2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題05 向量專題（數(shù)學(xué)文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（

）A．24 B．6 C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且＝.下列關(guān)系中正確的是（

）A．B．C．D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．4．（2021秋·山東威海·高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用．平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，已知平面內(nèi)點，點，點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．（2022·高一課時練習(xí)）我校八角形校徽由兩個正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?，已知其由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)后的正方形組合而成，已知向量，，則向量（

）A． B．C． D．6．（2022春·黑龍江黑河·高一嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則（

）．A．B．C．D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes1596～1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定這個點的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形中，是線段上的點，，，則（

）.A．3 B．6 C．9 D．128．（2021春·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（

）A． B． C． D．19．（2022春·北京·高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時期的數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，其中，，點是延長線上的一點，則=（

）A．3 B．4 C．9 D．不能確定10．（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值.應(yīng)用時一般取，就像圓周率在應(yīng)用時取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學(xué)家獨立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點，，，，，，則（

）A． B．C． D．11．（2022秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且．，是圓上的任意兩點，，點在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易側(cè)視圖（為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知，，，.根據(jù)物理學(xué)知識得，則（

）A．28m B．20m C．31m D．22m13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若，，，則（

）A． B． C． D．14．（2022春·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點，，兩動點，，且，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為．設(shè)函數(shù)，，其中，，令，作隨著的變化，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史?久，風(fēng)格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．如圖甲是一個正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．17．（2022春·廣東揭陽·高一校考階段練習(xí)）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內(nèi)的定點，且，弦AC、BD均過點P，則下列說法正確的是（

）A．為定值 B．的取值范圍是C．當(dāng)時，為定值 D．的最大值為1218．（2021春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè).則下述四個結(jié)論，正確結(jié)論是（

）A．以直線為終邊的角的集合可以表示為B．在以點為圓心、為半徑的圓中，弦所對的弧長為C．D．19．（2022·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．向量在向量上的投影向量為20．（2020春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點??分別是的外心?重心?垂心，且為的中點，則（

）A． B．C． D．21．（2021·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．三、填空題22．（2020秋·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）早在兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，就提出了宛田(扇形面積)的計算方法:“以徑乘周，四而一.”(直徑與弧長乘積的四分之一).已知扇形的弧長為面積為設(shè)，則實數(shù)等于__________．23．（2022秋·四川內(nèi)江·高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形的邊長為，是正八邊形所在平面內(nèi)的一點，則的最小值為___________.24．（2022秋·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點M為的中點，點P是內(nèi)（含邊界）一點，且，則的最大值為__________.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡化成圖（2）的正八邊形，若，則______________．26．（2022春·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且，，則下列各式正確的有______．①

②③

④27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)_______時，.28．（2021·湖南·校聯(lián)考二模）根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中國又稱商高定理.而勾股數(shù)是指滿足勾股定理的正整數(shù)組，任意一組勾股數(shù)都可以表示為如下的形式：其中，，均為正整數(shù)，且.如圖所示，中，，，三邊對應(yīng)的勾股數(shù)中，，點在線段上，且，則______.四、解答題29．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知，點分別在弧，弧上，且.(1)若時，求的值.(2)若時，求的值.專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（

）A．24 B．6 C． D．【答案】A【分析】在圖③中，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算．【詳解】在圖③中，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且＝.下列關(guān)系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題．【詳解】解：在如圖所示的正五角星中，以，，，，為頂點的多邊形為正五邊形，且．在A中，，故A正確；在B中，，故B錯誤；在C中，，故C錯誤；在D中，，，若，則，不合題意，故D錯誤．故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三點共線和長度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出，知CD正誤.【詳解】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.4．（2021秋·山東威海·高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用．平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，已知平面內(nèi)點，點，點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】表示出向量后，根據(jù)平面向量旋轉(zhuǎn)公式可求得，由此可求得點坐標(biāo).【詳解】，，，點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)等價于點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，.故選：C.5．（2022·高一課時練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開校徽”的多邊形中，已知其由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)后的正方形組合而成，已知向量，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性可得線段的長度關(guān)系以及點共線，再由向量的加法法則可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，由該圖形是由正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)后與原正方形組合而成，如圖由對稱性可得,由對稱性可得點共線，點共線.所以，所以故選：D6．（2022春·黑龍江黑河·高一嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】如圖所示，取、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，將和化為基向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立以、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，∴，，∴.故選：B．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes1596～1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定這個點的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形中，是線段上的點，，，則（

）.A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】以、為一組基底，表示出，再根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計算可得；【詳解】解：在正三角形中，是線段上的點，，，所以所以故選：B8．（2021春·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)表示，設(shè)，由可得，再由，利用坐標(biāo)表示建立方程組求解即可.【詳解】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系因為，，則，，，，，設(shè)，因為，所以，解得.由，得，所以解得所以，故選：B.【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.9．（2022春·北京·高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時期的數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，其中，，點是延長線上的一點，則=（

）A．3 B．4 C．9 D．不能確定【答案】C【解析】根據(jù)滿足“勾3股4弦5”可得，再利用平面向量的線性運(yùn)算以及兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查了勾股定理，考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了兩個垂直向量的數(shù)量積為0，屬于基礎(chǔ)題.10．（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值.應(yīng)用時一般取，就像圓周率在應(yīng)用時取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學(xué)家獨立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點，，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解．【詳解】解：，顯然，，所以，，，，故選：D．11．（2022秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且．，是圓上的任意兩點，，點在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)為圓心，連接，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，根據(jù)點在線段上，即可求出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：如圖，為圓心，連接，則，因為點在線段上且，則圓心到直線CD的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是,．故選：D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易側(cè)視圖（為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知，，，.根據(jù)物理學(xué)知識得，則（

）A．28m B．20m C．31m D．22m【答案】D【分析】由，得，則可得，可求得，，分別為的中點，則由已知可得為的中點，再結(jié)合已知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果【詳解】因為，所以，因為，所以∽，所以，所以，因為，，所以，設(shè)，分別為的中點，因為，所以，所以為的中點，因為，，所以，所以，所以，所以故選：D13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算得出，再結(jié)合平面的基本定理可得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，即，故選：B．14．（2022春·江蘇南京·高三金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點，，兩動點，，且，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為．設(shè)函數(shù)，，其中，，令，作隨著的變化，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮特殊值，用排除法，取，確定的的位置，排除錯誤選項得結(jié)論．【詳解】先考慮與共線的蝴蝶身方向，令，，要滿足，故排除A，C；再考慮與垂直的方向，令，要滿足，故排除D，故選：B．15．（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史?久，風(fēng)格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．如圖甲是一個正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取AB的中點O，連接MO，通過轉(zhuǎn)化得，則轉(zhuǎn)化為求的最大值，由圖得當(dāng)點M與點F或點E重合時，取得最大值，計算最值即可.【詳解】如圖，取AB的中點O，連接MO，連接，分別過點，點作的垂線，垂足分別為，所以，當(dāng)點M與點F或點E重合時，取得最大值，易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，則，，則，，取得最大值為，所以的最大值為，故選：D.二、多選題16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．【答案】BCD【分析】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，可判斷選項A；從而可得，可判斷選項B；連結(jié)AC交OB于點M，可判斷選項C；先判斷出，結(jié)合向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項D.【詳解】連接，，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；又，所以，所以，B項正確；由上過程可知，連結(jié)交于點，在直角三角形中，為的中點，則，又，所以，C項正確；又正八邊形的每一個內(nèi)角為：，延長，，相交于點，則，所以，故，所以，D項正確.故選：BCD.17．（2022春·廣東揭陽·高一?？茧A段練習(xí)）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內(nèi)的定點，且，弦AC、BD均過點P，則下列說法正確的是（

）A．為定值 B．的取值范圍是C．當(dāng)時，為定值 D．的最大值為12【答案】AC【分析】根據(jù)題設(shè)中的圓冪定理可判斷AC的正誤，取的中點為，連接，利用向量的線性運(yùn)算可判斷B的正誤，根據(jù)直徑的大小可判斷D的正誤.【詳解】如圖，設(shè)直線與圓于，.則,故A正確.取的中點為，連接，則，而，故的取值范圍是，故B錯誤.當(dāng)時，，故C正確.因為，故，故D錯誤.故選：AC18．（2021春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè).則下述四個結(jié)論，正確結(jié)論是（

）A．以直線為終邊的角的集合可以表示為B．在以點為圓心、為半徑的圓中，弦所對的弧長為C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義可判斷A；利用扇形的弧長公式可判斷B；利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A，以直線為終邊的角的集合可以表示為，故A錯誤；對于B，，以點為圓心、為半徑的圓的弦所對的弧長為，故B正確；對于C，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故C錯誤；對于D，易知點，，，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，解題的關(guān)鍵是熟悉終邊相同的角的集合、扇形的弧長、平面向量數(shù)量積的定義以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（2022·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．向量在向量上的投影向量為【答案】ABD【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用結(jié)合圖像求出結(jié)果，逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：圖2中的正八邊形，其中，對于A，故A正確；對于B，故B正確；對于C：因為，，，，則，，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以向量在向量上的投影向量即為在向量上的投影向量，故D正確．故選：ABD．20．（2020春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點??分別是的外心?重心?垂心，且為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍為向量可判斷選項A；由可得，利用向量的線性運(yùn)算，再結(jié)合集合判斷選項B；利用故選項C不正確，利用外心的性質(zhì)可判斷選項D，即可得正確選項.【詳解】因為是的重心，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，對于選項A：因為是的重心，為的中點，所以，又因為，所以，即，故選項A正確；對于選項B：因為是的重心，為的中點，所以，，因為，所以，，即，故選項B正確；對于選項C：，故選項C不正確；對于選項D：設(shè)點是的外心，所以點到三個頂點距離相等，即，故選項D正確；故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合可得出向量間的關(guān)系.21．（2021·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關(guān)系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運(yùn)算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項B的結(jié)論可證明C，求出的面積，利用選項B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D．【詳解】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項C：，得，由奔馳定理：得，D正確．故選：ABCD．【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理解新知識、應(yīng)用新知識的能力．解題關(guān)鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量關(guān)系，二是利用數(shù)量積的運(yùn)算得出是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識得出角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)知識進(jìn)行推導(dǎo)得出相應(yīng)結(jié)論．三、填空題22．（2020秋·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）早在兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，就提出了宛田(扇形面積)的計算方法:“以徑乘周，四而一.”(直徑與弧長乘積的四分之一).已知扇形的弧長為面積為設(shè)，則實數(shù)等于__________．【答案】【分析】先利用扇形的面積公式及弧長公式求出半徑和圓心角，再利用向量數(shù)量的運(yùn)算求出和，進(jìn)而可得實數(shù)的值.【詳解】解：如圖由扇形面積公式可得，得，所以扇形圓心角，則為等邊三角形，則，又，所以，即.故答案為：.【點睛】本題考查本題考查扇形的面積公式及弧長公式的應(yīng)用，考查向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.23．（2022秋·四川內(nèi)江·高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形的邊長為，是正八邊形所在平面內(nèi)的一點，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)為的中點，可得出，即可求得的最小值.【詳解】設(shè)為的中點，.當(dāng)且僅當(dāng)點為線段的中點時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.24．（2022秋·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點M為的中點，點P是內(nèi)（含邊界）一點，且，則的最大值為__________.【答案】2【分析】由題設(shè)，易得，過A作的平行線交于點Q，即可判斷P與Q重合時的值最大，進(jìn)而求最大值.【詳解】由得：，又M為的中點，所以，所以，過A作的平行線交于點Q，當(dāng)P與Q重合時，的值最大.因為M為的中點，且，所以D為的中點，此時，所以的最大值為2.故答案為：225．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡化成圖（2）的正八邊形，若，則______________．【答案】##【分析】在中由余弦定理求出，進(jìn)而可得，再由數(shù)量積的定義求解即可【詳解】在中，設(shè)，，則，所以，又，所以，所以，，所以故答案為：26．（2022春·福建泉州·高一校考期中）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且，，則下列各式正確的有______．①

②③

④【答案】①③④【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項分析即可求出結(jié)果.【詳解】對于①，重心為G，有，故，故①正確；對于②，外心為O，過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，易知D、E分別是AB、AC的中點，有，∴，故②錯誤；對于③，由歐拉線定理得，即，又有，故，即，故③正確；對于④，由得，故，所以，故④正確.故答案為：①③④.27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)_______時，.【答案】【分析】根據(jù)斜角坐標(biāo)定義寫出向量（用兩個已知單位向量表示），然后由向量數(shù)量積計算可得．【詳解】由已知，，，，解得：．故答案為：．28．（2021·湖南·校聯(lián)考二模）根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中國又稱商高定理.而勾股數(shù)是指滿足勾股定理的正整數(shù)組，任意一組勾股數(shù)都可以表示為如下的形式：其中，，均為正整數(shù)，且.如圖所示，中，，，三邊對應(yīng)的勾股數(shù)中，，點在線段上，且，則______.【答案】【解析】若，解得，得到，不符合題意；若，解得，求得，進(jìn)而求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由已知可得顯然，若，則，解得，此時，與矛盾，不符合題意；若，則，解得，此時，符合.所以，，，，，所以，所以.【點睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：（1）坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決；（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則?運(yùn)算律和性質(zhì)求解.四、解答題29．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知，點分別在弧，弧上，且.(1)若時，求的值.(2)若時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量的數(shù)量積即可求得結(jié)果.(2)建立直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)表示求出即可.（1）解：（1）線段長為半徑畫圓弧，可得,；由向量的數(shù)量積可得（2）以點為原心，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系則所以.專題06向量專題（新定義）一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的．令，下面說法錯誤的是（

）A．若與共線，則B．C．對任意的,,D．2．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期中）定義.若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021春·云南昆明·高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點和兩個不共線的向量，，由平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個向量都可以唯一表示成，的線性組合，，則把有序數(shù)組稱為在仿射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為，在仿射坐標(biāo)系下，，為非零向量，且，，則下列結(jié)論中（

）①②若，則③若，則

④一定成立的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·高一單元測試）若對于一些橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”，例如向量，即為“等模整向量”，那么模為的“等模整向量”有（

）A．4個 B．6個 C．8個 D．12個5．（2017·四川廣元·統(tǒng)考三模）對于個向量，若存在個不全為0的示數(shù)，使得：成立；則稱向量是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量，，線性相關(guān)的實數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．26．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期中）對任意兩個非零的平面向量，定義，若平面向量滿足，的夾角，且和都在集合中，則=（

）A． B．1 C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標(biāo)系中，下列選項錯誤的是（

）A．當(dāng)時與距離為B．點關(guān)于原點的對稱點為C．向量與平行的充要條件是D．點到直線的距離為8．（2022春·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為．在的斜坐標(biāo)系中，﹒則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）①；②；③；④在上的投影為A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④9．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義、的向量積，為當(dāng)、的起點相同時，由的方向逆時針旋轉(zhuǎn)到與方向相同時，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于，，的向量積有如下的五個結(jié)論：①；

②；③；

④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個10．（2022春·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）定義為兩個向量，間的“距離”，若向量，滿足下列條件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)對于任意的，恒有，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號，①.②.③.④.⑤.則以上正確的編號為（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤11．（2018·湖南·統(tǒng)考一模）在實數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們這平面向量集合上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“”．定義如下：對于任意兩個向量，，當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”，按上述定義的關(guān)系“”，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，則對于任意的，；④對于任意的向量，其中，若，則．其中正確的命題的個數(shù)為(

)A．4 B．3 C．2 D．112．（2017秋·河南鄭州·高三鄭州一中階段練習(xí)）若非零向量的夾角為銳角，且，則稱被“同余”.已知被“同余”，則在上的投影是（

）A． B． C． D．13．（2022春·陜西榆林·高一榆林市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)定義一種向量積：．已知，，點在的圖象上運(yùn)動，點Q在的圖象上運(yùn)動，且滿足(其中O為坐標(biāo)原點)，則的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為()A．2，π B．2,4πC．，4π D．，π14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（

）A． B． C． D．15．（2022春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期中）記，設(shè)，為平面內(nèi)的非零向量，則（）A． B．C． D．16．（2021·全國·高三專題練習(xí)）對于向量，把能夠使得取到最小值的點稱為的“平衡點”.如圖，矩形的兩條對角線相交于點，延長至，使得，聯(lián)結(jié)，分別交于兩點.下列的結(jié)論中，正確的是（

）A．的“平衡點”為.B．的“平衡點”為的中點.C．的“平衡點”存在且唯一.D．的“平衡點”必為二、多選題17．（2022春·浙江·高一期中）如圖所示，在平面上取定一點O和兩個以點O為起點的不共線向量，，稱為平面上的一個仿射坐標(biāo)系，記作，向量與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，有序數(shù)組稱為在傷射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記作．已知，是夾角為的單位向量，，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為18．（2022春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對任意兩個非零向量，定義新運(yùn)算：.已知非零向量滿足且向量的夾角，若和都是整數(shù)，則的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．419．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當(dāng)時，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標(biāo)為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是大于零的實數(shù)，向量，其中，定義向量，記，則（

）A．B．C．D．21．（2022·浙江溫州·高一永嘉中學(xué)統(tǒng)考競賽）設(shè)、、是平面上任意三點，定義向量的運(yùn)算：，其中由向量以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)直角得到（若為零向量，規(guī)定也是零向量）.對平面向量、、，下列說法正確的是（

）A．B．對任意，C．若、為不共線向量，滿足，則，D．22．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量滿足與的夾角，且和都在集合中．給出以下命題，其中一定正確的是（

）A．若時，則B．若時，則C．若時，則的取值個數(shù)最多為7D．若時，則的取值個數(shù)最多為23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對任意的兩個向量，，令，下面說法一定正確的是（

）A．對任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等三、填空題24．（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”，是一個向量，它的模等于，若，，則______．25．（2018春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若（其中，分別為，軸方向相同的單位向量），則的坐標(biāo)為，若關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，則______26．（2019春·安徽蕪湖·高一校聯(lián)考期中）定義，若，，則與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為______________．27．（2022秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量．如圖所示，頂角的等腰三角形PQR的頂點P、Q的坐標(biāo)分別為、，則頂點R的坐標(biāo)為______．28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）設(shè)平面中所有向量組成集合，為中的一個單位向量，定義.則下列結(jié)論中正確的有___________（只需填寫序號）.①若?，則；②若，，則；③若，，，則有唯一解.29．（2022春·江蘇南通·高一海安市曲塘中學(xué)?？计谥校┬☆櫷瑢W(xué)在用向量法研究解三角形面積問題時有如下研究成果：若，，則.試用上述成果解決問題：已知，，，則___________.30．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2種v變換和4種w變換：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)90°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)90°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)45°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)45°；：模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r逆時針旋轉(zhuǎn)135°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)135°．記集合，若每次從集合S中隨機(jī)抽取一種變換.經(jīng)過n次抽取，依次將第i次抽取的變換記為，即可得到一個n維有序變換序列，記為，則以下判斷中正確的序號是______．①單位向量經(jīng)過2022次v變換后所得向量一定與向量垂直；②單位向量經(jīng)過2022次w變換后所得向量一定與向量平行；③單位向量經(jīng)過變換后得到向量，則中有且只有2個v變換；④單位向量經(jīng)過變換后不可能得到向量；⑤存在n，使得單位向量經(jīng)過次變換后，得到．31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)V是已知平面M上素有向量的集合，對于映射，記的象為．若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則f稱為平面M上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：①設(shè)f是平面M上的線性變換，，則；②若是平面M上的單位向量，對，設(shè)，則f是平面M上的線性變換；③對，設(shè)，則f是平面M上的線性變換；④設(shè)f是平面M上的線性變換，，則對任意實數(shù)k均有．其中的真命題是______（寫出所有真命題的編號）．32．（2021春·重慶南岸·高一重慶第二外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“※”，記，其中是非零向量的夾角，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角的余弦值為_________.33．（2021春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）設(shè)?是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．假設(shè)，則的大小為________．34．（2018春·浙江臺州·高一臺州中學(xué)?？计谥校┮阎蛄考跋蛄啃蛄?滿足如下條件:，且,當(dāng)且時,的最大值為__________．35．（2017春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知平面向量，平面向量，（其中）．定義：．若，，則=_____________；若，且，，則_________，__________（寫出一組滿足此條件的和即可）．36．（2014·安徽·高考真題）已知兩個不相等的非零向量兩組向量和均由2個和3個排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題的是_________（寫出所有正確命題的編號）.①有5個不同的值.②若則與無關(guān).③若則與無關(guān).④若，則.⑤若，則與的夾角為37．（2021春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：對于實數(shù)和兩個定點、，在某圖形上恰有個不同的點，使得，稱該圖形滿足“度囧合”，若在邊長為的正方形中，，，且該正方形滿足“度囧合”，則實數(shù)的取值范圍是_________.38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義兩個向量組的運(yùn)算，設(shè)為單位向量，向量組分別為的一個排列，則的最小值為_______．39．（2022·北京順義·統(tǒng)考二模）向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱集合是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：①集合是“凸集”；②若為“凸集”，則集合也是“凸集”；③若都是“凸集”，則也是“凸集”；④若都是“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”．其中，所有正確的命題的序號是_____________________．四、解答題40．（2022秋·河北滄州·高二?？奸_學(xué)考試）平面內(nèi)一組基底及任一向量，若點在直線上或在平行于的直線上，我們把直線以及與直線平行的直線稱為“等和線”，此時為定值，請證明該結(jié)論.41．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為(1)已知，，若函數(shù)為集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍；(2)已知點滿足條件：，，若向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)在區(qū)間變化時，求的取值范圍；(3)當(dāng)向量時，“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.42．（2022春·上海奉賢·高一?？计谀τ谝粋€向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“好向量”(1)若是向量組的“好向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知，，均是向量組的“好向量”，試探究的等量關(guān)系并加以證明．43．（2021春·山西臨汾·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F，G分別是AD，BC的二等分點．（1）EF，EG有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．（2）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點N繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P．已知正方形ABCD中，點，點，把點G繞點E沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點P，求點P的坐標(biāo)．44．（2021春·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．(1)設(shè)，請問函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請說明理由．(2)已知點滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．專題06向量專題（新定義）一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的．令，下面說法錯誤的是（

）A．若與共線，則B．C．對任意的,,D．【答案】B【分析】根據(jù)給出的運(yùn)算“⊙”的新定義，結(jié)合已知的向量的數(shù)量積公式及模長公式逐項判斷即可.【詳解】若與共線，則有，故A正確；，而，，故選項B錯誤；對任意的，，又，，故C正確；，又，故D正確.故選：B.2．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期中）定義.若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，設(shè)，整理可得為關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而求解.【詳解】因為，所以，設(shè)，，由向量為單位向量，所以，因為，所以，故選：B3．（2021春·云南昆明·高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯?nèi)任意給定一點和兩個不共線的向量，，由平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個向量都可以唯一表示成，的線性組合，，則把有序數(shù)組稱為在仿射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為，在仿射坐標(biāo)系下，，為非零向量，且，，則下列結(jié)論中（

）①②若，則③若，則

④一定成立的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用向量的新定義結(jié)合向量的性質(zhì)逐個分析判斷即可【詳解】在仿射坐標(biāo)系下，設(shè)，因為，，所以，，所以，所以，①正確；若，則，所以，，故②不一定正確；因為，所以存在唯一的實數(shù)，使得，則，所以，，所以，所以③正確；，由②知，，所以④不一定正確，所以正確的有2個，故選：B4．（2022·高一單元測試）若對于一些橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”，例如向量，即為“等模整向量”，那么模為的“等模整向量”有（

）A．4個 B．6個 C．8個 D．12個【答案】D【分析】把，分別寫出向量即可.【詳解】因為所以模為的等模整向量有，，，，，，，，，所以模為的等模整向量共有12個.故選：【點睛】在求向量模的有關(guān)問題時通常的處理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或；(2)＝＝；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝.5．（2017·四川廣元·統(tǒng)考三模）對于個向量，若存在個不全為0的示數(shù)，使得：成立；則稱向量是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量，，線性相關(guān)的實數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由題可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】由題可知，，，，所以，兩等式兩邊相加可得.故選：B．6．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期中）對任意兩個非零的平面向量，定義，若平面向量滿足，的夾角，且和都在集合中，則=（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由題意可可設(shè)，，，，得，對，進(jìn)行賦值即可得出，的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：，故．又由，可設(shè)，，令，，且又夾角，所以，對，進(jìn)行賦值即可得出所以．故選：C．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標(biāo)系中，下列選項錯誤的是（

）A．當(dāng)時與距離為B．點關(guān)于原點的對稱點為C．向量與平行的充要條件是D．點到直線的距離為【答案】D【分析】根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義，結(jié)合向量運(yùn)算對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，對于A選項：由已知得，所以.由及斜坐標(biāo)的定義可知，，故A選項正確；對于B選項：根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知：點，則，設(shè)關(guān)于原點的對稱點為，則，由于不共線，所以，故B選項正確；對于C選項：，若是零向量，則成立，同時，所以成立，此時；若是非零向量，則存在非零常數(shù)，使，所以.故C選項正確；對于D選項：設(shè)直線上的動點為,，因為，所以，設(shè)，則點在直線上，所以直線過點，因為，則，，由于，所以.所以，所以，所以點A到直線的距離為，故D選項錯誤.故選：D8．（2022春·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為．在的斜坐標(biāo)系中，﹒則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）①；②；③；④在上的投影為A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】借鑒單位向量夾角為時的情況，注意夾角為；；；數(shù)量積為；在上的投影為.【詳解】對于①.，所以，故①正確；對于②.，故②錯誤；對于③.，故③錯誤；對于④.在上的投影為，故④錯誤.故選：D9．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義、的向量積，為當(dāng)、的起點相同時，由的方向逆時針旋轉(zhuǎn)到與方向相同時，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于，，的向量積有如下的五個結(jié)論：①；

②；③；

④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【分析】結(jié)合題目中的新定義的概念逐項分析即可得出結(jié)論.【詳解】①至少有一個為0時，顯然成立；都不為0時，若，則；若，則；綜上：，故①正確；②，所以，故②錯誤；③，故③正確；

④由③知：，故④正確；⑤與不一定相等，故⑤錯誤；故選：C.10．（2022春·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）定義為兩個向量，間的“距離”，若向量，滿足下列條件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)對于任意的，恒有，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號，①.②.③.④.⑤.則以上正確的編號為（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.【詳解】由于，又對于，恒有，顯然有，即，則對于任意的恒成立，顯然有成立，即，則，故序號①錯誤，進(jìn)而，∵，于是，得，即序號④正確.再由得，得，∴，顯然序號②正確.從而序號③錯誤，再由②，故序號⑤錯誤.綜上知本題正確的序號為②④.故選：B.【點睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長度及數(shù)量積等知識概念，同時考查了等價轉(zhuǎn)換、不等式恒成立問題，符合以生考熟的高考理念，考查知識內(nèi)容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次的考生度可以利用熟悉的通法來解決問題，從而增強(qiáng)考生的自信心，有利于考生正常發(fā)揮，屬于中檔題.11．（2018·湖南·統(tǒng)考一模）在實數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們這平面向量集合上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“”．定義如下：對于任意兩個向量，，當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”，按上述定義的關(guān)系“”，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，則對于任意的，；④對于任意的向量，其中，若，則．其中正確的命題的個數(shù)為(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】按照新定義，對每一個命題進(jìn)行判斷.【詳解】對于①，由定義可知①是正確的；對于②，中，滿足已知，則，只要有一個沒有等號，則一定，若，則，都滿足，正確；對于③，∵，∴命題正確，對于④，中若，則，但，錯誤，因此有①②③正確.故選:B.【方法點睛】新定義問題，關(guān)鍵是正確理解新概念，并掌握解決新概念下問題的方法，有一定的難度.本題中新概念關(guān)系“＞”與向量的坐標(biāo)之間的大小關(guān)系聯(lián)系在一起，由實數(shù)大小關(guān)系的傳遞性可得新關(guān)系“＞”的傳遞性，但向量的數(shù)量積與新關(guān)系“＞”之間沒有必然的聯(lián)系，這可通過舉反例說明.實際上舉反例說明一個命題是錯誤的，是數(shù)學(xué)中一個常用的方法.12．（2017秋·河南鄭州·高三鄭州一中階段練習(xí)）若非零向量的夾角為銳角，且，則稱被“同余”.已知被“同余”，則在上的投影是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)“同余”的定義得，再根據(jù)投影公式，列式求解.【詳解】根據(jù)被“同余”，則有，所以，在上的投影為：，故選：A.13．（2022春·陜西榆林·高一榆林市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)定義一種向量積：．已知，，點在的圖象上運(yùn)動，點Q在的圖象上運(yùn)動，且滿足(其中O為坐標(biāo)原點)，則的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為()A．2，π B．2,4πC．，4π D．，π【答案】C【分析】根據(jù)題意,設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)的運(yùn)算得到P、Q坐標(biāo)間的關(guān)系，從而得到的解析式，即可求得最大值和最小正周期．【詳解】由題意知可設(shè)，則根據(jù)可得即所以而P在的圖象上運(yùn)動，滿足所以，即所以最大值為，即A=最小正周期為故選：C．14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量與的夾角，代入新定義求解即可.【詳解】由題意得，解得，又，所以，所以.故選：C15．（2022春·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期中）記，設(shè)，為平面內(nèi)的非零向量，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法減法的幾何意義和向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合排除法解題.【詳解】對于A選項：考慮，根據(jù)向量加法減法法則幾何意義知：，所以A錯誤；B選項：根據(jù)平面向量數(shù)量積可知：不能保證恒成立，，所以它們的較小者一定小于等于，所以B錯誤D正確；C選項：考慮，所以C錯誤.故選：D【點睛】此題考查向量相關(guān)新定義問題，其本質(zhì)考查向量加減法運(yùn)算的幾何意義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和辨析，綜合性較強(qiáng)，解題中結(jié)合排除法得選項.16．（2021·全國·高三專題練習(xí)）對于向量，把能夠使得取到最小值的點稱為的“平衡點”.如圖，矩形的兩條對角線相交于點，延長至，使得，聯(lián)結(jié)，分別交于兩點.下列的結(jié)論中，正確的是（

）A．的“平衡點”為.B．的“平衡點”為的中點.C．的“平衡點”存在且唯一.D．的“平衡點”必為【答案】D【分析】利用“平衡點”的定義、三角形中兩邊之和大于第三邊，對選項進(jìn)行一一驗證．【詳解】對，、的“平衡點”為線段上的任意一點，故錯誤；對，、、的“平衡點”為三角形內(nèi)部對3條邊的張角均為的點，故錯誤；對，、、、的“平衡點”是線段上的任意一點，故錯誤；對，因為矩形的兩條對角線相交于點，延長至，使得，聯(lián)結(jié)，分別交、于、兩點，所以、、、的“平衡點”必為，故正確．故選：．【點睛】本題考查“平衡點”的求法，考查對新定義的理解與應(yīng)用，求解時要注意平面向量知識的合理運(yùn)用．二、多選題17．（2022春·浙江·高一期中）如圖所示，在平面上取定一點O和兩個以點O為起點的不共線向量，，稱為平面上的一個仿射坐標(biāo)系，記作，向量與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，有序數(shù)組稱為在傷射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記作．已知，是夾角為的單位向量，，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的定義，運(yùn)算律及投影向量的概念，逐項分析即得.【詳解】由題可知，，∴，故A正確；因為，是夾角為的單位向量，所以，∴，故B正確；∴，故C錯誤；∴在方向上的投影向量為，故D正確.故選：ABD.18．（2022春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對任意兩個非零向量，定義新運(yùn)算：.已知非零向量滿足且向量的夾角，若和都是整數(shù)，則的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】BC【分析】由題意可得、，利用的范圍，可得從而定點答案.【詳解】由題意可得，因為所以，因為，所以，所以，即，解得，因為，所以，所以，則，故，因為，所以，因為0，所以，所以，所以，則即.故選：BC.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當(dāng)時，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標(biāo)為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則【答案】AC【分析】由題目給的定義結(jié)合向量的線性運(yùn)算、向量的模長、向量的平行及垂直依次判斷4個選項即可.【詳解】根據(jù)題意得，設(shè)A，B的中點為，則，故線段A，B的中點的廣義坐標(biāo)為，A正確；，故，當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時，A，B兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；與平行，當(dāng)與存在時，結(jié)論顯然成立，當(dāng)與都不為時，設(shè)，則，即，，，所以，故C正確；，當(dāng)與為相互垂直的單位向量時，與垂直的充要條件是，故D不正確.故選：AC．20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是大于零的實數(shù)，向量，其中，定義向量，記，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)定義求出和，再根據(jù)平面向量的數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合恒等變換公式可求出，由此可判斷A和B選項；利用向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算、模長公式以及基本不等式，可判斷C和D選項.【詳解】因為向量，所以是一個實數(shù)，不是向量，所以A不正確，B正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故C正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故D正確.故選：BCD21．（2022·浙江溫州·高一永嘉中學(xué)統(tǒng)考競賽）設(shè)、、是平面上任意三點，定義向量的運(yùn)算：，其中由向量以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)直角得到（若為零向量，規(guī)定也是零向量）.對平面向量、、，下列說法正確的是（

）A．B．對任意，C．若、為不共線向量，滿足，則，D．【答案】BD【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項；利用A選項中的結(jié)論結(jié)合題中定義可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項；對、是否共線進(jìn)行分類討論，結(jié)合題中定義可判斷D選項.【詳解】設(shè)向量、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，設(shè)，則，同理可得，所以，，，則，A錯；對任意的，由A選項可知，，當(dāng)、不共線時，，，B對；因為，所以，，所以，，同理可得，C錯；當(dāng)、不共線時，由C選項可知，，所以，，所以，.任取兩個向量、，對任意的實數(shù)，，當(dāng)、共線時，設(shè)存在使得，且，所以，，綜上所述，，D對.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量中的新定義，解題的關(guān)鍵在于理解題中運(yùn)算的含義，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算逐項判斷即可.22．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中校考階段練習(xí)）對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量滿足與的夾角，且和都在集合中．給出以下命題，其中一定正確的是（

）A．若時，則B．若時，則C．若時，則的取值個數(shù)最多為7D．若時，則的取值個數(shù)最多為【答案】AC【分析】由新定義可知，再對每個命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】對A，若時，，兩式相乘得，又，，即，，即，故A正確；對B，若時，則，同理，相乘得到，又，所以，即，則取值時符合，此時，故B錯誤；對C，若時，則，同理，相乘得，又，，，又，得，，，，的取值個數(shù)最多為7個，故C正確；對D，若時，由上面推導(dǎo)方法可知，，，，的取值個數(shù)最多為，故D錯誤.故選：AC.【點睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對任意的兩個向量，，令，下面說法一定正確的是（

）A．對任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等【答案】AD【分析】由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立，即方程組，對任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.【詳解】設(shè)向量，，對于A，對任意的，有，故A正確；對于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組，對任意恒成立，而此方程組無解，故B不正確；對于C，若與垂直，則，設(shè)，則，，其中，故C不正確；對于D，若與共線，則，設(shè)，，，所以與的模相等，故D正確.故選：AD.【點睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.三、填空題24．（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”，是一個向量，它的模等于，若，，則______．【答案】2【分析】分別計算兩個向量的模長及夾角，代入計算即可.【詳解】，，則，則，則,故答案為：225．（2018春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若（其中，分別為，軸方向相同的單位向量），則的坐標(biāo)為，若關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，則______【答案】【分析】由斜坐標(biāo)定義用，表示，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求得模．【詳解】由題意，，故答案為：．26．（2019春·安徽蕪湖·高一校聯(lián)考期中）定義，若，，則與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為______________．【答案】【分析】先求得，然后求得與方向相反的單位向量的坐標(biāo).【詳解】，所以與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為.故答案為：27．（2022秋·湖南長沙·高三校考階段練習(xí)）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方