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文檔簡介
2024屆江西名校數(shù)學高三上期末聯(lián)考模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.102.已知集合,,則()A. B. C. D.3.已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等,是的中點,則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.4.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關系,共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來,“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年,我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖,下列描述錯誤的是()A.這五年,出口總額之和比進口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降5.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.6.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.7.()A. B. C. D.8.已知拋物線上一點的縱坐標為4,則點到拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.59.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點,點P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或510.已知函數(shù)在上可導且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、11.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結果是()A. B. C. D.12.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設過點,,的圓的圓心坐標為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在正四棱柱中,P是側棱上一點,且.設三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.14.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.15.正四棱柱中,,.若是側面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16.設為拋物線的焦點,為上互相不重合的三點,且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù);(2)若f(x)有兩個極值點證明.18.(12分)設函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求證:.19.(12分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求角的大??;(2)若,的面積為,求及的值.20.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求和的極坐標方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.21.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,22.(10分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,確定函數(shù)關于點中心對稱是解題的關鍵.2、B【解析】
求出集合,利用集合的基本運算即可得到結論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關鍵,屬于基礎題.3、C【解析】試題分析:設的交點為,連接,則為所成的角或其補角;設正四棱錐的棱長為,則,所以,故C為正確答案.考點:異面直線所成的角.4、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額和進口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進口額,則A正確;對B項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對C項,由統(tǒng)計圖可得,2019年進口增速都超過其余年份,則C正確;對D項,由統(tǒng)計圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯誤;故選:D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題,屬于基礎題.5、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為,所以不合題意;選項,計算,不符合函數(shù)圖象;對于選項,與函數(shù)圖象不一致;選項符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.6、C【解析】
根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎題.7、D【解析】
利用,根據(jù)誘導公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式,關鍵在于掌握公式,屬基礎題.8、D【解析】試題分析:拋物線焦點在軸上,開口向上,所以焦點坐標為,準線方程為,因為點A的縱坐標為4,所以點A到拋物線準線的距離為,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點:本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離,考查學生的運算求解能力.點評:拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運算.9、B【解析】
根據(jù)漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎題.10、A【解析】
設,利用導數(shù)和題設條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進而變形即可求解.【詳解】由題意,設,則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關鍵,著重考查了構造思想,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.11、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的結果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.12、D【解析】
對于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對于②,設直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設,到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以①正確.由題意可設直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設點,的坐標分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關于軸對稱,所以過點,,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎題.14、【解析】
由已知可得,結合雙曲線的定義可知,結合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關鍵是根據(jù)幾何關系,分析出.關于圓錐曲線的問題,一般如果能結合幾何性質(zhì),可大大減少計算量.15、2.【解析】
如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標,在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.16、或【解析】
設出三點的坐標,結合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為:,設,由拋物線的定義可知:,,,因為、、成等差數(shù)列,所以有,所以,因為線段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域和導函數(shù),對分成三種情況進行分類討論,判斷出的極值點個數(shù).(2)由(1)知,結合韋達定理求得的關系式,由此化簡的表達式為,通過構造函數(shù)法,結合導數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為得,(i)當時;,因為時,時,,所以是函數(shù)的一個極小值點;(ii)若時,若,即時,,在是減函數(shù),無極值點.若,即時,有兩根,不妨設當和時,,當時,,是函數(shù)的兩個極值點,綜上所述時,僅有一個極值點;時,無極值點;時,有兩個極值點.(2)由(1)知,當且僅當時,有極小值點和極大值點,且是方程的兩根,,則所以設,則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個極值點,則【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求導得到,討論,,三種情況得到單調(diào)區(qū)間.(Ⅱ)設,要證,即證,,設,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】(Ⅰ),令,,(1)當,即時,,,在上單調(diào)遞增;(2)當,即時,設的兩根為(),,①若,,時,,所以在和上單調(diào)遞增,時,,所以在上單調(diào)遞減,②若,,時,,所以在上單調(diào)遞減,時,,所以在上單調(diào)遞增.綜上,當時,在上單調(diào)遞增;當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(Ⅱ)不妨設,要證,即證,即證,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在單調(diào)遞增,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性,證明不等式,意在考查學生的分類討論能力和計算能力.19、(1)(2);【解析】
(1)由代入中計算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因為,可得:,∴,或(舍),∵,∴.(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學生的運算求解能力,是一道容易題.20、(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉換公式,把參數(shù)方程,直角坐標方程與極坐
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