2022年貴州省銅仁地區(qū)統(tǒng)招專升本數學自考真題(含答案帶解析)

2022年貴州省銅仁地區(qū)統(tǒng)招專升本數學自

考真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

微分方程=滿足初始條件y|x=o=O的特解為（）

A.ex（x+C）B.ex（x+l）C.ex-lD.XQX

2.

函數=arcsi,(l—二)的定義域是()

■Jx-1

A.[0.2]B.(1.+?o)C.(1.2]D.[1.2]

3.

微分方程胃-y=e”的一個特解形式（a,b為常數）為（）

A.aex+bB.axe1C.ax2exD.（a+bx）ex

4.

下列等式中，成立的是)

A.dj-)da,=./(a-)B.(I|/(w)d、r=fix)di

C.Wjf(j)d.r=/(J-)+CD.9j/Q)d、z=|

clrj

x2-4

對于函數天二以下結論中正確的是（

x(x-2)

A.x=0是第一類間斷點,x=2是第二類間斷點

B.x=0是第二類間斷點,x=2是第一類間斷點

C.x=0是第一類間斷點,x=2也是第一類間斷點

5尸.x=0是第二類間斷點,x=2也是第二類間斷點

6.

「+2/—sini

、巴2x2+sin/()

A.B.2C.OD.不存在

微分方程蟲;+3二。的通解是

()

y工

A.x24-y=25B.3vf+4,y=C

C.x2+yz=CD.y2-xz=7

8.

小瓜丁也=()

J—X

A.KB.-7tC.1D.0

導數「arcsin.rd.r=()

A.arcsineB.O

C.arcsin6-arcsinaD.1

一合

10.

設fix)在(0,+8)上連續(xù).且1:=./?則/(2016)=()

A.0B.1C.2D.無法求出

11.

.直線M=寧=豐與平面2.r+y=0的位置關系是（）

-1L6

A.直線在平面內B.平行

C.垂直D.相交但不垂直

12.

求函數=1+尸的拐點()

A.(0.0)B.(1.0)C.(0.1)D.(1.1)

13.

曲線y=（x+2y+2的拐點是（)

A.(0,-2)B.(2-2)C.(-2,2)D.(0,10)

14.

.用待定系數法求微分方程/一6“+9》=Z3,的特解時.應設為（）

A.y9=ue3zB.=<ue3x

C.y9=(ar+b)x2e3jD.y"=(ar+6)e3j

15.

8

.正項級數2收斂的充分必要條件是()

M-I

A.lim〃.=0B.lim〃“=0且〃用&u?〃=1.2…

n?oon-coM

C.lim=pV1D.部分和數列有界

n?8UH

16.

在下列級數中，收斂的是（）

X1?1

AB

-￡Q(PNI)-cD

n?\〃In-Si,巖

17.

設y=4才-->0).其反函數.r=*(_y)在y=0處導數是()

C

A-fB-T--TD]

18.

設./(J)在［“./>［上連續(xù),則由曲線=/(H)與直線.r=a,x=h,y=0所圍成平面

圖形的面積為()

A.J/(j?)clrB.1/Q.)d.r

C.f|/(.r)|d.rD.|/(6)-/(a)|(6-a)

19.

下列廣義積分收斂的是()

Cf

、產dxDInhdi

-Ji①

20.

設之=ln/1+二).則dj=

()

\y)Ici.o

A.dr+d.yB.2dx+2dy

C?-ydj*--^-dyD.-ydx+十d.y

21.

,設1+則J/(2j*)dx=()

A.寧B.一c/_!D__+l

,22

22.

當才f0時.tan.r與.r比較是()

A.非等價的同階無窮小B.高階無窮小

C.等價無窮小D.低階無窮小

23.

卜.列極限存在的是)

A.lim-------B.limsin」

LOe—1x-ox

C.lim.rsin—【).Iim2+

Jt--OXj-?0

24.

已知極限limr三一=2,則a的值是()

j-osinar

A.1B.-1C.2D.y

25.

設V=/(x)是由方程號+lny=。確定的函數，則型=()

dx

A.-上B.-/C,一皿D.—山

xy+1xxy

26.

8

級數2廣三■的和是(

M-14〃—1

X.1B.2C.-J-D.4-

L4

27.

,設矩陣45為〃階方陣，AB=O（。為零矩陣），則下列說法正確的是（

A.4,B均不可逆B.A+B=0

C.行列式網=0或|卻=0D.4=0或B=。

28.

設函數y=/（.r）在區(qū)間（0.2）內具有二階導數.若.r6（0,1）時./“（公＜0；

ke(1,2)時./"(.r)>0,則()

A.八1)是函數/(x)的極大值

B.點是曲線>=/(.r)的拐點

C./(1)是函數/(a)的極小值

D.點不是曲線y=/(_r)的拐點

29.

點①=o是函數/皂)=匕」的()

A.連續(xù)點B.可去間斷點

C.跳趺間斷點D.無窮間斷點

30.

函數.y=log,2+log4的反函數是()

A.y=2iB.y=22i

C.y=42J-1D.y=4T—1

二、填空題(20題)

■T40?

函數=J是連續(xù)函數，則

acos2z+.r，x>0

函數丁=[ln(1—i)了的微分dy=

33.

已知函數/(/)的定義域為(0?1)?則函數/(2，)的定義域為

34若函數3=1?則爐"'=.

35.

已知函數/(1)=ln.r為可導函數.則/Q)在點x=1.01處的近似值為

積分fe4dx=

36.

f),則r⑺=

若/(f)=lim(1+

37.

?Q函數/(、")=ln(1+J-2)的極值為__________

Jo.

39.

設向量a=(1,1,—l},b={1,—1,-1},則aX6=,

?2

I1—jrIdjr=

41.”。

若f（0）=1,則lim/（工）_〃一幻=

43.

（2x-y+1=0?

一直線經過點（2.-2.0）且與直線J平行,此直線方程為

[3^—2T+1=0

44.已知函數y=.rarctani,貝ljy=

45設函數/（X）滿足等式J：''Nck=gx2（x+i）,那么/⑴二

X函數/(?)=ln(1+J2)的極值為

46.

oo

若limmj=A(￡>0),則正項級數的斂散性為

47.…

48.

設積分區(qū)域D為：x2+y(4)、則did.y=

x1+x2+再=0,

若齊次線性方程組(再+(1+A)X2+2X3=0,有非零解，則a=

(1+%)司+x2+x3=0

50微分方程7-2)，'+y=0的通解為

三、計算題(15題)

計算定積分「萬

51.J0

2111

計算四階行列式;;;;的值.

求微分方程y—4^'+4、=(7+l)e’的通解.

T+ln(l-.r)

計算不定積分I=dj

jr-

54.

“(1一2E)12/，

j_44，

設函數/(x)=<當〃為何值時J(z)連續(xù)?

e*，

55.

+x2+x3=2-3,

己知線性方程組，X1+AX2+X3=-2,

56x1+x2+Ar3=-2.

(1)問4為何值時，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解？

(2)當方程組有無窮多解時，用其導出組的基礎解系表示其通解.

57.

將/1)=3展開成(z+i)的募級數.并求級數y)n的和.

求定積分Isinj—cos"dx.

58.“。

59.

(CJ-2+i.O<I40.5.

設X為隨機變量.其密度函數為P(x)=)

)0,其他.

試求：(1)常數門

(2)P(X&4).

?J

60.

-r

已知=e',y2=e是微分方程十py'十qy=0(p,q為常數)的解.

(1)求p，q\

(2)求滿足條件)(0)=1,/(0)=2的特解.

求:*一心.

61.'177

62.

設.y=/(.r)是由方程e，>+?ln.r=sin2］確定的隱函數.求學.

CiT

63.

233、

已知三階矩陣4=1—10,8=21,其中/為單位矩陣，AX=B,求矩陣

—12b

X.

求定積分J-ln.idj'.

64.v1

計算，iVdy—jr'dr,其中L為了。+y?=</順時針方向.

65.

四、證明題(10題)

66.

證明：當7>0時,ln(7+\/1+T2)>-

67.

證明：當i〉0,0VaV1H'J?.ra—arW1—a.

68.

已知方程才"-x7-.r3+.r=0有一正根.r=1.證明方程11八°一7/—3/+1=0

必有一個小于1的正根.

證明函數f(x)=1D(J--Hy/.r-+1)為奇函數.

69.

70已知/O)=—3.r—1,求：

(1)函數/Q)的凹凸區(qū)間；

(2)證明方程/(1)=0在(1?2)內至少有一個實根.

71.

設/(.r)在［0,1］上連續(xù).在(0.1)內可導,且2,/(r)d.r=/(0).證明：存在《6(0.1).

使小)=0.

72.

求由拋物線》=1一工2及其在點(1,0)的切線和.y軸所圍成的平面圖形的面積.

73.

設平面圖形D由曲線工=2y/y,y=，一z與直線y=1圍成，試求：

(1)平面圖形D的面積；

(2)平面圖形D繞工軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積.

74.

證明：當1>0時，一、'>ln（1+JC）.

75.

設函數/⑴在口,3］上連續(xù)，在（1,3）內可導，且/⑶=0,證明:至少存在一點

fG（l，3），使J'（alnf+/⑷=0.

五、應用題（10題）

76.

求曲線y=ln.r在區(qū)間（2,6）內的一點，使該點的切線與直線z=2,x=6以及

y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

77.

要求設計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的圓柱體,上部的形狀是母線長為3m

的圓錐（如圖所示）.試問當帳篷的頂點。到底面中心6的距離為多少時?帳篷的體積最大?

78.

某公司主營業(yè)務是生產自行車?而且產銷平衡，公司的成本函數CQ）=40000+200.Z-

0.002/.收入函數RQ）=35O.r-0.004.?，則生產多少輛自行車時,公司的利潤最大?

已知二元的數二=必人其中“〃）為可導函數、

證明：!I=fl+**_11生P*=.~.

xcrvcr.r"

79.?'

80.

4印?象限內.求曲線2片+『=1上?點，使。該點處的切線?州線及兩個

坐軸所附成的面積最小，并求最小值.

81.

設兩拋物線y==3—/及1軸所圍成的平面圖形為D.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞了軸旋轉一周得到旋轉體的體積.

82.

靠一堵充分長的墻邊?增加三面墻圍成一矩形場地?在限定場地面積為64m2的條件

下?問增加的三面墻長各多少時,其總長最小.

83.

建筑一個容積為8000nf,深為6m的長方體形無蓋蓄水池,池壁的造價為a元/n?,

池底的造價為2a元/mZ,問蓄水池底面的邊長各為多少時,總造價最低？

84.

設平面圖形Q由曲線1y=Y和直線.y==2及工軸圍成.求：

（1）平面圖形Q的面積；

（2）這圖形繞1軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

85.

平面圖形由拋物線=21與該曲線在點(：，])處的法線圍成.試求:

(1)該平面圖形的面積；

(2)該平面圖形繞/軸旋轉一周形成的旋轉體體積.

六、綜合題(2題)

86.

設函數/(z),g(z)在閉區(qū)間[-a,a]Q>0)上連續(xù).g1)為偶函數，息函數/(1)滿

足條件/<x)I/(-X)=A.(A為常數)

(1)證明：/f(x)g(jc)dj'=A[

J-aJ0

(2)利用(D的結論i卜算Isirrr|arctane^dx.

87.

設/(x)在二a,瓦|上連續(xù)且/(z)>o./(x)=f7(?)dr+［熹.

J0JbJyL)

證明：(Df'Cr))2;

(2)方程f(x)=0在(a,ZO內有且僅有一個根.

參考答案

1.D

D

【評注】|exe=ea(x+C),由此聞=0得C=0,二^=依".

2.C

r—1<1—彳41?

為使函數有意義,須有」即12.故函數的定義域為

五一1>09

(1,2,故選C.

3.B

B

【評注】非齊次線性微分方程的特解形式，特征方程產-1=0,得1是其一階特征根.

4.B

L答案」B

【精析】由求導、積分、微分關系可知，只有B項正確?故選B.

5.B

B

X2-4

【評注】函數y在x=0,x=2處無定義，1皿1——=oox=0為函數的第二類

10寺一2)v

間斷點；11m交±=2,x=2為函數的第一類間斷點.

12蟲—2)

6.A

.?2siru?

2|Q?1'2"

1*JC十/①一SITIN'JTX

【精析】lim——---~~■——；-----=lvim---------；------—故應選A.

一“ZJT+sini-x2_i_sin.T

，JC2

7.C

【精析】由生十口=0,得蟲=一匕，分離變量得一xdx=>dy,

yxyx

兩邊積分.得J/+G=Jy2,即/+J=C為原微分方程的通解，故應選C.

8.D

【精析】由于y=/siiu?為［-n.兀］上的奇函數.故■rZsiiwclr=0,故應選D.

J-X

9.B

因為定積分Jarcsirudr的值為常數,而常數的導數等于0，所以《「arcsiucb=

cLrJ<i

0,故應選B.

10.B

【精析】兩邊對立求導得/(/).2JT=2?.所以/(.?)=1,從而/(2016)=1,故選B.

ll.B

［答案1B

【精析】直線的方向向量為s=〈一1.2.3}.平面的法向量n={2.1.0）.由于

s.〃=0,直線上的點（0.1.-2）不在平面上.故直線與平面平行.應選B.

12.C

L答案」c

【精析】y3.J-2.y6.r.令。得了0.當0時..y"?<0:當］〉。時.，>0.

所以函數在.r=0處凹凸性改變.所以函數的拐點為（。.1）?故選（'.

13.C

C

【評注】y=3（x+2）2,/=6（x+2）,令y"=0得：x=-2.當x<-2時,/<0,

X>-2時，y">Q.

14.C

【精析】因為1=3是特征方程的二重根,1是一次多項式.

所以應設為/=、,（5+〃*"故應選《.

15.D

【精析】由正項級數收斂的基本準則知.正項級數收斂的充要條件是部分和數列有

界.故應選D.

16.B

B

【評注】考查P級數，對于級數￡白，當p>i時收斂，當o<p<i時發(fā)散，當p=i

“1n

時為調和級數，發(fā)散，故選B.

17.A

【精析】y'=4+3,且》=0時，得才=［或7=—春（舍）._/（［）=8.

xL乙乙

x=<p（y）在、=0處的導數為\—=看,故應選A.

由定積分的幾何意義可知本題選C.

18.C

19.C

?T=injir=+8發(fā)散/生=24廣=+8發(fā)散.（學=

-YI7=1收斂?『"：心=j^ln\rd（lru-）=如一廠=+8發(fā)散，故選C.

20.C

L答案」（,

【精析】du——）——?（—CLJ--A-dv）.所以（k——一4"dV.故選C.

!.Z.'）N"/（i.i>22"

V

21.A

［答案］A

【精析】令Irw=f，則彳=e，.從而f（z）=1H-er.f\2x）=1+e2z,

故，八2—心=1（1+瞪）業(yè)=（工十尹）|'=彳」.故選A.

22.C

L答案」（,

【精析】lim上空=lim?—=1.故應選（,.

l。j'LOJCcos.r

23.C

［答案］C

【精析】lim/—r=oo.limsin—不存在.lim.zsin—=0.1im2十不存在.故選C.

X—0e-1L。XX-0XJ—0

lim-r2--=lim—?上=1=2.故

24D'''°s】naxJ--osinaraa

A

【評注】本題考查的是隱函數的求導.

25.A

26.C

oo

1

s(2〃+1)

1

27+T)

十］(1一+)+后-4)+"，+(壯1一壯1)+

T(1-J+T-f+，，，+2^I-2^TT+，J-

c

27c【評注】此題考查的是行列式和矩陣的性質?

28.B

函數/Q）在（0,1）上為凸，在（1?2）上為凹，故（1./（D）應為函數/⑺的

拐點，故應選B.

29.C

［答案1C

【精析】/(x)在丁=0處沒1定義，是間斷點.lim〃1)=lim"'=lim—=1.

*_o+一。+了…+.r

lim/(^)=—lim—=—1.lim/(.r)/lim/(1).故.r=0是/(.r)的跳躍間斷點.故

i-*。-1-*0一i-*。+1-0-

應選C

30.C

【精析】一y=log$2+log4G=log《277,277=4，，

兩邊平方?得4］=42、所以I=42T.

互換x與了得反函數為,y=42j_,(―oo<j-V+8).故應選C.

31.

J_

~2

,［答案］1

【精析】lim/(ar)=litn(eU4—a)=1—lirn/(.r)=lim(acos2ar+x)=a?由八工)的

.r?U.r.r?1?'?u'

連續(xù)性?知1—a=〃.即a=-y.

32.

21n（1?。┬?/p>

1一1

【精析】因，二21n（1—I）??（-1）=幽鏟,故力=膽一也

1-T.r—1T-1

33.

（—8.0）

【精析】函數的定義域指的是自變精的取值范圍.則o<2yl.即工<0.

所以函數/（2D的定義域為（一.0）.

34.

優(yōu)Ink

【精析】y=a"lna..y"=a'lrwln”=="'InZlrw=優(yōu)In%,…，嚴-a'Irf'a.

35.

0.01

【精析】由/(4)+/'(才0)?、故/(1+0.01)%/(1)+/(1)-0.01=

Ini+(:|0.01=0.01.

36.

2

【評注】令”=五,則*=1?,*=2“(1?,于是￡e"dx=j；e"Zd”=2(u-l)e[；=2.

37.

2c2/

.2JfZt

因為/(，)=lim(I+—j=lim[(1+—j)=e*,所以/(/)=2c2/.

38.

/(0)=0

【精析】/（.r）=??令/（］）=0得i=（）.當才Vo時，/'（才）V0：當i>0時,

1+X

/（J-）>（）,所以.r=（）為/（a）的極小值點,極小值為/（0）=0.

39.

-2i-2k

iJk

【精析】a/b=11-1

1-1-1

1—11-111

?i+(—1)?j+

—1—1］一］1—1

［答案］4

【精析】|'|x-2|d.r=Jj.r-2|dr+［'|.r-2|dr

=J(2—.r)dr十］(J,一2)dr

41.1

【精析】fI1—JTdx=f1—I1—zId^r=f(1—x)dx+f(x—l)dx

JoJCJ1JOJ1

_111_1

2十2

42.

2

［精析】隔八劃一/L域=lim△公一八。)乂(。)一八一工)=|加八口一

L。JCLOXLO1—0

+lim二八二才)=/(o)+/(O)=2/(0)=2.

1。0一1—X)

43.

7—2_1y+2_g

2=4=￥

【精析】因為所求直線與直線°；平行.

|3v—42+1=0

故所求直線的方向向量為S=(2,-1,0)X(0,3.-2)=(2.4.6).

又直線過點(2.—2,0).故所求直線的方程為三匚="==

Z46

44.

2

(1+

/'ll1.+―①：2.r=2_

v=arctan.r+-：~：—r.V

1+az1+J-2(1+/)2(1+)2

45.

2

2

【評注】因為:/3（X）=g*2（X+1）即/3（］）=4.］.2故有/⑴=2.

46.

/(O)=0

【精析】/（X）=丁沁?令/'（1）=0得I=0.當1V。時./'（I）V0：當①>0時.

1+、廠

/'（*）>（）.所以工=（）為/（a）的極小值點.極小值為/（0）=0.

47.

發(fā)散

oo

因為=lim牛=&（￡>0）.故與￡工具有相同的斂散性.所

”…?-°°n-I“■】

n

oo

以m"發(fā)散?

1

48.

4n

［答案］4n

【精析】由二重積分的幾何意義知I|ch4y即為積分區(qū)域的面積.

P

所以Jdwdy=所=4K.

D

49.

0或1

50.

J

y=(Ci+C'2J)e

【精析】特征方程為產―2「+1=0,解得特征根為小=々=1，

所以所求通解為'=（Ci+1,件）1,其中6（2為任意常數.

51.

“"d/r?仁=-'te'dt

00

/de'=te1e'山

oo

e-(e-1)=1.

52.

解：原式=

53.

t精析】對應齊次方程的特征方程為r2-4r-4=0,

求解得特征根為門=2,h=2.

所以對應齊次方程的通解為V=（G+37）』二

設原方程特解形式為*=（az卜力eJ

代人原方程得a=1,6=3,

所以可得原方程的一個特解為V=（x十3）e"

故原方程的通解為y=（G十C"）產十（/十3成.

54.

【精析】/=jydjr+

ln(I-jr)d(—-)

=p-jln(l—x)

55.

【精析】lim/(JT)=lime"=e

.，、一！、?9

a(1—2x)a1

limf(x)=lim~，=limr

/,Jl-4k.尹(1-2T)(1+2z)=$1+2^=1

由于/《工）連續(xù)?則有=e』Ua=2e.

56.

解:

（2）當4=1時，有無窮多解.BT

通解為：X=kg+&$+"（占他為任意常數）?

57.

【精析】由于

1——1

X1—(X-F1)

8C13

=-Z(z+1)。=2(-1)(1+1)".工€(-2,0),

B=0n=0

所以

i二

f(f)=+="仃尸一［苧-1)(小D］

8

=-Sc(-1)(x4-D-J'=-￡(一1)”(1+I)-

n-Cn-1

03

=2(〃T-l)(x+l)\xe(-2,0).

ir~O

IX?ct?

又X(〃+i)(-2(〃+1)(----1-+1)"=/(----1")?

”一04ir-0

81.、

所以X(”+DLy)"=/(-y、一1_4

/_3\291

H-04Z(T)

58.

siaz-cosj'IcLr=(cos.z—sin.z)d.r+(sinj'

JoJ0JT

:

=(sin、r+cosr)斗(—cos、r-sirur),=2(\/2-1).

0T

59.

【精析】(1)1=p(/)di

--oo,.

00.5Joo

p(.r)d.r+/?(.r)d.r4/>(/)dr

--oo0仇5

0.51

(cr2F.r)d,r=(c—.r2土)」

o\o

_1.1

…觀一.

則c=21；

±

.14"03

(2)P(X<k)=/?(.r)dr—p(.r)dip(.r)d.r

1O1-8—no0

T1。

=(21.r21.r)心=e［乎):T

0

60.

【精析】（D由于M=e，與方=e」線性無關,故可得特征根n==1，

則特征方程為（r-D（r+1）=0,即/-1=0.故微分方程為_/一》=0,因此p=

0,q=-1x

y

（2）顯然通解為）=G1十C2e-，"=G1—。2片，

,（G+G=l.

將已知條件y（0）=Uy（0）=2代入卜.面兩式得、

C,-Ct=2.

故G="1"C=^"，

則特解為>=的一十

61.

【評注】解：令t=Jl+x,則x=『-i，女=2,df,

f8~^=dx=f-2rdf=zl--z3-/1=—.

h

y/mhtL3J23

62.

【精析】兩邊同時對］求導.得

ery（?+內，）+—+j^ln.r=2COS2JT,

則，=2-rco」2①一.心e0一一

*.r2er*+alnT

63.

解：|4|=2,故幺可逆，由4Y=B=2/,可得X=2%T,利用初等變換求X，

3-23-25-2

-一一

=

y1

3-25-27-2dr

)d

15-22x

1-21-21-2

217-2)+

、(y

ou^

6=r(

Jo01-2I

ooOT(.—

力d/=

oo故、2r

,a+L

o3)-2c

ooooT-'

4-y

a-

oooM=