2022年四川省眉山市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年四川省眉山市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1

1.（5分）設(shè)集合M={x|（尤-1）（X-5）<0},N=[x\-<%<3},則MAN等于（）

11

A.<x<l}B.{川VxW3}C.{x[l<x<5}D.{x^<x<5}

2.（5分）i是虛數(shù)單位，若3+ui=（a,Z?GR）,則a+Z?等于（）

A.-5B.-1C.1D.5

3.（5分）某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示，為了解該學(xué)校學(xué)生近視

形成原因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，己知

抽取到的高中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（）

4.（5分）函數(shù)/（X）=x-2lnx+\的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

1

A.（0,2）B.（0,e）C.（-,+~）D.（2,+~）

e

5.（5分）如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該兒

2x—l

6.（5分）設(shè)在R,則“---->1”是“總>1”的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

第1頁(yè)共21頁(yè)

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

71、

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos-a,則cos2a的值為（）

313

A.—pB.-Q,C.0D.一

525

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S=（）

/=1,a=2,S=0

|S=S+i+a|

/輸出■S/

?

A.19B.24C.26D.33

%2y2

9.（5分）已知A,b分別是橢圓方+3=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，尸是橢圓上一

2

點(diǎn)，直線4P與直線/：x=合n相交于點(diǎn)Q,且△AF。是頂角為120°的等腰三角形，則該

橢圓的離心率為（）

1123

A.-B?—C.-D.-

3234

10.（5分）已知函數(shù)/'（X）=^+2^.若a=/（0.6°，）,&=/（log2"）,c=/（log45）,則m

b,。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

11.（5分）已知尸是拋物線C：J=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線/與拋物線交于P,。兩點(diǎn),

t*IFQI

直線I與拋物線準(zhǔn)線1\交于點(diǎn)M,若PM=2FP,則=（）

431

A.3B.—C.-D.—

343

-]—，X>1)

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=elnx，若函數(shù)y=/G)]2+(2-4〃)/G)

5—2%—%<1

+1恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

9494999

A.[-,——)B.(1,——)C.(1,_]D.[-,+°°)

8242488

第2頁(yè)共21頁(yè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量］=（1,2）,b=（r,-3）,若QJ_（a+b）,則實(shí)數(shù)t的值為.

x-y—2W0

14.（5分）已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2%+y40,則z=2x-y的最小值為.

%+1>0

15.（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①n是/（x）的最小正周期；

②/G）在［0,夕的最小值是7；

③Mx）在［0,夕上是單調(diào)遞增函數(shù)；

④x=5是『（X）圖象的一條對(duì)稱軸.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

16.（5分）如圖，A3是。。的直徑，雨垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A,B

的任意一點(diǎn)，出=2,三棱錐P-A8C體積的最大值為*則當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，線

段AC的長(zhǎng)度為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第1?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（-）必考題：共

60分。

17.（12分）第七次全國(guó)人口普查是對(duì)中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代開(kāi)展的重大國(guó)情國(guó)力調(diào)

查.某地區(qū)通過(guò)摸底了解到，某小區(qū)戶數(shù)有1000戶，在選擇自主填報(bào)或入戶登記的戶數(shù)

與戶主年齡段（45歲以上和45歲及以下）分布如下2X2列聯(lián)表所示：

入戶登記自主填報(bào)合計(jì)

戶主45歲以上200

戶主45歲及以下240640

合計(jì)1000

第3頁(yè)共21頁(yè)

（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有95%的把握認(rèn)為戶主選擇自主填報(bào)與年

齡段有關(guān)系？

（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，在自主填報(bào)的戶數(shù)中按照戶主年齡段用分層抽樣的方

法抽取了6戶.若從這6戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行進(jìn)一步復(fù)核，求所抽取的2戶中恰好有1

戶的戶主年齡在45歲以上的概率.

附表及公式：

P（片》依）0.150.100.050.0250.010

履2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K-=(a+b)(L)(a?c)(b+d)，a+d.

18.（12分）如圖，已知OA=10,點(diǎn)8是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)/AOB=120°時(shí)，求線段AB的值；

（2）若△ABC為正三角形，求四邊形OACB面積的最大值.

19.（12分）若等比數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)為正，前〃項(xiàng)和為S”，且S2=6,“3=8.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若｛斯兒｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,求數(shù)列｛為｝的前般項(xiàng)和Tn.

20.（12分）如圖，四棱錐P-A8C。中，側(cè)面南底面ABCD,底面ABCO為梯形，AB

//DC,且AP=PO=CC=2AB=2V5,NAP￡>=NAOC=60°.AC交于點(diǎn)F,G為

/XPAD的重心.

（1）求證：GF〃平面PAB-.

（2）求三棱錐B-GFC的體積.

DC

第4頁(yè)共21頁(yè)

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=axlnx+x.

(1)函數(shù)/(x)是否存在極小值？若存在，求出”的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由；

(2)若0<aWl,求證：f(x)<ev-.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題記分。［選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程］

22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(<p為參數(shù))，以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn),X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線/的極坐標(biāo)方程為。=a(0VaV*),

將射線/繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);后得到射線/1.設(shè)/與曲線C相交于點(diǎn)A,/1與曲線C交于

點(diǎn)B.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若2力。川2+|0引2=曲|0川.|0引，求a的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)f(x)=|2x-4|+|x+l|.

(1)解不等式/(x)W7-x；

a?+i匕2

(2)設(shè)/'(x)的最小值為M,正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b=M,求證：----+-->3.

ab+1

第5頁(yè)共21頁(yè)

2022年四川省眉山市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1

1.(5分)設(shè)集合M={x|G-1)(x-5)<0},AT={A|-<x<3},則MCIN等于()

11

A.{x|^<x<l}B.{x|l<xW3}C.{x|l<x<5}D.{x^<A<5}

【解答】解：集合M={R(x-1)(x-5)<0)={x|l<x<5},

1

N={x\~<x<3},

，MnN={x[l<xW3}.

故選:B.

2.（5分），.是虛數(shù)單位，若3+出=三匕（a,b€R）,則a+b等于（)

A.-5B.-1C.1D.5

【解答】解：若3+出=牛（a,左R）,

則3+ai=(2+*T)=B.2I>

則a=-2且6=3,所以a+6=-2+3=1,

故選：C.

3.（5分）某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示，為了解該學(xué)校學(xué)生近視

形成原因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，已知

抽取到的高中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（）

D.90

【解答】解：高一的近視學(xué)生人數(shù)為：1800X10%=180,

高二的近視學(xué)生人數(shù)為：1600X20%=320,

高三的近視學(xué)生人數(shù)為：1500X30%=450,

第6頁(yè)共21頁(yè)

36a

設(shè)抽取的高三學(xué)生人數(shù)為小則七==，

180450

解得4=90.

故選：D.

4.(5分)函數(shù)/(x)=x-2阮什1的單調(diào)遞減區(qū)間為()

1

A.(0,2)B.(0,e)C.(-,+8)D.(2,+?>)

e

【解答】由題可知，函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

由r=V0,

解得0<x<2,

所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).

故選：A.

5.(5分)如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾

該幾何體為正四棱柱挖去一個(gè)正四棱錐，

正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4,高為5,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2或，高為3.

?,?該幾何體的體積為V=4X4X5-|X2>/2X2V2X3=72.

第7頁(yè)共21頁(yè)

故選：A.

2x—l

6.（5分）設(shè)x€R,則“---->\"是“x>l”的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2%—12x—1x—1

【解答】解：：------>10---------1>0=——>0=（X-1）x>0,；.X>1或x<0,

XXX

V{xlr>l}￡{xk>l或x<0}，

2x-l

：.------>1是x>l的必要不充分條件,

X

故選：B.

7.（5分）若aE（0,-sin2a=cos2a,則cos2a的值為（）

313

A.一百B.一C.0D.-

5

71

【解答】解：因?yàn)閍e（0,

所以sina>0,cosa>0,

因?yàn)閟in2a=cos2a,可得2sinacosa=cos2a,

所以2sina=cosa,即tana=,

cos^a—sin^a_1—tan^a_114

所以cos2a=

cos2a+sin2al+tan2a1+J

4

故選：D.

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S=（）

A.19B.24C.26D.33

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

程序運(yùn)行第1次，5=1+2；

第8頁(yè)共21頁(yè)

1

第2次，S=1+2+2+京

1

第3次，S=1+2+2+^+3+(-Z)；

11

第7次，S=1+2+2+/3+（-1）+4+2+5+*+6+（-1）+7+2=33.

此時(shí)i=7,輸出，貝ijs=33.

故選：D.

x2y2

9.（5分）已知A,尸分別是橢圓二++=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，尸是橢圓上一

a2b2

點(diǎn)，直線AP與直線/：相交于點(diǎn)Q,且△AF。是頂角為120°的等腰三角形，則該

橢圓的離心率為（）

1123

A.-B?一C.-D.一

3234

【解答】解：如圖，設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為H,

由AAF。是頂角為120°的等腰三角形,

知|FQ|=|硒|=a+c,NQFH=60°,

于是，在RtAFQH中，尸H|=初（2|,

而丁川=弓一c=?,

山b2a+c

故—=---，

c2

又由。2=必+。2得3c2+tzc-2?2=0,

即3e2+e-2=0,

解得e=f.

故選：C.

第9頁(yè)共21頁(yè)

10.(5分)已知函數(shù)/(x)=ew+2x2.若。=/(0.6°，),/?=/(log2-),c=f(log45),則。，

b,c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<h<aC.a<c<hD.b<c<a

【解答】解：f(x)=6a+3，x€R,

fC-x)=eM+2(-x)2=eM+Zr2=/(x),

所以f(x)為偶函數(shù)，且x>0時(shí)，，單調(diào)遞增，2f單調(diào)遞增，

所以x>0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，

1

所以b—f(log2-)—f(-log23)—f(log23),

由于0<0.6°-7<1,Iog23=log49>log45>l,

則a<c<b.

故選：C.

11.(5分)已知尸是拋物線C：p=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線/與拋物線交于尸，Q兩點(diǎn)，

直線/與拋物線準(zhǔn)線1\交于點(diǎn)M,若PM=2FP,則K荷=()

431

A.3B.-C.-D.一

343

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)H,則|PF=|PH|=m(膽>0),過(guò)點(diǎn)Q

作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)E,則|EQ|=|QF|,

'：PM=2FP,：.\PM\=2m,

根據(jù)可得二=7^-=

\PM\\QM\2

：.2\EQ\=\QM\=\EQ\+3m.：.\EQ\=\3m,即尸

.IFQI3m.

,,|FP|~m~'

故選：A.

第10頁(yè)共21頁(yè)

-工>]

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=如匯’,若函數(shù)y=/(x)產(chǎn)+(2-4〃)/(x)

5—2x—x2,%<1

+1恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

9494999

A.[一,—)B.(1,—)C?(1,—]D.[―,+°°)

8242488

【解答】解：當(dāng)x>l時(shí)，/(%)=嬴，則/'(%)=霽三，

當(dāng)l<xVe時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

則x>l時(shí)，f(x)(e)=1.當(dāng)xWl時(shí)，f(x)=5-2x-/=-(x+1)2+6<6.

作出/(x)大致圖象，函數(shù)y=l/(x)『-(4a-2)/(x)+1恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，

即方程,⑴(2-4a)“x)+1=0恰有5個(gè)根.令/(X)=t,則需方程L+(2-4a)

Z+l=0(*).

(/)在區(qū)間(-8,1)和⑵6)上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令函數(shù)"⑺=e+(2-4a)r+1,

第"頁(yè)共21頁(yè)

a(l)=l+2-4a+lV0g49

貝M“(2)=4+2(2—4a)+lS0,解得一4aV莉.

(u(6)=36+6(2-4a)+1>0

(2)方程(*)在(1,2)和(6,+8)各有一根時(shí)，

u(l)=1+2-4a+1>0a<1

則｛“(2)=4+2(2—4a)+1<0,即，a>耳，無(wú)解.

.u(6)=36+6(2-4a)+1<0>—

Ia24

on1

(3)方程(*)的一個(gè)根為6時(shí)，可得a=/，驗(yàn)證得另一根為不不滿足.

(4)方程(*)的一個(gè)根為1時(shí)，可得。=1,可知不滿足.

-94499

綜上，一<a<一?

824

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知向量Q=(1,2),b=(r,-3),若Q_L(Q+b),則實(shí)數(shù)t的值為]

【解答】解：\?向量Q=(1,2),b=(/,-3),

/.a4-h=(1+/,-1),

Va±(a+b),

Aa?(Q+b)=1+L2=0,

解得實(shí)數(shù)，=L

故答案為：1.

(x-y—240

14.(5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2%4-y<0，則z=2x-y的最小值為-4

(%+1>0

【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=2x-y得y=2x-z,解得4(-1,2),

~ry-u

平移直線y=2x-z,

由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)時(shí)，

直線的縱截距最大，

此時(shí)z最小，

此時(shí)z--2-2--4,

第12頁(yè)共21頁(yè)

故答案為：-4.

15.(5分)關(guān)于函數(shù)/(%)=sin2x+cos2x,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①n是/(x)的最小正周期；

②f(X)在[0,$的最小值是-1；

TT

③在[0,萬(wàn)]上是單調(diào)遞增函數(shù)；

④、=工是f(X)圖象的一條對(duì)稱軸.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

【解答】解：f(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+^),

①最小正周期T=^=m即①正確；

7TTC57T

②因?yàn)楣?[0,—所以2元+江—],

所以當(dāng)2工+與=孚，即x=^時(shí)，函數(shù)/(x)取得最小值-1,即②正確；

③令2x+.HZZrrr-a，2Kt+引，kGZ,則x€[Kr—g-,Kt+9],keZ,

所以/G)的增區(qū)間為陽(yáng)一引加+射，蛇Z,顯然[0,自不是其子集，即③錯(cuò)誤；

④/1(J)=V2sin(2弓+f)=V2=/(x)max＞所以x=g是/(無(wú))圖象的一條對(duì)稱軸，

8840

即④正確.

故答案為：①②④.

16.(5分)如圖，AB是。。的直徑，以垂直于。0所在的平面，C是圓周上不同于A,B

8

的任意一點(diǎn)，PA=2,三棱錐P-A8C體積的最大值為J,則當(dāng)△P8C的面積最大時(shí)，線

段AC的長(zhǎng)度為

第13頁(yè)共21頁(yè)

D

【解答】解：設(shè)48=a,則0C=￥，由以_L平面ACB,幺=2,

8

得到△ABC面積最大時(shí)，，0C1AB,三棱錐P-A8C體積的最大值為

11a?

x-xax—x2=5,解得a=4,

3223

:AB是圓。的直徑,：.ZACB=90°,：.BC±AC,

平面ACB,：.PA±BC,；.BC_L平面%C,：.BC±PC,

：.BC^PC2-PB2=PA2+AB2=20,

:&PBC=jxBCxPC<1（BC2+PC2）=5,

當(dāng)且僅當(dāng)BC=PC=VTU時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)AC=>JPC2-PA2=V6.

故答案為：V6-

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第1?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）第七次全國(guó)人口普查是對(duì)中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代開(kāi)展的重大國(guó)情國(guó)力調(diào)

查.某地區(qū)通過(guò)摸底了解到，某小區(qū)戶數(shù)有1000戶，在選擇自主填報(bào)或入戶登記的戶數(shù)

與戶主年齡段（45歲以上和45歲及以下）分布如下2X2列聯(lián)表所示：

入戶登記自主填報(bào)合計(jì)

戶主45歲以上200

戶主45歲及以下240640

合計(jì)1000

（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有95%的把握認(rèn)為戶主選擇自主填報(bào)與年

齡段有關(guān)系？

（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，在自主填報(bào)的戶數(shù)中按照戶主年齡段用分層抽樣的方

法抽取了6戶.若從這6戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行進(jìn)一步復(fù)核，求所抽取的2戶中恰好有1

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戶的戶主年齡在45歲以上的概率.

附表及公式：

p(心知)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

2

其中K?=7上內(nèi),n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：⑴2X2列聯(lián)表：

入戶登記自主填報(bào)合計(jì)

戶主45歲以上160200360

戶主45歲以下240400640

合計(jì)4006001000

2

產(chǎn)“210=004x0(01X6600x04X0306-020X06x42040)=4).-630>3.8,4小1,

所以有95%的把握認(rèn)為戶主選擇自主填報(bào)與年齡段有關(guān)系；

(2)依題意，在自主填報(bào)的戶數(shù)中按照戶主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6戶，其中

年齡在45歲以上的有6x瑞=2戶，所以在45歲以下的戶主中抽取的為4戶，

記“所抽取的2戶中恰好有1戶的戶主年齡在45歲以上”為事件A,

所以尸(A)=望=得.

cj15

18.(12分)如圖，已知OA=10,點(diǎn)5是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)/AOB=120°時(shí)，求線段AB的值；

(2)若△ABC為正三角形，求四邊形0AC8面積的最大值.

【解答】解：(1)在aAOB中，由余弦定理得：AB2=O^+OB2-20AOBcosZAOB=

102+52-2x10x5xCOS120。=100+25-100x(-^)=175,

所以AB=56；

(2)設(shè)/AO8=a,所以4^=042+052-2.OR.OB-cosa=125-lOOcosa,

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則S四邊形QACB=SAOAB+SZ\4BC=2。4,08?sina+蛾A8?=2x10x5sina+端(125~

lOOcosa)=25sina-25V3cosa+i^=50(|sina-fcosa)+竿=50sin(a-J)

,12573

+^-'

所以當(dāng)a=系時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值為50+片小?

19.(12分)若等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)為正，前〃項(xiàng)和為S“且52=6,“3=8.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛s力”｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列｛d)的前八項(xiàng)和T,t.

【解答】解：(1)由題意知，公比gWl,

」a(l-Q2)

由52=6,。3=8,得Za--1------=6,〃i/9=8,

l-q

解得行一號(hào)或2，

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛飆｝的各項(xiàng)為正，所以夕>0,所以q=2,ai=2,

故數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式為如=〃0-1=2".

(2)設(shè)Cn=%6”，則｛c“是以I為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以Cn=l+(〃-1A1=〃，

所以“

所以刀尸*+最+亳+…+條占+矣①，

?'尸共+條+>…+展+券勖

①-②得,，嗎+會(huì)+會(huì)+-“+去一+1=吟￥」一向=—(扔一聲，

所以〃=2X[1—6尸一令]=2一字.

20.(12分)如圖，四棱錐P-A8CO中，側(cè)面以.底面A8CD,底面ABC。為梯形，AB

//DC,且AP=PQ=CD=2AB=2V5,ZAPD=ZADC=60°.AC交BD于點(diǎn)F,G為

△BAD的重心.

(1)求證：GF〃平面PAB-,

(2)求三棱錐B-GFC的體積.

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由底面A8CD為梯形，AB//CD,CD=2AB,

DFDC2

：./\ABF/\CDF,則一=—=

FBAB1

DG2DFDG2

又由G為△以￡）的重心，=則—=—=

GE1FBGE1

所以GF//EB.

而GRt平面PAB,EBu平面PAB,

所以GF〃平面PAB.

(2)解：由AP=PO,NAPO=60°,則△以力為正三角形.

又AO=PD=OC,NAOC=60°.所以△4OC為正三角形.

因?yàn)槠矫媪ΑL平面ABCD,平面用5平面ABCD=AD,

在△%￡)中，連接PG并延長(zhǎng)交A。于點(diǎn)M,WPMLAD,所以PM_L面ABCD

FCDF22

又77=瑞=，'則％-GFC=VG-BFC=

/irrD1」

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R

因?yàn)镹￡>AC=NACD=60°=NCA8,AB=V3,AC=2V3,

所以S-BC=5\AB\■\AC\?sin60°=笠.

又△AOC為正三角形，AD=2A/3,則PM=3,GM=1,

所以%TBC=,SMBC“GM|=與,

故VB-GFC—^G-ABC-冬

21.(12分)己知函數(shù)/(比)=axlnx+x.

(1)函數(shù)/CO是否存在極小值？若存在，求出。的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由;

(2)若OVoWl,求證：f(x)V/-7+1.

【解答】(1)解：由題意/(x)=Hnx+〃+l(其中Q0),

當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)/(x)=x不存在極值.

a+l

當(dāng)々HO時(shí)，令/(xo)=alnxo+a+\=0,則%o=e--1.

若〃>0,可知OVxVxo時(shí)，f(xo)<0,x>xo時(shí)，f(xo)>0,

則此時(shí)M為f(x)的極小值點(diǎn)，符合題意.

若〃<0,可知OVxVxo時(shí)，f(xo)>0,x>xo時(shí)，f(xo)<0,

則此時(shí)沖為f(x)的極大值點(diǎn)，不合題意.

綜上，/(x)存在極小值時(shí)，。的取值范圍是(0,+8).

(2)證明：由不等式/(x)V，-/+1得ox歷x+fv/-尤+1(其中冗〉0),

一一^alnxex-x+l,

即證明——+1<——(其中x>0).

x

令“(X)=+1,v(x)=ex：+l，只需證明u(x)max<V(X)加〃即可.

又u'(%)="Q0<aWl,則0<x<e時(shí)，ii(x)>0；x>e時(shí)，u(x)<0.

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則x=e時(shí)，"(x)取得極大值，即"(x)的極大值為“(e)=微+1,也即為最大值.

由心)=竺妥1,得4乃=(el"爹(eJ+1)=(久-2y+1),

則0<x<2時(shí)，v'(%)<0；x>2時(shí)，v'(%)>0.

則x=2時(shí)，vG)取得極小值，即v(x)的極小值為"(2)=平，也即為最小值.

X

由于吟)min-U(X~)max=v(2)-u(e)=一一1

_5e—4_e(e2—5)—4

=-4e~=4eU,

CLITIXe%—%+l

即有〃(X)〃?ax〈y(X)tnin?則+1y~

XX2

所以0<aWl時(shí)，不等式/(x)成立.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題記分。［選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程］

22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為仔=：1,0(為參數(shù))，以坐標(biāo)原

(y=sin(p丁

點(diǎn)為極點(diǎn),X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線/的極坐標(biāo)方程為。=a(0<aV*),

71

將射線/繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一后得到射線k