,又因?yàn)闉檫f增數(shù)列.又因?yàn)?，，，所以最大正整?shù)解為8.22.如圖，已知點(diǎn)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且（），連接，且，交于點(diǎn).（1）當(dāng)時，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若的面積為，試比較與的大小，說明理由.【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用和點(diǎn)、均在橢圓上建立方程，然后解出方