3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)（十大題型）

3．1．2橢圓的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能說出橢圓的簡單幾何性質(zhì)，并能證明性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想．1、根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2、根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出相應(yīng)的曲線．知識點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因?yàn)?，所以的取值范圍是．越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△的周長為C．的取值范圍為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，正確；B：由，且△的周長為，正確；C：由P為橢圓C上的動點(diǎn)且不在x軸上，則，錯誤；D：橢圓的離心率為，正確.故選：ABD知識點(diǎn)二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，下列說法正確的是（

）A． B．離心率范圍C．當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時，為等腰直角三角形 D．若，則【答案】ABD【解析】∵，∴，又，∴，∴，故A正確；∵，，∴，即，∴，故B正確；當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時，∵，，∴為等邊三角形，故C錯誤；若，又∴，∴，不妨設(shè)為銳角，則為鈍角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正確.故選：ABD知識點(diǎn)三：橢圓兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點(diǎn)詮釋：橢圓，的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練3】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是.①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②的取值范圍是；③曲線是一個橢圓；④曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.【答案】①【解析】對于①，若點(diǎn)滿足曲線的方程，則點(diǎn)也一定滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故①正確；對于②，，所以，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，所以曲線由兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故③錯誤；對于④，因?yàn)闄E圓的面積與橢圓的面積相等，作出曲線與橢圓，由圖可知，曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，所以曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，故④錯誤.故答案為：①.知識點(diǎn)四：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則有；若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)（或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)（或一個公共點(diǎn)）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則同理可得這里，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點(diǎn)引直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線方程為．【答案】或【解析】橢圓，即，則，，，左焦點(diǎn)為，設(shè)直線為，，由，得，整理得，因?yàn)椋?，所以，，解得，所以直線為，即或．故答案為：或知識點(diǎn)五：解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線（不平行于軸）過橢圓（）上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有．【即學(xué)即練5】（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因?yàn)椋瑑墒阶鞑畹?，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.題型一：橢圓的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·遼寧大連·高二大連市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為?，上?下頂點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P是C上異于?的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若C的離心率為，則直線與的斜率之積為B．若，則的面積為C．若C上存在四個點(diǎn)P使得，則C的離心率的范圍是D．若恒成立，則C的離心率的范圍是【答案】BD【解析】A.設(shè)，所以，因?yàn)?，所?所以，所以該選項(xiàng)錯誤；B.若，則所以則的面積為所以該選項(xiàng)正確；C.若C上存在四個點(diǎn)P使得，即C上存在四個點(diǎn)P使得的面積為，所以，所以該選項(xiàng)錯誤；D.若恒成立，所以，所以，所以該選項(xiàng)正確.故選：BD例2．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.【答案】28【解析】根據(jù)題意，把橢圓的長軸AB分成8等份，設(shè)另一焦點(diǎn)為F2，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性知，|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a，同理，其余兩對的和也是2a，又|P4F|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.故答案為：28.例3．（2023·貴州黔西·高二校考期中）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則．【答案】4【解析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以長軸長為2，短軸長為，由題意得，解得．故答案為：4變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.【答案】或【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，易知，當(dāng)時，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.當(dāng)時，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，所以，得，滿足題意，此時，所以橢圓的長軸長為.故答案為：或.變式2．（2023·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮粋€半徑為1的球置于水平地面上，受到與水平地面夾角為的太陽光線照射，球在地面的影子邊沿是一個橢圓，則橢圓的焦距等于.【答案】/【解析】如圖：在照射過程中，橢圓的短半軸長是圓的半徑，故，橢圓長軸長是，過向作垂線，垂足為，則，，所以，故焦距.故答案為：.題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值例4．（2023·湖北宜昌·高二當(dāng)陽一中?？茧A段練習(xí)）P點(diǎn)在橢圓上，B(0，3)，則BP長的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，，，當(dāng)時，的最大值是.故答案為：例5．（2023·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）以為焦點(diǎn)的橢圓上有一動點(diǎn)M，則的最大值為.【答案】3【解析】因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn)，所以，，所以由，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如圖所示：因?yàn)闉闄E圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn)，故當(dāng)處于右頂點(diǎn)時最大，且最大值為，故答案為：3.例6．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，則.【答案】【解析】設(shè)，則，將代入上式中得：，∵，∴當(dāng)時，故答案為：變式3．（2023·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個，則實(shí)數(shù)的一個取值可以為.【答案】0（答案不唯一）【解析】因?yàn)辄c(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),,即.設(shè)，,由,可得,又因?yàn)樵跈E圓上,即,所以,要使得成立的點(diǎn)恰好是4個,則,解得,所以的值可以是任意一個值，故答案為：0(答案不唯一)變式4．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為.【答案】/【解析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以，，此時，，滿足，所以為等腰直角三角形，所以．故答案為：變式5．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)M是橢圓上的一動點(diǎn)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)N滿足，且∠MNT＝90°，則的最大值是．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則，即，，，當(dāng)時，，而，，因此，所以當(dāng)點(diǎn)時，取得最大值.故答案為：題型三：求離心率的值例7．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，又因?yàn)闉榈妊苯侨切危?即，即，所以，解得或（舍），故選:B.例8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.例9．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)為，則，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，，則，因此，橢圓的離心率為.故選：A.變式6．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因?yàn)椋瑒t四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C變式7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，因?yàn)橹本€的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.變式8．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立方程，解得，不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則，由題意可知：OB的傾斜角是，則，所以橢圓的離心率.故選：C．變式9．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線與橢圓分別相切，顯然直線與直線垂直，且交點(diǎn)為，由題意點(diǎn)在圓上，所以，所以，故橢圓的離心率．故選：A.變式10．（2023·高二校考期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點(diǎn)A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.變式11．（2023·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上的一點(diǎn)，若的內(nèi)心是G，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)G到各邊的距離為，由，得，即，由橢圓定義知，，于是，所以橢圓E的離心率.故選：B變式12．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，的最小值為，且存在點(diǎn)，使得（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義可得，要使（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，不妨設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，則存在，即，將代入橢圓的方程得將代入上式得，化簡得，則，代入，得，所以，代入，可得，所以.故選：D.題型四：求離心率的范圍例10．（2023·寧夏·高二寧夏育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則滿足條件的范圍【答案】【解析】如圖，當(dāng)動點(diǎn)在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動時，對兩個焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時，張角達(dá)到最大值．橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，中，，中，，，即，，可得，，，，故答案為：.例11．（2023·黑龍江綏化·高二綏化市第一中學(xué)校考期中）已知橢圓上有一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使得為直角三角形的點(diǎn)有8個，則橢圓的離心率的范圍是．【答案】【解析】由橢圓的對稱性，為直角，共有4個位置，為直角，共有4個位置，于是以為直徑的圓與橢圓有4個交點(diǎn).又離心率越大橢圓越扁，而當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時，，于是，若要滿足題意，.故答案為：.例12．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的范圍是．【答案】【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,連接.因?yàn)?所以.同理.因?yàn)?，所?因?yàn)?所以四邊形是矩形.設(shè)，所以，所以，所以，所以.故答案為：變式13．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若存在以為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是.【答案】【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)時，是的兩條中位線，若以為直徑的圓過原點(diǎn)，則有,，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),又點(diǎn)，所以，，,則，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案為：變式14．（2023·高二單元測試）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作以為直徑的圓的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的范圍為.【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)題意知為正方形，，故，解得答案.如圖所示，根據(jù)題意知：為正方形，故，故，故，解得，又，故，故.故答案為：.變式15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率的范圍是．【答案】【解析】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：變式16．（2023·江蘇南通·高二江蘇省西亭高級中學(xué)校考階段練習(xí)）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上存在點(diǎn)使得則離心率范圍．【答案】.【解析】分析：由橢圓定義可得，解得，由題意可得，解不等式求得離心率e的取值范圍.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，，則由橢圓定義可得，，由題意可得，.故答案為：.變式17．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則離心率的范圍是.【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），||||在△中，由余弦定理可知，4c2＝m2+n2﹣2mncos60°．∵m+n＝2a，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4a2﹣2mn，∴4c2＝4a2﹣3mn．即3mn＝4a2﹣4c2．又mna2（當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號），∴4a2﹣4c2≤3a2，∴，即e．∴e的取值范圍是[，1）．故答案為變式18．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使為等腰三角形，則橢圓離心率的范圍是．【答案】【解析】為等腰三角形，只可能即，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，即又因?yàn)闄E圓所以故填變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與橢圓有四個交點(diǎn)，所以，即，，，所以，即，又因?yàn)?，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．變式20．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．變式21．（2023·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，即，所以點(diǎn)P落在以為直徑的圓上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D變式22．（2023·四川成都·高二石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知P為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓焦點(diǎn)，且，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由P為橢圓上一點(diǎn)，.又，所以又，即.即，得，即故選：D題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)不在橢圓上 B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上 D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【答案】C【解析】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，若點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點(diǎn)都在橢圓上，故選：C例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，且過作橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，點(diǎn)在橢圓的外部.所以，，所以.又橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，所以.又，所以，所以.故選：C.例15．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）若直線與圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓沒有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離大于半徑，得，即，所以，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以過點(diǎn)的直線與橢圓必有2個公共點(diǎn).故選：C.變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，則下列各點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，A錯誤；因?yàn)椋渣c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，B錯誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓外部，C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，D錯誤.故選：C.變式24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系例16．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得①.方程①的判別式.因?yàn)橹本€l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)．則，解得.故答案為：.例17．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）直線與橢圓恒有兩個不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【解析】橢圓長半軸長為，由題意得，則若恒有兩個不同的交點(diǎn)，則，故答案為：.例18．（2023·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谥校┲本€與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是.【答案】【解析】當(dāng)時，曲線可化為，表示橢圓的右半部分，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以此時直線與曲線曲線有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，曲線可化為表示雙曲線的上支和下支的左半部分，此時直線與曲線沒有交點(diǎn)，綜上可知：直線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是.故答案為：.變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.題型七：弦長問題例19．（2023·高二課時練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的弦的長是．【答案】/【解析】設(shè)點(diǎn)、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.例20．（2023·高二課時練習(xí)）直線被橢圓所截得的弦長為，求實(shí)數(shù)的值．【解析】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，可得，解得，且，由弦長公式可得，因?yàn)橹本€截橢圓所得的弦長為，所以，解得，即實(shí)數(shù)的值為或.例21．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，化解可得：.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，AI消去可得：，所以，即，則，，，把韋達(dá)定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點(diǎn)到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.變式26．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P使得，求的面積．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C經(jīng)過，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點(diǎn)P使得．∴．變式27．（2023·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)為，離心率為.過焦點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的值；(2)求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.【解析】（1）由題意可得，，因?yàn)殡x心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，橢圓的上焦點(diǎn)為，設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：，則，且，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為.題型八：中點(diǎn)弦問題例22．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【解析】橢圓即，設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過點(diǎn)，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．例23．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點(diǎn).若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)、，易知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，取線段的中點(diǎn)，連接，則，所以，，所以，，故，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)，所以，，兩個等式作差可得，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為.故答案為：.例24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過點(diǎn)的直線，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是.【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，，且，，兩式相減，化簡可得，所以，即直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式，得到直線的方程為，即.故答案為：變式28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為．【答案】/【解析】設(shè)線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得，因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減得，整理得，即所以.故答案為：.變式29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【答案】【解析】由題意，在橢圓中，一個焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.變式30．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是.【答案】【解析】設(shè)該直線與橢圓的兩個交點(diǎn)分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則正數(shù).【答案】【解析】由題意焦點(diǎn)在軸上的橢圓，把直線方程代入橢圓方程整理得．設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為,，,，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，，可得，．故答案為：．變式32．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】．【解析】設(shè)，，則，所以，得.將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，兩式相減，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.變式33．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知斜率為k的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線交軸于點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時，弦AB的中垂線為軸，此時，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，消可得，，解得，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，直線的方程為令，解得，，解得，且綜上故答案為：變式34．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)動圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.所以存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為.變式35．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若，求直線的斜率；(2)記，探究：是否存在直線，使得，若存在，寫出滿足條件的直線的一個方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意，設(shè)，，點(diǎn)，均在橢圓上，，，兩式相減，可得，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，則，則，即直線的斜率為；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，由題意知直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去得，則，解得，則，，則，故線段垂直平分線方程為：，若直線過點(diǎn)，則把點(diǎn)坐標(biāo)代入以上直線方程得：，聯(lián)立消去得，無解，故不存在直線，使得．變式36．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，求．【解析】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點(diǎn)，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M(jìn)在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡為：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點(diǎn)，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長公式得：．變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對稱變式38．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的范圍．【解析】（1）設(shè)，則，即．因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以，兩式相減得，即，又，所以，即．又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)镻，Q關(guān)于直線l對稱，所以且點(diǎn)N在直線l上，即．又因?yàn)镻，Q在橢圓C上，所以．兩式相減得．即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以，所以所以實(shí)數(shù)的范圍為．題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用例25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星看作一個質(zhì)點(diǎn)，繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線，行星在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程，得長半軸，半焦距，近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是，解得，則.故選：D.例26．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）運(yùn)用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓（）的面積為．現(xiàn)學(xué)校附近停車場有一輛車，車上有一個長為的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為，短軸長為，則該儲油罐的容積約為（）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，橢圓的長軸長為，短軸長為，所以所以橢圓面積為.因?yàn)閮τ凸逓橐粋€柱體，所以體積為.故選：B例27．（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人連地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開向了人造衛(wèi)層的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普物行星運(yùn)動定律；衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，如圖建系，設(shè)橢圓道的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，下列結(jié)論正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最大值為2aB．衛(wèi)星向徑的最小值為2bC．衛(wèi)星繞行一周時在第三象阻內(nèi)運(yùn)動的時間小于在第四象限內(nèi)運(yùn)動的時間D．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓【答案】D【解析】由題意得：向徑為衛(wèi)星與地球的連線，即橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線的距離，由橢圓的幾何性質(zhì)可知衛(wèi)星向徑的最小值為ac，最大值為a+c，故AB錯誤；由開普勒行星運(yùn)動定律衛(wèi)星的向徑在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，在第二象限運(yùn)動時掃過的面積大于在第一象限運(yùn)動時掃過的面積，故衛(wèi)星在第二象限內(nèi)運(yùn)動的時間大于在第一象限運(yùn)動時掃過的時間，由橢圓的對稱性可知，衛(wèi)星繞行一周時在第三象限內(nèi)運(yùn)動的時間大于在第四象限運(yùn)動的時間，故C錯誤；當(dāng)衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大時，由，可得e越小，橢圓越圓，故D正確，故選：D變式39．（2023·高二課時練習(xí)）在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓．已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為cm.【答案】【解析】設(shè)小橢圓的長半軸長為，，依題意，，則，解得，所以小橢圓的長軸長為.故答案為：變式40．（2023·高二課時練習(xí)）某操場的正前方有兩根高度均為6m、相距10m的旗桿（都與地面垂直）.有一條26m長的繩子，兩端系在兩根旗桿的頂部，并按如圖所示的方式繃緊，使得繩子和兩根旗桿處在同一個平面內(nèi).假定這條繩子在系到旗桿上時長度沒有改變，求繩子與地面（水平面）的接觸點(diǎn)到兩根旗桿的距離各是多少.【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)方程為，顯然，所以方程為，因?yàn)槠鞐U的高度為6m，所以有，所以繩子與地面（水平面）的接觸點(diǎn)到兩根旗桿的距離各是.變式41．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，賽馬場的形狀是長100m，寬50m的橢圓.求距離頂點(diǎn)10m的寬度是多少.【解析】以橢圓橫向?qū)ΨQ軸為直角坐標(biāo)系的橫軸，以橢圓縱向?qū)ΨQ軸為直角坐標(biāo)系的縱軸，兩條對稱軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意可知：，因此，所以該橢圓方程為，當(dāng)時，，因此所以距離頂點(diǎn)10m的寬度是.變式42．（2023·高二課時練習(xí)）水星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是以太陽的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，軌道上離太陽中心最近的距離約為，最遠(yuǎn)的距離約為.假設(shè)以這個軌道的中心為原點(diǎn)，以太陽中心及軌道中心所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求水星軌道的方程.【解析】設(shè)太陽中心為，軌道中心為，，由題意，水星軌道是以太陽的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，且軌道的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，已知軌道上離太陽中心最近的距離約為，最遠(yuǎn)的距離約為，則，解得，故，故所求水星軌道的方程為，即.變式43．（2023·高二課時練習(xí)）2016年8月16日，中國自主研制的世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射升空，已知它的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面498km、遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面503km，地球半徑為6371km，求“墨子號”衛(wèi)星的軌道方程（結(jié)果保留整數(shù)）.【解析】如圖所示：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題決可知：，，解得：，所以“墨子號”衛(wèi)星的軌道方程為：.變式44．（2023·高二課時練習(xí)）某顆小行星的運(yùn)行軌道是一個橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)處.如圖所示，小行星離太陽的最近距離是天文單位，最遠(yuǎn)距離是天文單位（1天文單位是指太陽與地球之間的平均距離，約為，是天文學(xué)的一種長度單位）.求橢圓軌道的長半軸和短半軸之長各是多少個天文單位（參考數(shù)據(jù)）.【解析】如圖，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，焦距為，太陽位于焦點(diǎn)處，小行星位置到兩焦點(diǎn)的距離之和等于一個固定值.要使最大，必須距離之差最大，但，僅當(dāng)，，成一條直線且在和之間時，達(dá)到最大值，達(dá)到最大值.而僅當(dāng)達(dá)到最大值時，達(dá)到最小值，可見，解得，，因此，故橢圓的長半軸長為天文單位，短半軸長為天文單位.題型十：定點(diǎn)定值問題例28．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，橢圓C的離心率為且與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且．則直線l是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由．【解析】（1）橢圓C的離心率為，可得，所以，所以橢圓方程為，由可得，由題意可得，解得，，所以橢圓方程為；（2）直線l恒過定點(diǎn)，理由如下：由（1）得，設(shè)直線的方程為，，由聯(lián)立得，由得，且，由得，即,可得,整理得，解得，或舍去，即時，不論為何值時都符合，此時直線的方程為，則直線恒過定點(diǎn).例29．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的兩條直線分別交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，問：直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由．【解析】（1）因?yàn)橹行脑谠c(diǎn)的橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，由題意可得，整理可得，當(dāng)時，直線的方程為，直線過點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)；②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)點(diǎn)，則，則，且，，，所以，，即，解得（舍）或，此時，直線過點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).例30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).【解析】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立得，設(shè)，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).變式45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.變式46．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，過原點(diǎn)O的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長，交橢圓于另一點(diǎn)B，求證：kPA·kPB為定值．【解析】證明設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(－x1，－y1)，C(x1，0)，可得kAB·kPB＝·－.又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，從而kPA·kPB＝－1，為定值．變式47．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，其長軸的兩個端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)（除，外），(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(2)若直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【解析】（1）由題意知：，設(shè)，則,在橢圓上，即.（2）由(1)可知直線，的方程分別為，則.所以為定值，該定值為3.變式48．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于點(diǎn)P且關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證為定值．【解析】（1）由題意知，，根據(jù)得：，故：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）依據(jù)題意可設(shè)，，則，．因此，又因?yàn)樵跈E圓C上，滿足，即，所以：，得證．一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以當(dāng)時，取最小值，故選：D2．（2023·高二課時練習(xí)）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則直線的中點(diǎn)在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.3．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為該橢圓上位于軸上方一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由，得，則、，設(shè)，則，設(shè)，則，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，所以，解得或．故選：C.4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線，行星P在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星C的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是20（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是81，則（

）A．181 B．97 C．52 D．19【答案】A【解析】設(shè)某行星運(yùn)行軌道（橢圓）的長半軸長和短半軸長分別為，則半焦距為，所以行星C的近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，由題意，解得，所以.故選：A6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)?，解得，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.7．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C8．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.二、多選題9．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．橢圓的長軸長為B．線段長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【解析】對于A，∵半圓所在圓過點(diǎn)，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長軸長為，故A正確；對于B，∵，，∴，故B正確；對于C，設(shè)，則，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，由橢圓定義知：，又，∴的周長為，故D正確.故選：ABD.10．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ