2023年新教材高中數(shù)學人教A版必修第二冊

6.4.2向量在物理中的應用舉例（夯實基礎+能力提升）

【夯實基礎】

一、單選題

1.（2022?全國?高一專題練習）人騎自行車的速度為匕，風速為匕，則逆風行駛的速度為（）

A.v,-v2B.v2-v,C.v,+v2D.MTT

【答案】C

【分析】利用向量的加法運算求解.

【詳解】解：由題得W和V2都是向量，根據(jù)向量的加法運算得逆風行駛的速度為甘+%.

2.（2022春?湖北荊州?高一公安縣車胤中學?？茧A段練習）某人先向東走3切?，位移記為“，

接著再向北走3切z,位移記為6,貝~表示（）

A.向東南走6k"B.向東北走

C.向東南走3/加D.向東北走3近切？

【答案】D

【分析】根據(jù)向量方向和模長可得結果.

【詳解】由題意知：,+〃卜后歷=3a,位移方向為東北方向，.Ia+b表示向東北走3直5?.

3.（2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？茧A段練習）一物體在力F-的作用下，由點44,-2）

移動到點8（5,4）.已知尸=（3,2）,則J對該物體所做的功為（）

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積的坐標公式進行計算.

【詳解】由題意得：A8=（l,6）,設FT對該物體所做的功為：1X3+6X2=15

4.（2022春?山東臨沂?高一校考階段練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組

成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60。，每

只胳膊的拉力大小均為2OOV5N,則該學生的體重（單位：kg）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加

速度大小為g=10m/s?）（）

A.60GB.61C.75D.60

【答案】D

【分析】用向量OAOB表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出

\OA+OB\,再化為千克即可得.

【詳解】如圖，|俐=|。4=2008，ZAOB=60°,

作平行四邊形。4C8,則。ACB是菱形，OC=OA+OB,

|oc|=2|（9A|sin60o=600,

所以忖=|OC|=600,

因此該學生體重為則=粵=60（kg）.

gio

二、多選題

5.（2022.高一課時練習）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行

李包.假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為耳，瑪，且|耳|=|耳，K

與后的夾角為夕下列結論中正確的是（）

A.。越大越費力，。越小越省力B.B的取值范圍為［0,可

C.當6=1時，閔=向D.當，=與時，忻卜忖

【答案】AD

【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數(shù)量積公式進行求解.

【詳解】對于A,根據(jù)題意，得恂=|耳+用，所以

忖、同2+圖+2忻卜國Xcos0=2同（1+cos0）,

解得|五『一忖，因為。e（0,;r）時，y=cos6單調遞減，所以6越大越費力，，越小越

I'I2（1+cos6＞）

省力，故A正確；

對于B,由題意知，的取值范圍是（0,萬），故B錯誤；

對于C,因為同2=2（JG|所以當0=］時，吊=4,所以閭=等忖，故C錯誤;

對于D,因為同2=_K_,所以當"與時，卜卜同，所以忻卜忖，故D正確.

6.（2022.高一課時練習）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時，設

水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（）

A.船受到的拉力不斷增大B.船受到的拉力不斷變小

C.船受到的浮力不斷變小D.船受到的浮力保持不變

【答案】AC

【分析】根據(jù)物體在勻速運動時力的平衡原理作力的分解即可求解.

【詳解】設水的阻力為》,船受到的拉力為F,F與水平方向的夾角為，

則同cose=pj,故網(wǎng)=_|/\,因為e不斷增大，所以cos。不斷減小，

故網(wǎng)不斷增大.因為卜卜而。不斷增大，所以船受到的浮力不斷減小；

三、填空題

7.(2023?高一單元測試)一質點在力?！?(-3,5),。6=(2,-3)的共同作用下，由點A(10,-5)

移動到磯-4,0),則。片、OF2的合力OF對該質點所做的功為.

【答案】24

【分析】利用向量運算法則得到OF=。耳+?，?(-1,2),A8=(-14.5),從而利用向量數(shù)量積

公式計算答案.

【詳解】由題意得：OF=OFt+OF2=(-3,5)+(2,-3)=(-1,2),

AB=(-4,0)-(10,-5)=(-14,5),

則合力OF對該質點所做的功為A8=(T,2)?(T4,5)=14+10=24.

8.(2022春?山東東營?高一統(tǒng)考期中)如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平

衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是耳，死，且耳，用與水平夾角均為45。，|耳|=|6|=10N,

則物體的重力大小為N.

【答案】iog

【分析】根據(jù)向量的加法運算結合力的合成即可求解.

【詳解】一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，所以重力IGHS+gI，

因為月，死與水平夾角均為45"，|￡|=|6|=10N,

由向量加法的平行四邊形法則可知耳+￡的方向是豎直向上的，且

|耳+鳥|=2|《|sin45°=2xl0x等=10底，所以物體的重力大小為1O0N.

9.(2022?高一課時練習)己知力耳=(2,-1),月=(1,5),且耳，鳥和居三個力的合力為

F=(O,l),則名=.

【答案】(-3,-3)

【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示即可求解.

f2+l+x=0fx=-3

【詳解】解：設瑪=(x,y),則￡+月+6=/，即_]+5+),=]，解得

所以片=(-3,-3).

10.(2022.高一課時練習)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的,運

動的疊加亦用到向量的合成.

【答案】加減法

【分析】略

【詳解】略

11.（2022春?高一課時練習）如圖，一個力F作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移,

產(chǎn)的大小為50牛，且與小車的位移方向。的方向）的夾角為60。，則力尸做的功為

牛?米.

F

【答案】1000

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，求出小車位移方向力的大小，即可求出力產(chǎn)做的

功.

【詳解】解：小車位移方向力的大小為50?cos6（）o=25牛，

所以力F做的功為25x40=1000牛?米.

四、雙空題

12.（2022春?北京豐臺?高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為240五米，一個人從

岸邊游向對岸.已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘120米，水流速度大小為每分鐘

12米.

①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘米；

②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要分鐘.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出而而訴即得解；

（2）求出他游到河對岸的速度即得解.

【詳解】解：（1）如圖所示，當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小為

7（12>/3）2+122=24，他實際前進速度的大小每分鐘24米.

（2）如圖所示，當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的速度為血26）2-122=120,所

240應

以他游到河對岸的需要=20分鐘.

12&

13.(2022?全國?高一專題練習)若〃表示“向東走8km”，人表示“向北走8km”，則k+b|=

，a+6的方向是.

【答案】80km東北方向

【分析】畫出圖形，利用向量加法公式得到a+b=OA+A3=OB，進而求出模長及方向.

【詳解】如圖所示，作OA=a,48=A,

則a+Z>=OA+AB=OB.

所以卜+q=\OB\=VS2+82=80(km),

因為乙4。8=45。，

所以a+b的方向是東北方向.

故答案為：8^km,東北方向

14.(2022?高一課時練習)在水流速度為10km/h的河中，要使船以1()6km/h的速度與河

岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為km/h,與水流方向所成的角為.

【答案】20120

【分析】OA表示水流方向，OB表示垂直于對岸橫渡的方向，OC表示船實際航行的方向，

則OB=OC+OA,由，。卜口可可得答案.

【詳解】如圖，。4表示水流方向，OB表示垂直于對岸橫渡的方向，OC表示船實際航行的

方向，則OB=OC+OA,由題意知|7=囪=10,畫=106,所以|OC|=20,且

ZAOC=120°.所以船行駛速度的大小為20km/h,與水流方向所成的角為120.

故答案為：①20②120.

五、解答題

15.(2022?高一課前預習)在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果

船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，則經(jīng)過3小時，該船的實際航程是多少km?

【答案】券(km)

【分析】如圖，設水流的速度為0A，船航行的速度為0B，則這2個速度的和為0C，則由

題意可得IOA1=10,|0例=20,解直角三角形OBC求出合速度的大小，然后求解即可.

【詳解】解：如圖：設水流的速度為0A,船航行的速度為0B，則這2個速度的和速度為0C，

則由題意可得1=10,I051=20.

直角三角形08c中，由OB=20,BC=OA=W,可得6=30。，

所以船的合速度的大小為10Gm/min=之/(km/h),

故船行駛的方向與水流的方向成120。(即408=120。).

所以經(jīng)過3小時，該船的實際航程是3x,=￥千米.

16.(2023?全國?高三專題練習)平面上三個力耳、丹、鳥作用于一點且處于平衡狀態(tài),

WI=1N,|下|=布丁?4,耳與鳥的夾角為45。，求：

(1)名的大?。?/p>

(2)后與月夾角的大小.

【答案】(1)若+1(2)150°.

【分析】(1)三個力平衡則三個力的和為0；移項，利用向量模的平方等于向量的平方求出

向量的大小.

(2)利用三角函數(shù)的余弦定理求出兩個向量的夾角大小.

(1)

解：三個力平衡，.,?丹+鳥+居=0,

B鳥|=|耳+g|=y/F；+2F「F2+F；

=卜+2x1x片也一$45。+(遠學辱=再麗=6+1，

(2)

解：鼻與片的夾角可由余弦定理求得，

r+(6+i)、(紇的由

cos<F,,F.>=----------=——----=——，

2xlx(V3+l)2

E與耳的夾角為30。

則F,與F,的夾角為180。-30°=150°.

17.(2022?高一課時練習)已知某人在靜水中游泳的速度為km/h,河水的流速度為

4km/h,現(xiàn)此人在河中游泳.

(1)如果他垂直游向河對岸，那么他實際沿什么方向前進？實際前進的速度為多少？

(2)他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度為多少？

參考數(shù)據(jù)：tan35.26°?—.

2

【答案】(1)方向為與水流方向成60。，速度為8km/h

⑵方向與水流方向成125.26。，速度為4&km/h

【分析】(1)用OA表示河水的流速，。8表示該人在靜水中游泳的速度.以。4，。8為鄰

邊作平行四邊形OACB,用OC為此人游泳的實際速度，在矩形中求解中得；

(2)同(1)用0/表示河水的流速，密法表示此人自身游泳的速度，以0'4,OB'為鄰邊

作平行四邊形OAC'9，3a表示此人實際游泳的速度，在平行四邊形中求解.

(1)

如圖①，用表示河水的流速，0B表示該人在靜水中游泳的速度.以。4,0B為鄰邊作平

行四邊形04。，用0C為此人游泳的實際速度.

,一,uuuiurnL1UUDr-tftr----tftM—

在mAOC中，|。4|=4，|AC|=|O3|=4百，所以|OC|="|OA『+1AC/=8.

uum

所以tanNAOC=l^=6,所以ZAOC=60。.

\OA\

故此人實際前進速度為8km/h,方向為與水流方向成60。.

(2)

-LIUUU

如圖②，用o'A'表示河水的流速，O'9表示此人自身游泳的速度，以。發(fā)，O'B'為鄰邊作平

LIL1UII

行四邊形CM'Cb,O'C表示此人實際游泳的速度.

.uuuiii/|Uuui|2~|Uuir,2「

所以有[o'c]=Jo'8]-|0'川=4夜，

uuun

B'C收

所以tanNB'O'C'uFHtfb：丁，所以NBVC=35.26°.

O'C2

故此人實際前進速度為4忘km/h,方向與水流方向成125.26。.

圖①圖②

18.(2022?全國?高一專題練習)三個大小相同的力〃、b、c作用在同一物體尸上，使物體尸

沿〃方向做勻速運動，設PA=a，PB=b，PC=c，判斷一ABC的形狀.

【答案】等邊三角形

【分析】作PO=4可知平行四邊形APC。為菱形，求出

NPAB=NPBA=NPAC=NPCA=NPBC=NPCB,可求出，A8C三個內角的大小，由此可判

斷出ABC的形狀.

【詳解】由題意可得M=W=H，由于合力作用后做勻速運動，則”+/；+c=0,所以，a+c=-b,

A

作尸0=4,則平行四邊形APCD為菱形，因為卜4卜卜耳=,4，

故..小￡）為等邊三角形，則NAP￡）=60",

因為|月4卜則NPAB=N尸54=30,同理可得N尸AC=N尸C4=/尸8C=N尸CB=30,

所以，NABC=NAC8=NBAC=60，因此，ABC為等邊三角形.

19.（2022?高二課時練習）解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被

3根細繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質量為1kg的物品，在另一個秤盤中放

入質量為1kg的祛碼，天平平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為耳，F(xiàn)2,

"），若3根細繩兩兩之間的夾角均為?，不考慮秤盤和細繩本身的質量，則耳，心，得

的大小分別是多少？

【答案】牛.

6

【分析】由題可得忻卜帕卜閭，且耳，F(xiàn)2,瑞兩兩之間的夾角均為歸+巴+川=g,

然后利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義即得.

【詳解】由題可知閭=|巴卜閭，且耳，F(xiàn)2,八兩兩之間的夾角均為?，

又歸+豆+E卜g，（g為重力加速度）

.222-

??4+B+瑪+24?巴+2￡?6++2居,4=g~，

6閔-=g2>

,咽T月卜圖4g（牛），

即耳，F(xiàn)2,尺的大小都是如g牛.

6

20.（2022?高一課時練習）如圖，一物體在表面粗糙的斜面上不動，斜面沿水平方向做勻速

直線運動，若物體的質量為加，斜面的傾角為a,位移大小為s,求物體與斜面之間的摩擦

力所做的功.

W

【答案】帆gssinacosa

【分析】利用物理知識和向量知識得到摩擦力和在/方向上的位移，再利用功的公式進行求

解.

【詳解】設物體與斜面之間的摩擦力為了，

則f=mgsina,

又因為在/方向上的位移為scosa,

所以物體與斜面之間的摩擦力所做的功

為W=于？s、機gsina?scosamgssinacosa.

故答案為：mgssinacosa.

【能力提升】

一、單選題

I.（2022春?江西南昌?高一統(tǒng)考期末）某學生體重為"?kg,處于如圖所示的平衡狀態(tài)，假設

他每只胳膊的最大拉力大小均為（重力加速度大小為g）,如果要使胳膊得到充分

的鍛煉，那么他兩只胳膊的夾角最大為（）

c-?

【答案】B

【分析】設兩只胳膊拉力最大時的夾角為aee（o,兀），根據(jù)力的平衡可得?耳+名|=，咫，結

合向量的數(shù)量積的運算，即可求得答案.

【詳解】由題意，不妨設當該學生兩只胳膊的拉力最大時，

他兩只胳膊的夾角最大為仇。€（0,兀），

設此時兩只胳膊的拉力為，則I￡1=1尸2|=?"gN,

FVF2

則|耳+鳥|=mg,即有|耳+1『=（一）2,

2.*>

所以G一++24?鳥二（mg）2,

即一("吆)2+—〃咫)2+2X—'(mg)?XCOs8=(Wg)2,

I兀

故cos"：,故。=三，

23

2.（2022?高一單元測試）如圖，在重100N的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別

為30。，60°,物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為（）

A.50A/3N,50后NB.50N,100N

C.506N,50ND.100N,5073N

【答案】C

【分析】設兩根繩子的拉力分別為。4，OB，作；。AC8,根據(jù)題意得到其為矩形求解.

【詳解】解：如圖所示：

設兩根繩子的拉力分別為OA,OB.

作：。ACB,使ZAOC=30°,ZBOC=60°.

在IOACB中，ZACO=/BOC=60。,

所以N。4c=90°,

所以|。4卜|OC|?cos300=50x/3N,|Ac|=|oc|sin30°=50N,

所以|OB卜卜C|=5ON,

故兩根繩子拉力的大小分別為5（）6N,50N.

3.（2022春.北京通州.高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為200m,一艘船從河岸

邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度W的大小為間=10km/h,水流速度匕的大小為

上|=6舊/11.設這艘船行駛方向與水流方向的夾角為行駛完全程需要的時間為f（min）,若

船的航程最短，則（）

【答案】B

【分析】作出圖形，由題意可得sina,可分析a的范圍，再由同角三角函數(shù)基本關系求出

cosa,據(jù)此可求出速度v,再由f=￡求解.

【詳解】如圖,

由圖可知，sina=?=■!，所以LvsinavXZ,故二＜a＜二,

1052264

所以2今?！础?多兀又因為sina==3,所以cosa=：4

所以v=Wcosa=10x—=

4.（2022春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習）甲、乙兩人提起重量為8N的物體，兩人用力方向

的夾角為e，用力大小分別為6N、7N,則cos。的值為（）

【答案】A

【分析】由向量的平行四邊形法則及力的分解可得.

【詳解】如圖,設|。4|=6,|。8|=7,合力即為|0C|=8

:.OA+OB=OC>兩邊平方可得Q+OB）2=OC'

即|。4F+20408+1。8『=|0C『，

/.62+2X6X7XCOS6>+72=8\解得COS<9=-!

5.（2022?高一單元測試）尸是ABC所在平面內一點，滿足PB+PC-2PAi=（）,則

/WC的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算與模長公式，可以得出A8.AC=0,由此可判斷出ABC的

形狀.

【詳解】由煙=|PB+PC-2M,可得回=世+4。|,gp|AB-AC|=|AC+AB|,

等式,8-AC|=|AC+AB|兩邊平方，化簡得48.AC=0，,AB'AC，

因此，_ABC是直角三角形.

6.（2022?全國?高一專題練習）在ABC中，CB=a，CA=b，且

OP=OC+mn—+尊一,msR,則點P的軌跡一定通過A3C的（）

J《sin8|/?|sin

A.重心B.內心

C.外心D.垂心

【答案】A

【分析】過C作C”,AB,交AB于H,取A8中點D,連接CD,所以|a|sinB=%sinA=\CH\,

根據(jù)向量的線性運算法則,化簡可得根據(jù)三角形的性質，分析即可得答案.

【詳解】過C作C//LA8,交AB于H,取AB中點。，連接CQ,如圖所示:

根據(jù)三角函數(shù)定義可得,卜也B=|&|sinA=\cH\f

b

因為OP=OC+優(yōu)

J《sinB|/?|sin勺

所以°P-℃=Mtn（/"+"\）'即b"囪2mCC,

即點尸的軌跡在中線8上，而三角形三邊中線的交點為該三角形的重心,

所以點尸的軌跡一定通過他C的重心.

7.（2022?全國?高一專題練習）如圖為一個空間探測器的示意圖，＜、6、巴、巴是四臺噴

氣發(fā)動機，6、［的連線與空間一個固定坐標系的x軸平行，每臺發(fā)動機開動時，都能向探

測器提供推力，但不會使探測器轉動，開始時，探測器以恒定的速率%向正x方向平動，要

使探測器改為正x偏負了60的方向以原來的速率%平動，則可（）

A.先開動《適當時間，再開動巴適當時間

B.先開動4適當時間，再開動￡適當時間

C.開動巴適當時間

D.先開動8適當時間，再開動舄適當時間

【答案】A

【分析】對每個選項中的方案進行討論，分析探測器所受到的推力方向以及探測器的運動狀

態(tài)，即可得出結論.

【詳解】先開動4適當時間，探測器受到的推力沿負x方向，探測器沿正x方向做減速運動,

再開動巴適當時間，又產(chǎn)生沿負y方向的推力，探測器的合速度可以沿正X偏負y60的方向，

并以原來的速率%平動，故A正確；

先開動6適當時間，探測器受到的推力沿正x方向，將沿正x方向加速運動，

再開動6適當時間，又產(chǎn)生沿正y方向的推力，探測器的合速度在第一象限，故B錯誤：

先開動巴適當時間，探測器受到沿負y方向的推力，將獲得沿負y方向的速度，沿X軸方向

的速率不變，故c錯誤；

先開動6適當時間，探測器受到的推力沿正工方向，將沿著正x方向加速運動，速率大于%.

再開動B適當時間，探測器又受到沿負y方向的推力，將獲得沿負y方向的速度，合速度的

大小大于%,故D錯誤.

二、多選題

8.（2022春?新疆巴音郭楞?高一校考期末）在保證公平的情況下，兩個人共同手提一個行李

包.假設行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為《，B，且,卜閭，￡

與鳥的夾角為，.下列結論正確的為（）

A.〃越大越費力，"越小越省力B.吊「=—忖----

''2（l+cos。）

C.當0=5時，忻卜忖D.當，=|時，閔=忖

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的定義和性質對選項逐一計算檢驗即可.

【詳解】因為為定值，圜xcos”2|城（1+COS。），解得|尸「=_0_____

\G\=\FI+F2\

I'I2（1+cos0）

由題意知*（。㈤時，y=cos6單調遞減，所以忻『單調遞增，

即0越大越費力，e越小越省力，故A正確，B正確；

當6="時，聞2=4,所以|用=當忖，故C錯誤；

當時，園2=忖;所以同=忖，故D正確.

9.（2022春?新疆巴音郭楞?高一校考期末）在保證公平的情況下，兩個人共同手提一個行李

包.假設行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為尸-B，且,卜閭，耳

與鳥的夾角為，.下列結論正確的為（）

A.9越大越費力，夕越小越省力B.阮「=—U—

I'I2（l+cos，）

C.當9時，忻卜忖D.當"午時，回=忖

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的定義和性質對選項逐一計算檢驗即可.

【詳解】因為?=|耳+月為定值，闿xcos”2同（1+cosd）,解得|甫=_忖_____

I'I2（1+cos（9）

由題意知6e（0,萬）時，y=cos。單調遞減，所以單調遞增，

即0越大越費力，0越小越省力，故A正確，B正確；

當時，同=4,所以向=孝忖，故C錯誤；

當0~時，忻『=同2,所以同=忖，故D正確.

10.（2022春?全國?高一期末）一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為2N,水平拉

力耳的大小為W,力思未知，則（）

A.當該物體處于平衡狀態(tài)時，|巴卜石N

B.當物體所受合力為月時，|向|=石N

C.當園=1N時,（石一1）14忻+月+布（石+2）N

D.當園=IN時，必存在實數(shù)幾，使得G=丹+犯

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的加法與減法的運算法則，依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：對于A選項，當該物體處于平衡狀態(tài)時，如圖1,此時不巴的合力大小為2N,

方向與重力方向相反，故國=君，正確；

對于B選項，當物體所受合力為6時，結合向量加法的平行四邊形法則，如圖2,|丹卜6,

正確；

對于C選項，當歸卜1N時，設重力G與水平拉力片的合力為F，大小為,卜百N,如圖3,

當心與尸方向相同時，歸+工+@取得最大值（石+1）N,當月與5方向相反時，忻+g+G|

取得最小值（百T）N,故（石-1）N4|4+5+G卜（方+1）N,錯誤；

對于D選項，當同=1N時，若存在實數(shù)4,使得G=&+",則

/I2=(G-/^)2=4+l-2x2xlcos^=5-4cos6?e[l,9],其中〃為力G,鳥的夾角，所以存在實

數(shù)2,使得G=6+24，故D正確.

三、填空題

11.(2022?高一課時練習)已知q=(1,0),/=(0,1),現(xiàn)有動點尸從弓(-1,2)開始，沿著與

向量q+e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒另一動點。從2(-2,-1)開

始，沿著與向量3q+2e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒氏+2ez|,設P,。

在f=0s時分別在《，Q。處，則當PQ_L4以時所需的時間，為s.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，分別得到與q+?2,3q+2e2方向相同的單位向量，再由題中條件，表示

LIL1LUU

出6Q,，PQ的坐標，根據(jù)向量垂直列出方程求解，即可得出結果.

(萬歷、

【詳解】由題意得《+02=(1,1),則何+勾=應，與其方向相同的單位向量為拳，彳，

3弓+羽=(3,2),則%+26卜內，與其方向相同的單位向量為

如圖,

故《尸=|《日(￥，￥)=(9)，QQ=|aQ|(a，禰)=(%2),

又4(-1,2),0,(-2,-1),

.??PQ-1J+2),0(31—22-1),

UUUIU

^Q,=(-1,-3)，

UULI

P2=(2r-l,r-3).

：PQ，6Q)，

隰PQ=0,

即2r-l+3r-9=0,解得f=2.

故當PQ，P?Q｝時所需的時間，為2s.

12.(2022?高一課時練習)設。為ABC內一點，且滿足關系式

6A+2OB+3OC=3AB+2BC+CA'則$血:SMB：SCOA=_.

【答案】3:2:1

【分析】由題意將已知中的向量都用。為起點來表示，從而得到3&+&+2況=1,分別

取AB、AC的中點為。、E,可得應)=2的，利用平面知識可得SAAO8與SAAOC及SA8OC

與S4A8C的關系，可得所求.

/、￥/4▼??一TTfTfffTTTT

-QA+2OB+3OC=3A8+2BC+CA=3(08—04)+2(OC-OB)+(OA-OC)，

-3OA+OB+2OC=0，

OA+OB+2OC+2OA=Z9分別取AB、AC的中點為￡>、E,

.T->

,?OD=2EO,

c_lc

0.BOC—20AfiC-

,,SROC?SAO/i-SCOA=二SAAC?TSABC：TSABC=3：2：1

236

故答案為：3:2:1.

13.（2022?高一課時練習）已知ABC內接于一個半徑為2的圓，其中。為圓心，G為ABC

的重心，則OG-（OB+OC）的取值范圍為

【答案】

【分析】如下圖所示，建立平面直角坐標系，設3、C、。、A的坐標，得出點A的軌跡方程,

根據(jù)三角形的外心和重心的性質，求得點0、G的坐標，運用向量數(shù)量積的坐標運算可求得

范圍.

【詳解】解：如下圖所示，以BC所在的直線為x軸，以BC的中點。為坐標原點，建立平面

直角坐標系，設B（T,0）,C（f,0）（r>0）,0（0,n）,.?.〃2+/=4=一2<〃<2

設A（x,y）,所以=Jx?+（y-"1=2,Bp%2+（y-n）2=4=>n-2<y<n+2,

又,ABC的重心G為與￡）,所以OG=（苦-j,08=（T,_〃）,0C=（“〃），

所以匹?（0S+祝）=仁,3-“（。-2/）=-￡,（3-3"）=+（3”-力,

又一2v2,n-2<y<n+2f

244

所以一?i（3〃一y）K—M（九+1）v—x2x3=8,

〃（3〃-y）Ngn（n-1）=g［（〃

i7

綜上得一：4早z（3〃—y）＜8,

所以0G[OB+OC）的取值范圍為「g.8）.

14.（2022?全國?高一假期作業(yè)）如圖所示，無彈性細繩04,08的一端分別固定在A,B處,

同樣的細繩0C下端系著一個秤盤，且使得O8LOC,則。4,OB,0C三根細繩受力最大

【分析】設。4,OB,0c三根細繩對。所施力分別為〃，b，c，可知a+6+c=0,在平

行四邊形0BCA中比較向量模的大小即可求解.

【詳解】受力最大的是Q4,

理由如下：

設。4,OB,0C三根細繩對。所施力分別為〃，b，c，

貝“+6+c=0，

設a與。的合力為d,則H=kl，

如圖：在平行四邊形08CA中，因為OBJ.OC'，BC=OA.

所以畫＞畫，便卜[oc],

即W＞W(wǎng)，忖＞日=FI，

所以繩受力最大.

Ac

15.(2022.高一課時練習)如圖，在平面四邊形ABC。中，AB1BC,NBCD=60。，

/AQC=150。,8E=3EC,CD=巫,BE=6若點尸為邊上的動點，則尸的最小

3

值為___________

【答案】77.

16

【分析】以8為原點建立平面直角坐標系，求得A(0,2),D("l),E(G,0),設尸(x,y),令

AF=A.AD,得出尸(后人2-2),利用數(shù)量積的運算得到EF-8尸=4萬-72+4，結合二次函

數(shù)的性質，即可求解.

【詳解】以8為原點，以8C,BA所在的直線為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

依題意得CE=』BE=走,BC=8E+CE=逑,NBCD=60

333

在△BCD中，由余弦定理得BO=,(速］+(氈］-2x述x2叵xcos60=2,

33

所以BL>2+C￡)2=BC2,所以NBOC=90,

由BC=2C￡>,所以NDBC=30,NOCB=60,

凈+苧-2X爭竽360=1，

在,CDE中，由余弦定理得￡>E=

所以CE'+DE?=C￡>2,所以NDEC=90°,

在△回￡)中，NABD=NADB=60，所以△M￡)為等邊三角形,

所以AB=BD=2,所以4(0,2),D(瓜I),E(瓜0),

設F(x,y),由題意令AF=4AD,BP(x,y—1)=A(>/3,—1),

解得x=6/l,y=2-/l,所以尸（右九2-團，

所以￡尸-8尸=（&-石,2-2）?（例,2-2）=4/12-7/1+4,

設/（#=4下―72+4（04242）,可得其對稱軸為2=（,且開口向上,

8

77715

所以兀==時，/（㈤取得最小值，即EGB尸的最小值為4X（二）2-7X=+4=3.

四、解答題

16.（2022春?山東荷澤?高一統(tǒng)考期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度AC=6km,一

艘船從河邊的A點出發(fā)到達對岸的8點，船只在河內行駛的路程45=2km,行駛時間為0.2h.

已知船在靜水中的速度匕的大小為|M，水流的速度匕的大小為|W=2km/h.求：

⑴聞；

（2）船在靜水中速度v,與水流速度匕夾角的余弦值.

【答案】⑴聞=2技⑵叵

【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度為M=10km/h,12，分=60°,利用向量的數(shù)量

積運算求出IM；（2）利用數(shù)量積及夾角公式求出船在靜水中速度匕與水流速度女夾角.

（1）因為船只在河內行駛的路程＞lB=2km,行駛時間為0.2h,所以船只沿A8方向的速度為

H=^=10km/h.由AC=Gkm,AB=2km,根據(jù)勾股定理可得：BC=五-3=lkm,所以

ZBAC=30°,即（彩#）=60。由U=M+畛，得：V1=v2-v,所以

|%|二J（彩―了）=h=722-2X2X10COS6004-102=2721.

（2）因為u=匕+匕，所以=（匕+%），即100=（2>/5T）+2x2j^Tx2cos《］#2）+22,解得:

COS1,10=1|L即船在靜水中速度匕與水流速度匕夾角的余弦值為粵.

17.（2022?高一單元測試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度，/=500m,一艘船從A

點出發(fā)航行到河對岸，船航行速度的大小為|"=10km/h,水流速度的大小為M=4km/h,

設匕和匕的夾角為0（0°180。）.

⑴當cos。多大時，船能垂直到達對岸？

（2）當船垂直到達對岸時，航行所需時間是否最短？為什么？

【答案】⑴-：2

（2）當船垂直到達對岸時，航行所需時間不是最短，理由見解析.

【分析】（1）由題意，V=K+%且與匕垂直，即（w+匕卜匕=0,根據(jù)數(shù)量積的定義即可求

解；

（2）設船航行到對岸所需的時間為fh,則‘=際/=麗花，比較6=90。和Sin0=^

兩種情況即可求解.

（1）

解：船垂直到達對岸，即丫=匕+嶺且與匕垂直，即（匕+匕）?畤=0，

所以匕/+嗎2=0，即時同cos0+同2=0,

2

所以40cos0+16=0,解得cos6=-《；

(2)

d0.51

解：設船航行到對岸所需的時間為rh，則'=醞了=扇B=漏萬8）,

所以當6=90。時，船的航行時間最短為1h,

而當船垂直到達對岸時，由（1）知sin8=3，

5

d0.5向心百

所需時間'|：|sin6?>/2184，>

|W|sm。lOx-8420

5

故當船垂直到達對岸時，航行所需時間不是最短.

18.（2022?高一課時練習）如圖所示，把一個物體放在傾角為30。的斜面上，物體處于平衡

狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力G,沿著斜面向上的摩擦力A,垂直斜面向上的彈力心.

已知囚=30N,求G,5的大小.

【答案】重力G為60N,沿著斜面向上的摩擦力”為30bN.

【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐標系，利用坐標法進行計算即可.

【詳解】建立如圖的坐標系，

由忻|=30N,可得：。耳=(156,15).

設閭=aN,|G|=bN,則?，?旨，OG=(0,-b).

因為。耳+O6+OG=0

15x/3--+0=0

2〃=306

所以r-，解得:

[c73ab=60

15+--------b=0

2

所以重力G為60N,沿著斜面向上的摩擦力F,為306N.

19.(2021春?福建?高一校聯(lián)考期中)如圖，設。x、Oy是平面內相交成60。角的兩條數(shù)軸，

e“e；分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量。尸=xq，則把有序數(shù)對(x,y)

mmuu

叫做向量OP在坐標系xOy中的坐標，設OP=2e,+e2.

⑴計算|OP|的大??；

⑵甲在Ox上距。點3千米的點A處，乙在。)，上距。點1千米的點3處，現(xiàn)在甲沿的方

向，乙沿禱,的方向同時以4千米〃卜時的速度行走；

①若過半小時后甲到達C點，乙到達。點，請用6與e2來表示C。；

②若f時刻，甲到達G點，乙到達“點，求|G“|的最小值.

UUUUU

【答案】(1)近(2)①C3=3e2-q；②2

【分析】(1)利用忖=正，直接求出|。網(wǎng)的大?。?/p>

(2)①先表示出OC=e「O￡)=3e2,利用向量的減法即可表示出CD;

②表示出兩人在r時刻相距G”，求出模長，利用二次函數(shù)求最值即可.

(1)

因為e「e2=1x1xcos600=；,

所以|O尸卜J(2/J+電y+4e「e2=J+1+4xg=近.

(2)

①因為OC=3-2=1,00=1+2=3,

所以OC=e「OD=3e2，所以0)=3^—e］；

②兩人在f時刻相距G〃=(l+4f)e2-(3-4r)e1,

所以,“『=(1+4。2+(3-4。2-2(1+4。(3-4。幣0

=48r2-24/+7

=48,-；)+4

當/=!時，|G“|=2’即!小時后，他們兩人相距最短.

4?IminA

20.(2023?高一課時練習)設作用于同一點的三個力耳，F(xiàn)2,用處于平衡狀態(tài)，若