鹽城市一中、大豐高級中學(xué)等四校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

鹽城市一中、大豐高級中學(xué)等四校2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二年級期終考試數(shù)學(xué)試題命題：校對：審核：一、單項選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.命題“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義寫出命題的否定．【詳解】命題“”的否定是．故選：D．2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下，若在處有極值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷．【詳解】由知，時，，時，，時，，是極值點．雖然有，但在7的兩側(cè)，，7不是極值點．故選：B．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法求解．【詳解】由題意．故選：B4.平面的一個法向量是，平面的一個法向量是，則平面與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交且不垂直 C.相交且垂直 D.不確定【答案】C【解析】【分析】利用兩個法向量的數(shù)量積等于，即可判斷兩個平面垂直，進而可得正確選項.【詳解】因為，所以平面平面，故選：C.5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不必要也不充分條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，可得，解得，，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.在三棱錐中，，，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算把用表示出來即可得．【詳解】由題意是中點，∴，又，則，∴，若，則．故選：C．7.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，展開后應(yīng)用基本不等式可得最小值．【詳解】由題意，當且僅當，即時等號成立．故選：D．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．8.已知函數(shù)，若存在使不等式成立，則整數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對求導(dǎo)可得，單調(diào)遞增，原不等式可化為存在使得有解，即對于有解，只需，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求最小值即可.【詳解】由可得，所以在單調(diào)遞增，所以不等式成立等價于，所以對于有解，令，只需，則，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，，，所以，所以，整數(shù)的最小值為，故選：A.【點睛】方法點睛：若不等式（是實參數(shù)）有解，將轉(zhuǎn)化為或有解，進而轉(zhuǎn)化為或，求最值即可.二、多項選擇題：本題共4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有選錯的得0分.9.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】對雙曲線的焦點位置進行分類討論，求出的值，利用公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若雙曲線的焦點在軸上，則，所以，雙曲線的離心率為；若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，所以，雙曲線的離心率為.故選：AD.10.在正方體中，若點分別為的中點，則（）A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】AB【解析】【分析】作出平面截正方體珠完整截面，然后根據(jù)線面平行、垂直的判定定理判斷．【詳解】取的中點，如圖，則是正方體的截面．，底面，平面，則，又，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，同理，，平面，所以平面，A正確；由，平面，平面，得平面，B正確；由與平行且相等得是平行四邊形，與相交且平分，且與不垂直（可證且，得），因此CD均錯．故選：AB．【點睛】思路點睛：本題考查空間線面的平行與垂直關(guān)系，掌握線面平行與垂直的判定定理是解題關(guān)鍵，實際上對特殊的空間圖形如正方體的性質(zhì)的掌握是本題的關(guān)鍵，方法是作出完整的截面，然后判斷平行與垂直，對正方體的截面作出完整的截面后易判斷各種關(guān)系．11.2018年世界著名的國際科技期刊《Nature》上有一篇名為《TheUniversalDecayofCollectiveMemoryandAttention》的論文，該文以12個不同領(lǐng)域的數(shù)據(jù)指出雙指數(shù)型函數(shù)在描繪人類行為時的普適作用.關(guān)于該函數(shù)下列說法中正確的有（）A.當且時函數(shù)有零點B.當且時函數(shù)有零點C.當且時函數(shù)有極值D.當且時函數(shù)有極值【答案】BC【解析】【分析】由，，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為雙指數(shù)型函數(shù)，所以因為，，，即，所以A錯誤，B正確；，因為函數(shù)有極值，所以有解當時，即，，，，即，即D錯誤.當時，不妨設(shè)則，由得；因此當時，；當時，；即為極值點從而C正確；故選：BC.12.已知無窮數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，，則下列說法中正確的有（）A.若，則是等差數(shù)列B.若是等差數(shù)列，則C.若，，，則是等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，則，，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義判斷AB．由等比數(shù)列的定義判斷CD．其中判斷C時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等比數(shù)列．【詳解】A．時，，，是等差數(shù)列，A正確；B．若，則可取任何不等于的值，都滿足，B錯誤，這個例子也說明D錯誤；若，，，，，假設(shè)，則成立，由數(shù)學(xué)歸納法知對的所有自然數(shù)都成立，，所以是等比數(shù)列，C正確．故選：AC．【點睛】思路點睛：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷．解題關(guān)鍵是確定判斷各選項時需要判斷的命題是什么．A是由已知的值結(jié)合證明數(shù)列是等差數(shù)列，C是由，，結(jié)合，求出后講明這是等比數(shù)列即可，B是由數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合去求解值，看是不是有，D也類似，因此選項BD我們可用一個非0的常數(shù)列檢驗為何值即可得．三、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.若點在拋物線上，點為該拋物線的焦點，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】由拋物線的方程求出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義可得等于點到準線的距離即可求解.【詳解】由可得其焦點，準線為，因為點在拋物線上，所以點到焦點的距離等于到準線的距離，所以，故答案為：.14.有一塊直角三角形空地，，米，米，現(xiàn)欲建一矩形停車場，點、、分別在邊、、上，則停車場面積的最大值為________平方米.【答案】【解析】【分析】設(shè)米，米，根據(jù)可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即為所求.【詳解】設(shè)米，米，則，，，即，整理可得，由基本不等式可得，，當且僅當時，即當時，等號成立.因此，停車場面積的最大值為平方米.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15.設(shè)函數(shù)，若，則有_____個零點；若有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為____________.【答案】①.1②.【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為和有幾個不同交點，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出的范圍即可．【詳解】若，則，即，根據(jù)函數(shù)和圖象的交點可知，有一個零點.∵函數(shù)有兩個不同的零點，∴和有2個不同交點，令，則過，畫出函數(shù)和的圖象，如圖示：設(shè)直線為的切線，設(shè)切點，則，解得：，即當時，和相切有一個交點，故，結(jié)合圖象時，存在1個交點或不存在交點，不合題意，故，綜上：時，則有1個零點，有且僅有兩個零點時，的取值范圍是．故答案為：1，．【點睛】方法點睛：研究函數(shù)零點個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象求交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.16.已知數(shù)列與滿足，，數(shù)列的前項的和為，若恒成立，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】由已知式寫出為的式子，相減求得，檢驗是否相符，求得，用裂項相消法求得和，由表達式得的范圍，從而得最小值．【詳解】∵，所以時，，兩式相減得，又，所以，有，從而，，顯然，所以，的最小值為1．故答案為：1．【點睛】方法點睛：本題主要考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和，數(shù)列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）錯位相減法，（3）裂項相消法，（4）分組（并項）求和法，（5）倒序相加法．四、解答題：本題共6題，第17題10分，其余每小題12分，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.從①、、成等比數(shù)列，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.已知等差數(shù)列的前項和為，，，，求數(shù)列的前項和為.【答案】答案見解析.【解析】【分析】選①，設(shè)等差數(shù)列公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可求得數(shù)列的通項公式，可求得，進而可求得；選②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可求得數(shù)列的通項公式，可求得，進而利用分組求和法可求得；選③，設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式求出的值，可求得的值，求出數(shù)列的通項公式，可求得，進而利用分組求和法可求得.【詳解】解:選①，設(shè)數(shù)列的公差為，則由可得，由、、成等比數(shù)列得，可得，所以，，解得或，若，，則，，；若，，則，，；選②，設(shè)數(shù)列的公差為，則由可得，由得，即，聯(lián)立以上兩式可得，，所以，，，；選③，設(shè)數(shù)列的公差為，則由可得，，，，由得，則，所以，，，.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.18.如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.（1）利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）求出的坐標，利用空間向量的模長公式可求得的長.【詳解】平面，，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、.（1），，∴，則異面直線與所成角的余弦值為；（2），，，，，，因此，.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.19.已知函數(shù).（1）已知在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）已知在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得出，由此可求得實數(shù)的值；（2）求出函數(shù)的定義域為，由題意可知，在上恒成立，利用參變量分離法得出，利用基本不等式求出在上的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），，，又在點處的切線方程為，，解得；（2）的定義域為，在定義域上為增函數(shù)，在上恒成立，在上恒成立，，由基本不等式，當且僅當時等號成立，故，故取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號零點；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.20.在如圖所示的四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，△是正三角形，平面平面.（1）求平面與平面所成銳二面角的大小；（2）設(shè)為上的動點，直線與平面所成的角為，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】取的中點，取的中點，連接，以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系.（1）求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角得二面角；（2）設(shè)，，求出與平面法向量夾角的余弦的絕對值，利用函數(shù)的知識求得最大值．【詳解】解：取的中點，取的中點，連接，因為底面是正方形，∴，∵△是正三角形，為中點，∴，又因為平面平面，平面平面，平面，∴平面，以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系.⑴,，,則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，則，令，得，，,，,則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，則，令，得，，∴，又，∴，∴面與平面所成銳二面角的大小為.⑵設(shè)，，則，則，因為直線與平面所成的角為，∴，當且僅當時取等號，故求的最大值為.【點睛】方法點睛：本題考查空間向量法求直線與平面所成的角，求二面角．求空間角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出空間的平面角（異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角）并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標系，寫出各點為坐標，求出直線方向向量，平面的法向量，利用直線方向向量的夾角得異面直線所成角（相等或互補），直線方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值得直線與平面所成角的正弦值，兩個平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補）．21.已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上．（1）求的方程；（2）若橢圓的左右焦點分別為，過點的直線與交于A、B兩點，與的面積分別為，，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件可得，將點代入橢圓的方程結(jié)合即可求得的值，進而可得橢圓的方程；（2