多目標(biāo)決策方法

多目標(biāo)決策方法2023/12/27多目標(biāo)決策方法1分量加權(quán)和方法考慮多目標(biāo)規(guī)劃：其中可行集假定多目標(biāo)函數(shù)中的各個分量fi(x),[(1≤j≤p)具有相同的度量單位，那就可以按照一定的規(guī)則加權(quán)后，再按某種方式求和，構(gòu)成評價函數(shù)。然后，再對評價函數(shù)求單目標(biāo)極小化。對于權(quán)系數(shù)的不同處理和求和方式的不同，可有下列不同方法。多目標(biāo)決策方法1.1線性加權(quán)和法分別給多目標(biāo)函數(shù)F(x)的第j個分量fj(x)賦以權(quán)系數(shù),作線性加權(quán)和評價函數(shù)：把求解多目標(biāo)問題(P0)轉(zhuǎn)化成求解單目標(biāo)問題(P1):

多目標(biāo)決策方法s.t.x

X只要可行集X是凸集，目標(biāo)函數(shù)fj(x)都是X上的凸函數(shù)(1≤j≤0);如果對于給定的權(quán)系數(shù),問題（P1）的最優(yōu)解x*(w)是唯一解，那么x*(w)一定是問題(P0)的非劣解；或者給它的權(quán)系數(shù),那么問題(P1)的最優(yōu)解x*(w)也一定是問題(P0）的非劣解。多目標(biāo)決策方法[例1]求解這里：f1(x)=(x1-1)2+(x2-1)2f2(x)=(x1-2)2+(x2-3)2

f3(x)=(x1-4)2+(x2-2)2

X={x∈R2/x1+2x2≤10，x2≤4，x1≥0，x2≥0}X是凸集，f1(x),f2(x),f3(x)都是X上的凸函數(shù)。多目標(biāo)決策方法定義權(quán)系數(shù)wi≥0(j=1,2,3),w1+w2+w3=1.構(gòu)造評價函數(shù)求解單目標(biāo)最優(yōu)目標(biāo)問題：顯然，對于不同的權(quán)系數(shù)，最優(yōu)解x*(w)是不同的，但是它們都是原多目標(biāo)問題的非劣解，下面給出幾組權(quán)系數(shù)及其對應(yīng)的最優(yōu)解（表1）.多目標(biāo)決策方法可以證明，這個問題的全部非劣解為：

其中：

w=(w1,w2,w3)≥0序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F1=(f1,f2,f3)12345(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1/3,1/3,1/3)(3/6,2/6,1/6)(1,1)(2,3)(4,2)(7/3,2)(11/6,11/6)(0,5,10)(5,0,5)(10,5,0)(25/9,10/9,25/9)(25/18,25/18,85/18)表1線性加權(quán)法的最優(yōu)解多目標(biāo)決策方法1.2平方加權(quán)和法先求各分量的最優(yōu)值

分別賦以權(quán)系數(shù)wj,再作平方加權(quán)和評價函數(shù)：

多目標(biāo)決策方法1.3α一法先對P個分量fj(x)求極小化,假設(shè)得到P個相應(yīng)的極小點xj

，然后把這個P個極小點分別依次代入各個目標(biāo)函數(shù)，就能得到P2個值。然后，作線性方程組其中

是待定常數(shù)，由此可以解出權(quán)系數(shù)

多目標(biāo)決策方法[例2]用

法求本節(jié)例1的權(quán)系數(shù)。從表1可知，3個單目標(biāo)分量單獨求極小化，所得3個極小點是： ， ， 3個極小點依次代入3個目標(biāo)函數(shù)后，可以構(gòu)造線性方程組如下：

不難解出，這個方程組有唯一解： ，，，，其相應(yīng)的線性加權(quán)和問題（P1）的最優(yōu)解為，它也是多目標(biāo)問題（P0）的非劣解，這時。 多目標(biāo)決策方法1.4統(tǒng)計加權(quán)和法這是用統(tǒng)計方法處理權(quán)系數(shù)，同時進行方案比較的方法，1976年同B.A.ByНКИН等人提出。首先，由l個老手（專家）各自獨立地提出一個權(quán)系數(shù)方案（見表3.2所示），所以這個方法又稱“老手法”。權(quán)系數(shù)老

手w1w2…wj…wp1w11w12…w13…w1p

\

\

kwk1wk2…wk3…wkp

\

\

lwl1wl2…wlj…w1p均

值……表3.2權(quán)系數(shù)方案多目標(biāo)決策方法在對在均值偏差太大的權(quán)系數(shù)進行適當(dāng)協(xié)商和調(diào)整之后，求出各個權(quán)系數(shù)wj的平均值：然后構(gòu)造統(tǒng)計加權(quán)和評價函數(shù):因為這時把權(quán)系數(shù)wj看成是一個隨機數(shù)，因此在比較兩個方案x1和x2的優(yōu)劣時，不能直接比較和的大小，而只能按統(tǒng)計方法進行比較，例如利用假設(shè)檢驗的方法來確定不同方案的優(yōu)劣。多目標(biāo)決策方法1.5變動權(quán)系數(shù)法讓線性加權(quán)和評價函數(shù)中的各權(quán)系數(shù)wj(1

j

p)按一定規(guī)則變動，再求解問題（P1），就能得到多目標(biāo)決策問題（P0）的全部非劣解。[例3]求解雙目標(biāo)決策問題：

多目標(biāo)決策方法

作評價函數(shù)求解令，得最優(yōu)解為：

當(dāng)w從1變動到5，x*由0變到2，當(dāng)w從1/5變動到0，x*由2變到+∞，但是這些解不可行，不予考慮。所以這個例子的非劣解集是X*=[0，2]。但是，變動權(quán)系數(shù)法對于較大的n和p,以及復(fù)雜的分量函數(shù)，求解是很困難的，怎樣不斷變動權(quán)系數(shù)還是一個問題。多目標(biāo)決策方法2確定加權(quán)系數(shù)的方法2.1

法考慮多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題： 其中X={x|gi(x)

0,1

i

m,x

Rn}，

法的核心是以理想點P*為標(biāo)準(zhǔn)來確定各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)決策方法[1]．雙目標(biāo)決策問題（p=2）先依次求解單目標(biāo)最優(yōu)化問題：分別得到最優(yōu)解x1和x2；相對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為：

多目標(biāo)決策方法目標(biāo)空間中的幾何圖形見圖3.3所示。圖3.3

法幾何說明多目標(biāo)決策方法記理想點求解單目標(biāo)最優(yōu)化問題設(shè)其最優(yōu)解為x0，記。多目標(biāo)決策方法則從幾何意義上易見，F(xiàn)0恰是以理想點F*的圓心所作圓與目標(biāo)集F(X)相切的切點，連接F*與F0兩點，直線F0F*的斜率為：

設(shè)與直線F0F*垂直的直線方程為：

1f1+

2f2=

（1）其中0<

i<1，（i=1,2），

1+

2=1 （2）多目標(biāo)決策方法由（1）式有：

由兩條垂直直線的斜率關(guān)系有： （3）聯(lián)立求解（2）、（3），可得：

而且滿足

1+

2=1

1，

2就是目標(biāo)f1和f2的權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)決策方法[2]．多目標(biāo)決策問題（P>2）設(shè)（i=1,2,…,P）記理想點，并假定F*不在目標(biāo)集F(X)中，求解單目標(biāo)最優(yōu)化問題： 設(shè)其最優(yōu)解為x0，目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)決策方法在P維空間中，連接F0和F*兩點的聯(lián)線方程為：

其方向向量為：

易見 。所以， 與

方向相同。多目標(biāo)決策方法在P維空間上作超平面，使其法向量恰為

0，而這個超平面方程的法向量為

1，

2，…

P，所以有： （k=1,2,…,P）而且滿足

這樣求出的

k就是目標(biāo)fk的權(quán)系數(shù)，（k=1,2,…,P）多目標(biāo)決策方法2.2環(huán)比評分法假定多目標(biāo)決策問題共有P個目標(biāo)f1,f2,…,fP。先把目標(biāo)依次一對一對進行比較，先確定兩個目標(biāo)之間重要性的比率。等全部對比好之后，再以最末一個目標(biāo)當(dāng)作1，循序向上環(huán)比，算出全部目標(biāo)間重要性比率，最后再算出權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)決策方法

[例]一個多目標(biāo)決策問題有6個目標(biāo)，目標(biāo)間的比率及對應(yīng)權(quán)系數(shù)如表3.3所示表3.3環(huán)比評分表其中f1的權(quán)系數(shù)，其它依此類推。目

標(biāo)兩個之間比率

六個之間比率權(quán)

系

數(shù)f12—→7.500.4236f21—→3.750.2143f33—→3.750.2143f45—→1.250.0714f50.25—→0.250.0143f611.000.0571

=17.50

=1.00多目標(biāo)決策方法2.3二項系數(shù)加權(quán)法設(shè)多目標(biāo)決策問題共有P個目標(biāo)f1,f2,…,fP。假定經(jīng)過專家組評定和比較，已經(jīng)定性地給這P個目標(biāo)排列了一個重要性的優(yōu)先序，不失一般性，不妨記為：我們可按對稱方式，將上列優(yōu)先序重新調(diào)整，使得最中間位置的目標(biāo)最重要，同時重要性分別向兩邊遞減。當(dāng)P=2K時，排序為： 當(dāng)P=2K+1時，排序為：

多目標(biāo)決策方法當(dāng)我們對這P個決策目標(biāo)很不熟悉，缺乏確定優(yōu)先權(quán)的經(jīng)驗時，可以直接采用二項式展開的各項系數(shù)作為這P個目標(biāo)的權(quán)系數(shù)。按照上述從左向右的優(yōu)先序排列分配給相應(yīng)的目標(biāo)。由于共有P個目標(biāo)，所以宜采用P-1次冪的二項展開式：展開式中，共有P項系數(shù)，從左向右，它們依次是：1，，，…，，1。若在二項展開式中令b=1，則有：

多目標(biāo)決策方法所以，可以如下定義P個目標(biāo)的權(quán)系數(shù)（1）當(dāng)P=2K+1時，令 ，， 。（2）當(dāng)P=2K時，令 ，， 。不難看出，這樣定義的權(quán)系數(shù)滿足條件：

多目標(biāo)決策方法這種二項系數(shù)加權(quán)法特別適用于決策者毫無賦權(quán)經(jīng)驗的問題，而且適宜于計算機求解。而且，當(dāng)目標(biāo)個數(shù)P很大時，各個目標(biāo)在給出的重要性排序下，其對決策者所起作用（重要程度）大小的分布可看成具有某種概率分布的隨機變量分布；由于各自的重要程度受到大量微小的、獨立的因素影響的結(jié)果，因此按照概率論中心極限定理，這種分布近似服從正態(tài)分布，而二項式系數(shù)的大小正好與此吻合。所以，二項系數(shù)加權(quán)法是比較接近實際的。多目標(biāo)決策方法2.4倒數(shù)法假定多目標(biāo)決策問題的P個目標(biāo)都是求最大值，而且（k=1,2,…,P）。這里： （k=1,2,…,P）如果構(gòu)造“線性加權(quán)和”評價函數(shù) ，則可以定義這P個目標(biāo)的加權(quán)系數(shù)為： （k=1,2,…,P）多目標(biāo)決策方法必須指出，“倒數(shù)法”于1971年提出來時，加權(quán)系數(shù)定義為： （k=1,2,…,P）這樣定義加權(quán)系數(shù)，有時候會得出錯誤結(jié)果。下面給出2個反例。

[反例1]求解 這里：可行集X由下列約束條件構(gòu)成：{0

x1

18,x2

2,x1-x2

-1}多目標(biāo)決策方法求單目標(biāo)最優(yōu)化問題：，得最優(yōu)解x1=(1,2)，。，得最優(yōu)解x2=(1,2)，。顯然，多目標(biāo)問題的最優(yōu)解x*就是(1,2)，即

x*=（x1，x2）=(1,2),

F*=(,)=(-5,-4)。多目標(biāo)決策方法但是，如果用“線性加權(quán)和”法來求解這個問題，則令： ，。則 U(x)=

1f1(x)+

2f2(x)

求解，得x*=(18,19)，相應(yīng)的

F*=(-56,-55)。這個結(jié)果顯然是錯誤的。多目標(biāo)決策方法[反例2]求解：

其中：X={x|3x1+x2

50,x1

0,x2

0}求解單目標(biāo)最優(yōu)化問題：，得最優(yōu)解x1=(0,25)，。，得最優(yōu)解x2=(0,50)，。多目標(biāo)決策方法再令：，。用“線性加權(quán)和”法求解：這個線性規(guī)劃問題無解（最優(yōu)解無界）。但是這個結(jié)論顯然也是錯誤的，因為各個單目標(biāo)規(guī)劃都存在最優(yōu)解時，那么不論用什么方法，至少應(yīng)該找到多目標(biāo)規(guī)劃的一個有效解。換言之，這個問題因為2個單目標(biāo)規(guī)劃都存在最優(yōu)解，所以求解“線性加權(quán)和”問題，至少存在一個最優(yōu)解，它就是原多目標(biāo)問題的有效解。多目標(biāo)決策方法[原因分析]分析這2個反例產(chǎn)生錯誤的原因，都是因為所求出的和是負(fù)值，而f1(x)和f2(x)中所有系數(shù)也都是負(fù)值。因此，作“線性加權(quán)和”評價函數(shù)時，U(x)中的系數(shù)就都變成了正值。對線性函數(shù)而言，這些系數(shù)恰是該函數(shù)梯度的各分量。因此，由于和的負(fù)值，改變了系數(shù)符號，因而也就改變了梯度的方向。于是，求最大值問題變成了求最小值問題，這是導(dǎo)致錯誤的根本原因。多目標(biāo)決策方法如果采用“線性加權(quán)和”法構(gòu)造評價函數(shù)時，定義加權(quán)系數(shù)

k=，就能防止發(fā)生上述錯誤。反例1中，令 ，。 求解，得到最優(yōu)解x*=(1,2)，目標(biāo)值向量F*=(-5,-4)，這個結(jié)果是正確的。多目標(biāo)決策方法反例2中，令

求解，得到最優(yōu)解x*=，目標(biāo)值向量F*=，這也就是原多目標(biāo)規(guī)劃的有效解。多目標(biāo)決策方法3分量最優(yōu)化方法3.1主要目標(biāo)法

從多目標(biāo)函數(shù)F(x)的P個分量中選出一個最重要的fs(x)作為主要目標(biāo)。同時，對于其余P-1個分量fj(x)（1

j

P,j

s）估計出其上限和下限。 （1

j

P，j

s）這樣就把多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成求解單目標(biāo)最優(yōu)化問題：

多目標(biāo)決策方法3.2恰當(dāng)?shù)燃s束法（PEC法）PEC法于1976年由J.G.Lin提出。從多目標(biāo)函數(shù)F(x)的P個分量中選定一個fs(x)作為目標(biāo)，同時，對其它P-1個分量恰當(dāng)?shù)剡x取一個相應(yīng)的常數(shù)Cj，使fj(x)=Cj，（1

j

P，j

s）才可能是原多目標(biāo)問題的非劣解。具體求解時，每一步都要按照一些判別條件，逐步去掉一些劣解，最后留下非劣解集。多目標(biāo)決策方法3.3分量輪換法分量輪換法于1971年由R.L.Fox提出，又稱“協(xié)調(diào)研究法”。首先對多目標(biāo)函數(shù)F(x)的P個分量fj(x)分別估計其上限（1

j

P），于是有： （1

j

P）然后，我們構(gòu)造P個單目標(biāo)最優(yōu)化問題： （k=1,2,…,P）多目標(biāo)決策方法這就是把F(x)中的P個分量輪流取其中一個作目標(biāo)函數(shù)，其余P-1個分量進入約束條件，構(gòu)成單目標(biāo)最優(yōu)化問題。依次求解這P個單目標(biāo)最優(yōu)化問題，得到最優(yōu)解（k=1,2,